Rappels d’élasticité plane

03/11/2016

1

Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

CFMR - Chapitre 2

A. Zeghloul

2016-2017

SOMMAIRE

Rappels d’élasticité plane

Fonction d’Airy en variables complexes

Représentation des déplacements et des contraintes

Expression du torseur des efforts

8

Expression des contraintes

σx +iσxy =Α_,yy−iΑ_,xy = −i Α_,x+iΑ_,y y = −i Α_,z y = Αzz−Αzz

, , ,

d i c

²

h

²

c h

, , ,

x yy

y xx

xy xy

σ σ σ

= Α

= Α

= −Α

⇒ σx +iσxy =ϕ'

b g d i

z +ϕ'z −zϕ' '

d i d i

z −ψ'z

g g ig

g g ig

z x y

z x y

, , ,

, , ,

= −

= +

R S|

T|

1 2 1 2

d i

d i

g g g

g i g g

x z z

y z z

, , ,

, ( , , )

= +

= −

RS T

^{Α =12 zϕ}

b g b g

^{z +χ z +zϕ( )z +χ( )z}

σy−iσxy =Α_,xx+iΑ_,xy = Α_,x+iΑ_,y x = Αz x = Αzz+Αzz

, , , , ,

d i

²

c h

²

c h

⇒ σy−iσxy =ϕ'

b g d i

z +ϕ'z +zϕ' '

d i d i

z +ψ'z

σ_y+σ_x =2

e

ϕ'

b g

z +ϕ'

d i

z

j

=4Re

c

ϕ'

b g

z

h

^σy−^σx+2i^σxy =2

d

z^ϕ' '

b g

z +^ψ'

b g

z

i

( ) ( ) ( )

(

^{4 Re '( ) 4 Re}

) (

^{( ) ( )}

)

2 2 '' '' 2 '

y x

y x xy

z z

i z z z z z z

σ σ ϕ

σ σ σ ϕ χ

+ = = Φ



− + = + = Φ + Ψ



(z)= '(z) avec

(z)= '(z)= ''(z) ϕ

ψ χ

Φ



Ψ

e_θ

x

er

θ θ

y

e x y

e x y

r= +

= − +

RS T

^{θ cos .sin .θθ sin .cos .θθ ee}θ^{r xy}

θ θ

θ θ

F HG I KJ

⁼

F

HG I

KJ F

−

HG I

KJ

P avec P : cos sin sin cos u

u u u

u u

u u

r x

y

x y

x y

θ

θ θ

θ θ

F HG I KJ

⁼

F

HG I

KJ

⁼

F

^{− ++}

HG I

KJ

P cos sin

sin cos

u_r +iu_θ =e^−iθ(u_x +iu_y) 2µ ^ur ^iu_θ ^{e θ} κ ϕ ^{z z}ϕ ^z ψ ^z

+ = ⁻i − −

b g e b g

^'

d i d i j

σ σ

h

_{e e}θ

h

_{x y}^t

r

P P

, = , ⇒ + = +

− + = − +

RS T

σ σ σ σ

σθ σ σ θ ^θ θ σ σ σ

r x y

r r

i

y x xy

i e i

2 ²

d

2

i

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

2 2

2 2 ⁱ '' '' 2 ⁱ '

r i r e ^θ z z z e ^θ z z z

θ θ

σ σ− + σ = ϕ +χ = Φ + Ψ ' (z)= ''(z)

avec

(z)= '(z)= ''(z) ϕ

ψ χ

Φ

 Ψ



* Changement de repère

03/11/2016

9

Expression du torseur des efforts

n

B C α

x y

P dy ds

dx α α

n

P ⇒

F

HG I

KJ

_{= −}⁼

R S|

T|

n

dy ds dx ds : cos et

sin

cos sin α α

α α T P n n X_n Y_n

→

F

→ →

H I

K

^{= =}

, σ

b

,

g

X x n

Y y n

n t

x xy yy xy

n t

xy y xy xx

= = + = −

= = + = − +

. . cos sin , cos , sin

. . cos sin , cos , sin

σ σ α σ α α α

σ σ α σ α α α

Α Α

Α Α ^⇒

=

F

HG I

KJ

= −

F

HG I

KJ R

S ||

T ||

X d

ds y

Y d

ds x

n

n

∂

∂

∂

∂ Α

Α

* Vecteur contrainte

* Résultante par unité d’épaisseur sur BC

F T P n ds X X ds

Y Y ds

B

C n

B C

B n C

→ → →

=

F

H I

K

^⇒

R

⁼₌

S| T|

z z

z

,

X X ds

Y Y ds

B n C

B n C

=

=

R S|

T| z

z

^{X iY BC Xn iY dsn BCd y i x i x i y B i z}

C

B C

+ = + =

F

−

HG I

KJ

^{= −}

L

⁺

NM O

QP

^{= −}

L

NM O

z ^{b g} z

^∂_∂^{Α ∂}_∂^{Α ∂}_∂^{Α ∂}_∂^{Α 2 ∂}_∂^Α

QP

⇒ X +iY = −i z +z z + z

B

ϕ

b g

ϕ^'

