Intégrationsurunsegmentdesfonctionsàvaleursréelles 16

Chapitre 16

Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles

Table des matières

Pour bien aborder ce chapitre

Les mathématiciens se sont intéressés très tôt aux problèmes de calcul d’aires et de volumes. Ainsi Eudoxe de Cnide, ma- thématicien grec du4e siècle avant note ère, parvient à calculer le volume d’une pyramide. Cent ans plus tard, Archimède généralise son procédé et invente la méthode d’exhaustion. Il s’agit d’approcher l’aire ou le volume à déterminer par des aires ou des volumes élémentaires, par défaut et par excès. La notion de limite est alors encore bien loin d’être découverte et le calcul est généralement terminé par un raisonnement par l’absurde. La « révélation » est venue de Newton et de Leibniz lorsqu’ils inventèrent le calcul infinitésimal : l’opération d’intégration est une opération inverse de celle de la dérivation et, pour calculer une aire, il suffit de calculer une primitive. C’est « le théorème fondamental de l’analyse » ??

page??. Il faudra attendre néanmoins le19e siècle pour que la notion d’intégrale soit bien formalisée grâce aux travaux de Cauchy et surtout à ceux de Riemann. Celui-ci s’intéresse à fonctionf donnée sur un segment[a,b]et essaie d’approcher l’aire^A sous le graphe def par les airesΣ⁻etΣ⁺de deux familles de rectangles qui approchent par défaut et par excès A comme dans les dessins ci-dessous.

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

FIGURE16.1 – Somme inférieure :Σ⁻

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

FIGURE16.2 – Somme supérieure :Σ⁺ Une fonction est intégrable au sens de Riemann si et seulement la différence des aires ⁺et ⁻tend vers quand le pas

de la subdivision, c’est-à-dire la largeur des rectangles considérés, tend vers0. La méthode d’exhaustion est sous-jacente à ce procédé.

Nous travaillerons dans ce chapitre sur une classe de fonctions beaucoup plus simples que celles étudiée dans l’intégrale de Riemann : les fonctions continues par morceaux. Ce sera amplement suffisant pour pourvoir traiter une large variété de problèmes. Vous généraliserez ces résultats en spé lors de l’étude des intégrales impropres à des fonctions pas forcément continues par morceaux.

En particulier, pour un segment[a,b]et une fonctionf : [a,b]→R⁺positive, nous nous attacherons dans ce chapitre à répondre aux deux questions suivantes.

a b

FIGURE16.3 – Aire sous une courbe

1 Quelle condition imposée àf pour que l’aire délimitée par sa courbe dans un repère orthonormé soit bien définie ?

2 Comment calculer cette aire ?

16.1 Fonctions en escaliers

16.1.1 Subdivision d’un segment

x

x

x

x

x

a b

FIGURE16.4 – Subdivision d’un segment

D^ÉFINITION16.1 Subdivision d’un segment

On appellesubdivisiondu segment[a,b]toute familleτ=(xk)1ÉkÉnde réels tels que a=x0<x1< ··· <xn−1<xn=b

Lepas de la subdivision τest donné par maxi∈‚0,n−1ƒ|xi+1−xi|. Une subdivision de[a,b]estrégulière si tous les xi+1−xi sont égaux.

DÉFINITION16.2 Subdivision plus fine qu’une autre

Considéronsτetτ^′ deux subdivisions d’un segment[a,b]. On dit queτ^′ est plus fine queτ si et seulement si tout élément de la familleτest élément de la familleτ^′.

Plus précisément, une subdivision est une famille. Une famille est une application. Il vaut mieux dire que l’image deτest incluse dans l’image deτ^′

P^ROPOSITION16.1

Soientτetτ^′deux subdivisions d’un segment[a,b]. Il existe une subdivision de[a,b]plus fine queτetτ^′. Démonstration Il suffit de considérer la familleτ^′′=¡

x_k¢

1ÉkÉNdont les éléments sont ceux deτet ceux deτ^′ordonnés dans l’ordre croissant et oùNest le cardinal de la famille ainsi construite.τ^′′est plus fine queτetτ^′.

