LICENCE Physique & Applications MECANIQUE 2009-2010
Des FLUIDES
Allée de von Karman derrière un
cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier
(Il peut y avoir des fautes de frappes ou d’énoncé, nul n’est parfait)
Exercice 1 : Ecoulement de Hagen-Poiseuille Généralisé
On considère 2 plaques planes parallèles séparées d’une distance h (suivant l’axe y perpendiculaire à l’écoulement), de longueur L suivant x et le siège d’un gradient de pression dP/dx, la plaque du haut est animé d’une vitesse constante U.
Plaque plane animée d’une vitesse U ___________________________________
Æ U(y) ---> direction x ___________________________________
Plaque plane immobile
Calculez le champ de vitesse U(y) (fonction des paramètres dP/dx et U) et discutez les différents cas possibles (U=0, dP/dx > ou < 0).
Déterminez également les profils de contrainte de cisaillement.
Ecoulements Rampants – Equation de Stokes et d’Oseen (faible nombre de Reynolds)
On considère le problème du palier hydraulique très utilisé en tribologie et en applications de la théorie de la lubrification (palier fluide, film visqueux, butées de Michell…)
Montrez d’abord que les équations qui régissent cet écoulement bidimensionnel se réduisent à l’équation de Stokes en écoulement stationnaire (on prendra comme échelles de références : U0: pour la vitesse U suivant x, l pour la direction x et h ou h’ = h1-h2 pour y) en évaluant le poids des différents termes des équations générales de Navier-Stokes.
0
2 2
∂ =
∂
∂
= ∂
∂
∂
y P
y U x
P
μ
On pose pour la hauteur locale du patin : h(x) = h1 – α.x (avec 0 < x < l)
En imposant comme conditions aux limites
U ( x , 0 ) = U
0 et U(x,h(x))=0, intégrez cette équation et calculez le champ de pression. On établit d’abord la relation liant la vitesse et le gradient de pression local, puis on calcule le débit volumique Q qui doit se conserver, ce qui donne une relation entre Q, U0 et dP/dx.Ce qui conduit à une relation du type :
2 3
2 0
1
.( )
) 2 .(
. . 6 ) .(
. . ) 6
( a x
x a x Q x a a
x P U
x
P −
− − + −
= α
μ α
μ
On suppose à présent que la pression d’entrée P1 est égale à la pression de sortie P2
En déduire que le champ de pression est donné par :
) ( ).
( ).
(
) ) ( )).(
( ( ) 6
(
2 1
2 1
0
1
h h h x h x
h x h x h h P U
x
P +
− + −
= α
μ
soit encore :
2 2
0
1
( 2 ).( )
) .(
. ) 6
( a l a x
x l x P U
x
P − −
+ −
= α
μ
Commentez ce champ de pression, calculez la surpression maximale et sa localisation.
En déduire la résultante des forces de pression sur le patin en termes de portance (force suivant y) et traînée par unité d’envergure. Traitez le cas particulier où α est faible.
Montrez en particulier que pour α → 0, la force de pression se résume à une force :
2 1 2
3
0h U l F ≈ μ
Application Numérique : U0 = 10 m/s, l = 10 cm, α ~ h’/l = 2.10-3 rad, ν ~ 2.10-4 m2/s, densité de l’eau.
Refaire le calcul avec α ~ 10-3 rad, puis α ~ h’/l = 0.5 10-3 rad Comparez à la force de pression limite théorique (α → 0)
Bibliographie :
- Explorez des Sites web (essayer de localiser des applications potentielles) Livres (mais attention il y a des fautes dans ces livres)
Rieutord pages 93-95, Chassaing, pages 329-332, Guyon,Hulin, Petit pages 363-368