d i d i

ψ C

Α =1 + + +

2 zϕ

b g b g

z χ z zϕ^{( )}z χ^{( )}z

* Moment par unité d’épaisseur en un point O

M OP T P n ds M

B

→ C→ → →

= ∧

F

H I

K

⁼

z

^{, ( , ,0 0 ) avec M=}

z

^BC

^b

^{xYn−yX dsn}

^g

⁼

z

^BC

^L _NM

^−xd

^F _HG

^∂_∂^Α_x

^I _KJ

^−yd

^F _HG

^∂_∂^Α_y

^I _KJ ^O _QP

IPP ⇒ = −

L

+

NM O

M x

QP

x y

B y

C

B C

Α ∂Α Α

∂

∂

∂

x x y

y x iy

x i y z z

z z z z z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ϕ ψ ϕ

Α Α Α Α

Α

+ = +

F

−

HG I

L KJ

NM O

QP

=

L

NM O

QP

= + +

Re

Re

Re '

b g

b g b g d i

{ }

2

⇒ M = z −z z −z z z

B C

Re χ

b g

ψ

b g

ϕ'

b g

avec (z)= '(z)ψ χ

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11

12 TD2 : Etude d’un ouvrage souterrain du génie civil

03/11/2016

13

Corrigé TD2

14

( )

(

( )

( ) ( ) )

2µ u_r+iu_θ =e^−iθ κ ϕ z −zϕ' z −χ' z avec κ= −3 4 en DPv

2

1 2 r

a σ = −σ^∞ −r ^

 

2

1 a2 θ r

σ = −σ^∞ + ^

 

03/11/2016

15

16

03/11/2016

17 1- Un cylindre long de rayon intérieuraet extérieurbest soumis à une pression

intérieure p_i et extérieure p_e. Les potentiels complexes associés à ce problème d’élasticité plane sont :

TD2 suite : Etude de structures trouées chargées en états plans

( )z Blnz χ = ( )z Az

ϕ =

(

A et constantes réellesB

)

- Déterminer les champ des contraintes et les constantes A et B, en fonction des données géométriques (rayons a et b) et du chargement (pressionsp_ietp_e. ).

- Exprimer le déplacement par intégration des déformations et par utilisation des potentiels complexes.

2- Un anneau mince de rayon intérieuraet extérieur best soumis à des couples M (par unité d’épaisseur) égaux et opposés, résultant de contraintes de cisaillement sur ses parois. Les potentiels complexes associés à ce problème d’élasticité plane sont : _{ϕ( )z =0 χ( )z =Bilnz}

(

B constante réelle

)

- Déterminer les champ des contraintes et la constante B, en

fonction du couple de

cisaillementM.

- Exprimer le champ des déplacements.

18

Corrigé du TD2 suite

1- Cylindre creux sous pression interne et externe : ϕ^{( )z} =^Az χ( )z =Blnz

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19 2- Anneau mince en cisaillement : ϕ( )z =0 χ( )z =Bilnz

Pour le calcul des contraintes on utilise les relations :

2

0

2 2

r

r r

i Bi

r

θ

θ θ

σ σ

σ σ τ

+ =



⇒  − + = −

Soit _r 0 _r B2

θ θ r

σ =σ = τ = −

( ) 3 soit

r r 2

paroi a

ae τ_{θ θ}e adθ Mx B M

∧ = − = π

∫

Pour le calcul du déplacement, on utilise :

Soit 0 et

2 4

r

B M

u u

r r

θ µ πµ

= = =

1

Concentration des contraintes près d’entailles

Chapitre 3

A. Zeghloul

SOMMAIRE

Introduction – Facteur de concentration de contraintes K_t Plaque trouée uniformément chargée Plaque trouée chargée en traction Gradient de contrainte le long de l’axe d’une entaille Gradient de contrainte le long du bord d’une entaille Influence de la géométrie et du chargement sur le facteur K_t Influence des contraintes résiduelles sur le facteur K_t Facteur K_tdans des structures complexes

Rupture par clivage

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2

Introduction

3

* Détermination du facteur de concentration des contraintes

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4

5

A partir des relations on définit le complexe :

(

^{cosh cos sinh sin}

)

^{cosh( )}

z= + =x iy c α β+i α β =c α β+i

La relation permet d’écrire :

Plaque percée d’un trou elliptique uniformément chargée

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6 Il s’agit maintenant de trouver les fonctions ϕ^{(z) et} χ^(z)

satisfaisant les conditions limites

7 A

σ 2

^∞

⇒ =

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8 La condition limite devient :

( )

2

sinh( )

cosh sinh sinh cosh 1

cosh cosh 0

sinh sinh sinh sinh

A A B

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ

 + 

 

 + + + =

 

 

 

max

2

t

nom

K a

b

σ

=

σ

=

t

2

K a

=

ρ

9

Plaque percée d’un trou elliptique sollicitée en traction simple

Les solutions pour cette configuration de chargement ont été données par Stevenson en 1945.

Avec

max

1 2 1 2

t

nom

a a

K b

σ

σ ρ

= = + = +