16.1.2 Fonctions en escaliers

a=x0 x1 x2 b=xn

c⁰

c1

cn−1

f(x⁰) f(x¹)

f(xn)

FIGURE16.5 – Fonction en escalier

DÉFINITION16.3 Fonction en escalier

— Une fonctionϕ: [a,b]→Restune fonction en escaliersur le segment[a,b]s’il existe une subdivisionτ:a= x0< ··· <xn=bdu segment[a,b]telle queϕest constante sur chaque intervalle]xk,xk+1[

∀k∈ ‚0,n−1ƒ, ∃ck∈R, ∀x∈]xk,xk+1[ , ϕ(x)=ck

— La subdivisionτest ditesubordonnéeà la fonctionϕ.

— On noteraE_{([a,b] ,R)}l’ensemble des fonctions en escalier sur[a,b]à valeurs réelles.

Remarque 16.1

— Siτest une subdivision subordonnée àϕalors toute subdivision plus fine est encore subordonnée àϕ.

— Une fonction constante est une fonction en escalier.

PROPOSITION16.2

Toute fonctionϕ∈E_{([a,b] ,R)}est bornée sur[a,b].

Démonstration Soientϕune fonction en escalier etτ=x0< ··· <xn=bune subdivision qui lui est subordonnée. On a donc :

∀k∈ ‚0,n−1ƒ, ∃c_k∈R, ∀x∈¤

x_k,x_k+1£

, ϕ(x)=c_k. En posantm= max

0ÉkÉn−1|c_k|puisM=max(m,|f(x₀)|, . . . ,|f(xn)|), on a

∀x∈[a,b],_|ϕ(x)| ÉM. PROPOSITION16.3

— L’ensemble des fonctions en escalierE_{([a,b] ,R)}sur le segment[a,b]est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions(F_{([a,b] ,R) ,+, .)}.

— L’ensembleE_{([a,b] ,R)}est aussi un sous-anneau de l’anneau des fonctions(F([a,b] ,R),+,×).

Démonstration La fonction constante égale à0sur[a,b]est élément deE_{([a,b] ,R)}. On montre facilement (en utilisant une subdivision plus fine que les deux subdivisions subordonnées aux deux fonctions) que E_{([a,b] ,R)}est stable par combinaison linéaire. C’est donc un sous-espace vectoriel deF_{([a,b] ,R)}. On montre de même qu’un produit de fonctions en escalier est encore une fonction en escalier, ce qui prouve queE_{([a,b] ,R)}est un sous-anneau deF_{([a,b] ,R)}.

16.1.3 Intégrale d’une fonction en escaliers

DÉFINITION16.4 Intégrale d’une fonction en escaliers

Supposons quea<b. Soit une fonction en escalierϕ∈E_{([a,b] ,R)}etτ:a=x0< ··· <xn=bune subdivision subor- donnée àϕ. Soientc0, . . . ,cn−1∈Rtels que :_∀k∈ ‚0,n−1ƒ ∀x∈]xk,xk+1[ ϕ(x)=ck. On définit l’intégralede la fonction en escalierϕentreaetbcomme étant le nombre réel

Z

[a,b]

ϕ=

n−1

X

k=0

ck(xk+1−xk).

Ce nombre ne dépend pas du choix de la subdivisionτsubordonnée àϕ.

Démonstration Prouvons que cette définition ne dépend pas de la subdivision choisie. Soientτ₁etτ₂deux subdivisions subor- données àϕ. NotonsIτl’intégrale calculée avec la formule donnée dans la proposition pour une subdivisionτde[a,b].

• Supposons que τ₁est plus fine que τ₂. Siτ₁ etτ₂ ne diffèrent qu’en un point,τ₂=a=x₀<x₁<. . .<x_i <x_i+1<

. . .<xn=betτ₁=a=x0<x1<. . .<x_i <α<x_i+1<. . .<xn=b. On a :ϕ_|]xi,xi+1[=c_i par conséquentϕ_|]xi,α[=c_i, ϕ_|]α,xi+1[=c_i et

Iτ1=c0(x1−x0)+c1(x2−x1)+. . .+c_i−1¡

x_i−x_i−1¢ + c_i¡

α−x_i¢ +c_i¡

x_i+1−α¢

| {z }

=ci(xi+1−xi)

+c_i+1¡

x_i+2−x_i+1¢ +

. . .+c_n−1(x_n−x_n−1)=I_τ2

Le cas oùτ1etτ2ne diffèrent que d’un nombre fini de points se traite de même.

• Étudions maintenant le cas général. Considérons la subdivisionτ=τ₁∪τ₂qui est plus fine queτ₁etτ₂. En appliquant le point précédent, on aI_τ=I_τ1etI_τ=I_τ2 et par conséquentI_τ1=I_τ2.

16.1.4 Propriétés de l’intégrale d’une fonction en escaliers

P^ROPOSITION16.4 L’intégrale est une forme linéaire surE_{([a,b] ,R)}

Soientϕ1,ϕ2∈E_{([a,b] ,R)}deux fonctions en escalier sur le segment[a,b]. Pour toutα,β∈R, on a Z

[a,b]αϕ1+βϕ2=α Z

[a,b]ϕ1+β Z

[a,b]ϕ2

Autrement dit, si

θ:

½ E_{([a,b] ,R) −→ R}

ϕ 7−→ R

[a,b]ϕ alors on a

θ¡

αϕ1+βϕ2

¢=αθ¡ ϕ1

¢+βθ¡ ϕ2

¢ On dit aussi queθest uneforme linéairesurE_{([a,b] ,R)}.

Démonstration Soientτ₁une subdivision subordonnée àϕ₁etτ₂une subdivision subordonnée àϕ₂. Soitτune subdivision plus fine queτ₁etτ₂. Elle est donc subordonnée à la fois àϕ₁et àϕ₂. Supposons queτ:a=x₀<x₁<. . .<x_n=bet que

∀i∈ ‚0,n−1ƒ, ϕ1|]xi,xi+1[=c_i et ϕ2|]xi,xi+1[=d_i. On a alors

Z [a,b]

αϕ₁+βϕ₂ = nX−1 i=0

¡αc_i+βd_i¢ ¡

x_i+1−x_i¢

= α n−1

X i=0

c_i¡

x_i+1−x_i¢ +β

n−1 X i=0

d_i¡

x_i+1−x_i¢

= α Z

[a,b]ϕ₁+β Z

[a,b]ϕ₂ P^ROPOSITION16.5 L’intégrale d’une fonction en escalier positive est positive

Soitϕ∈E_{([a,b] ,R)}une fonction en escalier sur le segment[a,b]. Siϕest positive sur[a,b]alors^R_[a,b]ϕÊ0. Démonstration Soitτ:a=x₀<x₁<. . .<x_n =bune subdivision subordonnée àϕ:_∀i∈ ‚0,n−1ƒ, ϕ_1|]x

i,x_i+1[=c_i ∈R. Commeϕest positive, pour touti∈ ‚0,n−1ƒ, on ac_iÊ0. Par conséquent,^R_[a,b]ϕ=Pn−1

i=0c_i¡

x_i+1−x_i¢ Ê0.

C^OROLLAIRE16.6 Soit^¡ϕ1,ϕ2¢

∈(E([a,b] ,R))². On a

ϕ1Éϕ2 =⇒

Z

[a,b]ϕ1É Z

[a,b]ϕ2

Démonstration Il suffit d’appliquer le résultat précédent à la fonction en escalierϕ=ϕ₂−ϕ₁et d’utiliser la linéarité de l’intégrale.

PROPOSITION16.7 Relation de Chasles

Soitϕune fonction en escalier sur le segment[a,b]etc∈]a,b[. Alors Z

[a,b]ϕ= Z

[a,c]ϕ+ Z

[c,b]ϕ

Démonstration Soitτ:a=x0<x1<. . .<xn =bune subdivision subordonnée àϕ. On peut supposer, quitte à considérer la subdivisionτ^′=τ∪{c}qui est plus fine queτquecest un point deτ. On suppose de plus quecest le m-ième élément deτ. Si pour touti∈ ‚0,n−1ƒ,ϕ_1|]x

i,x_i+1[=c_i alors Z

[a,b]ϕ = nX−1 i=0

c_i¡

x_i+1−x_i¢

= mX−1

i=0 c_i¡

x_i+1−x_i¢ +

nX−1 i=m

c_i¡

x_i+1−x_i¢

= Z

[a,c]ϕ+ Z

[c,b]ϕ

16.2 Fonctions continues par morceaux

16.2.1 Définition et propriétés

a=x⁰ x¹ x² b=xn

f(x⁰) f(x1)

f(xⁿ)

FIGURE16.6 – Fonction continue par morceaux

DÉFINITION16.5 Fonction continue par morceaux sur un segment

— Soit[a,b]un segment. On dit qu’une fonctionϕ: [a,b]→Rest une fonctioncontinue par morceauxsur[a,b]

lorsqu’il existe une subdivisionτ:a=x0< ··· <xn=bdu segment[a,b]telle que 1. Pour toutk∈ ‚0,n−1ƒ, la restriction deϕà]xk,xk+1[est continue.

2. Pour toutk∈ ‚0,n−1ƒ,ϕrestreinte à]xk,xk+1[admet une limite finie strictement à droite enxket strictement à gauche enxk+1. Autrement dit, la restriction deϕà]xk,xk+1[est prolongeable par continuité sur[xk,xk+1].

— Une telle subdivision est diteadaptéeousubordonnéeàϕ. Remarque 16.2

— Toute fonction en escalier sur[a,b]est continue par morceaux sur[a,b].

— Comme pour les fonctions en escaliers, siτest une subdivision de[a,b]subordonnée àϕcontinue par morceaux sur[a,b]et siτ^′est une autre subdivision deϕde[a,b]plus fine queτalorsτ^′est aussi subordonnée àϕ. PROPOSITION16.8

Siϕest une fonction continue par morceaux sur un segment[a,b]alorsϕest bornée sur[a,b].

Démonstration Soitϕune fonction continue par morceaux sur[a,b]et soitτ:a=x0<. . .<xn=bune subdivision subordonnée àϕ. Pour touti∈ ‚0,n−1ƒ, la fonctionf_|]xi,xi+1[est continue et se prolonge en une fonctionf^˜_i continue sur le segment^£x_i,x_i+1¤. En appliquant le théorème??, f^˜_i est bornée sur le segment[x_i,x_i+1]. PosonsM=max_{i∈‚0,n−1ƒ}©

M_i,|f¡ x_i¢

|ª

∪{|f(b)|}. Alors

∀x∈[a,b],_|f(x)| ÉM. P^ROPOSITION16.9 SoitIun intervalle.

— L’ensemble des fonctions réelles continues par morceaux sur [a,b] est un sous-espace vectoriel de (F([a,b] ,R) ,+, .).

— L’ensemble des fonctions réelles continues par morceaux sur[a,b]est un sous-anneau de(F([a,b] ,R) ,+,×). Démonstration Montrons le premier point, le second se prouve de même. Il est tout d’abord clair que l’ensemble des fonctions réelles continues par morceaux sur[a,b]est non vide. Soientα,βdeux scalaires réels et soientϕ₁etϕ₂deux fonctions continues par morceaux sur[a,b]. Soientτ₁une subdivision de[a,b]subordonnée àϕ₁et soitτ₂une subdivision de[a,b]subordonnée àϕ₂. Soitτ:a=x₀<. . .<xn=bune subdivision plus fine queϕ₁etϕ₂.τest donc subordonnée à la fois àϕ₁et àϕ₂. De plus, pour touti∈ ‚0,n−1ƒ,^¡αϕ₁+βϕ₂¢

|]x_i,x_i+1[=αϕ_1|]x

i,x_i+1[+βϕ_2|]x

i,x_i+1[ qui est continue sur^¤x_i,x_i+1£comme combinaison linéaire d’applications continues sur^¤x_i,x_i+1£. De plus, par opérations sur les limites,^¡αϕ₁+βϕ₂¢

|]x_i,x_i+1[admet une limite stricte à droite dex_i et une limite stricte à gauche dex_i+1.αϕ1+βϕ2est donc bien une fonction continue par morceaux sur[a,b].

16.2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier

T^HÉORÈME16.10 ⋆ Approximation d’une fonction continue par une fonction en escalier

Soitf une fonction continue sur le segment[a,b]etε>0. Alors, il existe une fonction en escalierϕtelle que kf−ϕk∞= sup

x∈[a,b]|f(x)−ϕ(x)| Éε.

Démonstration Puisque la fonctionf est continue sur le segment[a,b], elle est uniformément continue sur ce segment (théorème de Heine, ??). Il existe doncη>0tel que_∀(x,y)∈[a,b]², _|x−y| Éη =⇒ |f(x)−f(y)| Éε. Considérons alors un entier n suffisamment grand pour que (b−a)/nÉηet définissons la subdivision de pas constanth=(b−a)/nÉη, x_i =a+i h pour i∈[[0,n−1]]. Définissons ensuite la fonction en escalierϕen posant_∀i∈[[0,n−1]],_∀x∈[x_i,x_i+1[,ϕ(x)=f(x_i)etϕ(b)=f(b). Soitx∈[a,b[, il existei∈[[0,n−1]]tel quex_iÉx<x_i+1et comme_|x−x_i| Éη,_|f(x)−ϕ(x)| = |f(x)−f(x_i)| Éε. Six=b, on a également_|f(b)−ϕ(b)| =0Éε. En passant à la borne supérieure, on a bien_kf−ϕk_∞Éε.

Multimédia : animation, n augmente et les aires des rectangles sous le graphe de f se rapprochent de l’intégrale

L^EMME16.11 Une fonction continue par morceaux est la somme d’une fonction continue et d’une fonction en escalier

Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment[a,b]. Il existe une fonction g continue sur [a,b]et une fonctionψen escalier sur[a,b]telles quef =g+ψ.

Démonstration Considérons une subdivisiona=x₀< ··· <xn=bsubordonnée à la fonction en escalierf. Commef est continue par morceaux, sa restriction à]x₀,x₁[possède une limite finie à droite enx₀et une limite finie à gauche enx₁, f(x)−−−−−→

x→x⁺₀ let f(x)−−−−−→_x→x

1− L. Posons_∀x∈]x₀,x₁[,g(x)=f(x),g(x₀)=l etg(x₁)=Letψ(x₀)=f(x₀)−l,_∀x∈]x₀,x₁[,ψ(x)=0etψ(x₁)= f(x₁)−L. On a bieng continue sur[x₀,x₁],ψen escalier sur [x₀,x₁]et_∀x∈[x₀,x₁], f(x)=g(x)+ψ(x). On recommence ce procédé sur[x1,x2]. . . pour définir les fonctionsgetψsur[a,b].

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

ǫ

FIGURE 16.7 – Une approximation grossière avecεassez grand

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10x11x12x13x14x15x16x17x18x19x20

ǫ

FIGURE16.8 – Une approximation plus fine avec εplus petit

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄

F^IGURE16.9 – Toute fonction continue par morceaux est somme d’une fonction continue et d’une fonction en escaliers.

C^OROLLAIRE16.12 Approximation uniforme d’une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier Soitf une fonction continue par morceaux sur le segment[a,b]etε>0. Il existe une fonctionϕen escalier sur[a,b]

telle quekf−ϕk_∞Éε.

Démonstration D’après le lemme précédent, il existe une fonctiong continue sur[a,b]et une fonctionψen escalier sur[a,b]

telles quef =g+ψ. D’après le théorème précédent, il existe une fonction en escalierχsur[a,b]telle que_kg−χk∞Éε. Posons alorsϕ=ψ+χ. C’est une fonction en escalier et on a bien_kf−ϕk_∞= kg−χk_∞Éε.

COROLLAIRE16.13 Encadrement d’une fonction continue par morceaux par deux fonctions en escalier

Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment[a,b]etε>0. Il existe deux fonctions en escalier,ϕ,ψ∈ E_{([a,b] ,R)}vérifiant

ϕÉf Éψ et ψ−ϕÉε .

Démonstration D’après le corollaire??, il existe une fonction en escalierχsur[a,b]vérifiant_∀x∈[a,b],₋ε/2Éf(x)−χ(x)Éε/2. Définissons les fonctions en escalierϕ=χ−ε/2etψ=χ+ε/2. Elles vérifient bienϕÉfÉψetψ−ϕ=ε.

16.2.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

PROPOSITION16.14 Intégrale de Riemann d’une fonction continue par morceaux Soit une fonctionf continue par morceaux sur un segment[a,b]. On considère les ensembles

I<f =

½Z

[a,b]ϕ|ϕest en escalier sur[a,b]etϕÉf

¾

I>f =

½Z

[a,b]

ϕ|ϕest en escalier sur[a,b]etf Éϕ

¾

On a les propriétés suivantes,

• I

<f admet une borne supérieure.

• I

>f admet une borne inférieure.

• supI

<f =infI

>f.

On définit alors l’intégrale de Riemann de la fonction continue par morceauxf sur[a,b]par Z

[a,b]f =supI

<f =infI

>f

Démonstration On définit les ensemblesE

<f etE

>f par E<f =©

ϕest en escalier sur[a,b]etϕÉfª et

E>f =©

ϕest en escalier sur[a,b]etfÉϕª

• On a prouvé que si f est une fonction continue par morceaux sur[a,b]alors elle est minorée par un réelm et majorée par un réelMsur[a,b]. Par conséquent, les fonctions en escalier sur[a,b]définies parx7→metx7→Msont éléments respectivement deE

<f et deE

>f.E

<f etE

>f sont donc non vides.

• Montrons que I

<f est majorée. Soitϕ∈E

<f. On aϕÉf ÉM. Par conséquent,^R_[a,b]ϕÉR

[a,b]M=M (b−a). Cette majoration étant valable pour toute fonction en escalierϕ∈E

<f, on en déduit queI

<f est majorée.

• D’après l’axiome de la borne supérieure, on en déduit queI

<f possède une borne supérieureβ.

• De même, on prouve queI

>f est non vide minorée et possède une borne inférieureα.

• On aαÉβ. Montrons queα=β. Soitε>0. Appliquant le théorème précédent, il existe des fonctions en escalierϕetψ définies sur[a,b]telles que

ϕÉf Éψ et ψ−ϕÉε On a donc :ϕ∈E

<f etψ∈E

>f ce qui donne Z

[a,b]ϕÉαÉβÉ Z

[a,b]ψ ce qui s’écrit aussi :

β−αÉ Z

[a,b]ψ− Z

[a,b]ϕ= Z

[a,b]ψ−ϕÉε(b−a) Cette inégalité étant valable pour toutε>0, on en déduit que :α=β.

Remarque 16.3 Cette définition généralise la définition de l’intégrale d’une fonction en escalier. Si f est une fonction en escalier, son intégrale de Riemann est égale à l’intégrale de la fonction en escalier précédemment définie.

P^LAN16.1 : Pour montrer qu’une fonctionf est intégrable sur un segment Il suffit de montrer quef est continue par morceaux sur ce segment.

B^IO1 Bernhard Riemann, né le 17 septembre 1826 à Breselenz(Allemagne), mort le 20 juillet 1866 à Selasca, Italie Mathématicien Allemand. Bernhard Riemann est le deuxième enfant

d’une famille de six. Il reçoit de son père, pauvre pasteur luthérien, une éducation stricte et rigoureuse. Bien que très tôt il montre des talents intellectuels exceptionnels, il souffre d’une grande timidité, de dépres- sion nerveuse et hypocondrie. Ses problèmes d’expression le poursui- vront toute sa vie et l’empêcheront d’être reconnu à sa juste valeur de son vivant. Á19ans, il s’établit à Hanovre pour étudier la théologie et la philosophie, mais ses goût s’orientent vite vers les mathématiques.

Il rencontre Gauss à l’université de Göttingen qui sera son directeur de thèse. Celle-ci porte sur les fonctions complexes et il y introduit les sur- faces qui portent maintenant son nom et qui sont d’une grande impor- tance dans la recherche mathématique actuelle. Quelques années plus tard, il jette les bases de la géométrie différentielle. C’est aussi lui qui a finalisé le travail de Cauchy sur les fonctions intégrables et qui a, le pre- mier, produit une théorie rigoureuse de l’intégration. Il est le découvreur de la fonctionζqui est au carrefour de nombreuses théories mathéma- tiques modernes. La position des zéros de cette fonction est l’objet d’une célèbre conjecture qui n’a toujours pas été prouvée et qui permettrait de

mieux comprendre la répartition des nombres premiers. Bernhard Riemann est mort à40ans de la tuberculose.

16.2.4 Propriétés de l’intégrale

P^ROPOSITION 16.15 L’intégrale est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des fonctions continues par mor- ceaux

Soientf etg deux fonctions continues par morceaux sur le segment[a,b]etα,β∈R. Alors Z

[a,b](αf+βg)=α Z

[a,b]f +β Z

[a,b]g

Démonstration Commef etgsont des fonctions continues par morceaux sur le segment[a,b], il en est de même deαf+βget cette fonction est donc intégrable sur le segment[a,b]. PosonsI=R

[a,b]αf+βg,I₁=R

[a,b]f etI₂=R

[a,b]g. On veut donc prouver queI=αI₁+βI₂, ce qui revient à montrer que pour toutε>0, on a₋εÉI−¡

αI₁+βI₂¢

Éε. Soitε>0. D’après le théorème??, il existe des fonctions en escalierϕ₁,ϕ₂,ψ₁,ψ₂définies sur[a,b]telles que

ϕ₁ÉfÉψ₁, ψ₁−ϕ₁Éε et ϕ₂ÉgÉψ₂, ψ₂−ϕ₂Éε On a donc

αϕ₁+βϕ₂Éαf+βgÉαψ₁+βψ₂ et αψ₁+βψ₂−¡

αϕ₁+βϕ₂¢ Éε Il vient alors

Z

[a,b]αϕ₁+βϕ₂−α Z

[a,b]ψ₁−β Z

[a,b]ψ₂ÉI−¡

αI₁+βI₂¢ É

Z

[a,b]αψ₁+βψ₂−α Z

[a,b]ϕ₁−β Z

[a,b]ϕ₂ donc ^Z

[a,b]

α¡ ϕ₁−ψ₁¢

+β¡ ϕ₂−ψ₂¢

ÉI−¡

αI₁+βI₂¢ É

Z [a,b]

α¡ ψ₁−ϕ₁¢

+β¡ ψ₂−ϕ₂¢

par linéarité de l’intégrale des fonctions en escalier donc ^Z

[a,b]−ε¡ α+β¢

ÉI−¡

αI₁+βI₂¢ É

Z [a,b]ε¡

α+β¢carψ₁−ϕ₁Éεetψ₂−ϕ₂Éεet par application du théorème??

donc ₋ε¡ α+β¢

(b−a)ÉI−¡

αI₁+βI₂¢ Éε¡

α+β¢ (b−a) ce qui prouve le théorème.

PROPOSITION16.16 L’intégrale d’une fonction continue par morceaux positive est positive Soitϕune fonction continue par morceaux sur le segment[a,b]. On a

∀x∈[a,b] , ϕ(x)Ê0 =⇒

Z

[a,b]ϕÊ0

Démonstration La fonction nulle sur[a,b]est en escalier et vérifie0Éf. Elle est donc élément deE

<f et par définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux, on a^R_[a,b]fÊR

[a,b]0=0. COROLLAIRE16.17

Soientϕ1etϕ2deux fonctions continues par morceaux sur le segment[a,b]. On a ϕ1Éϕ2 =⇒

Z

[a,b]ϕ1É Z

[a,b]ϕ2

Démonstration En appliquant le théorème précédent à la fonction positiveg−f, on obtient^R_[a,b]g−f Ê0et on conclut en utilisant la linéarité de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux.

PROPOSITION16.18 Relation de Chasles

Soitϕune fonction continue par morceaux sur le segment[a,b]. Soitc∈]a,b[. Alors : Z

[a,b]ϕ= Z

[a,c]ϕ+ Z

[c,b]ϕ

Démonstration Soitϕ∈E

<f. On aϕ_|[a,c]Éf_|[a,c]etϕ_|[c,b]Éf_|[c,b]. Par conséquent, Z

[a,b]ϕ = Z

[a,c]ϕ+ Z

[c,a]ϕpar application de la relation de Chasles pour les fonctions en escalier É

Z [a,c]f+

Z

[c,a]f par application du théorème??

Notonsγcette dernière quantité.γest donc un majorant de I

<f =nR

[a,b]ϕ|ϕ∈E

<f

o. Par conséquent, γÊR

[a,b]f. On peut faire le même raisonnement avec une fonctionϕ∈E

>f et on aura alorsγÉR

[a,b]f. Doncγ=R

[a,b]f et la relation de Chasles est démontrée.

16.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle

Idésigne ici un intervalle deR.

D^ÉFINITION16.6 Fonction continue par morceaux sur un intervalle

On dit qu’une fonction définie sur un intervalleIestcontinue par morceauxsurIsi et seulement si elle est continue par morceaux sur tout segment deI.

✎ Notation 16.1 Soitf une fonction continue par morceaux surI. Soit(a,b)∈I². On note

— SiaÉb,^R_a^bf(x)dx=R

[a,b]f

— SibÉa,^R_a^bf(x)dx= −R

[a,b]f

— Sia=b,^R_a^bf(x)dx=0

Remarque 16.4 Dans cette notation (comme dans les calculs de sommes), la variablexest muette, on a défini l’intégrale d’unefonction.^Zb

a

f(x) dx= Zb

a

f(t) dt=. . .. P^ROPOSITION16.19 Relation de Chasles

Soit une fonctionf continue par morceaux sur l’intervalleIet trois réelsa,b,c∈I. Alors Zb

a

f(x)dx= Zc

a

f (x)dx+ Zb

c

f(x)dx

Démonstration

• Sia<c<b, par application du théorème??, Z_b

a f(x)dx= Z

[a,b]f= Z

[a,b]f+ Z

[c,b]f= Z_c

a f(x)dx+ Z_b

c f(x)dx

• Sia<b<c, par application du point précédent, Z_c

a f(x)dx+ Z_b

c f(x)dx= Z_c

a f(x)dx− Z_c

b f(x)dx= Z_b

a f(x)dx

• Les autres cas se démontrent de même.

16.2.6 Nullité de l’intégrale d’une fonction continue

THÉORÈME16.20 ⋆⋆⋆ Si l’intégrale d’une fonction continue positive est nulle alors cette fonction est nulle Soient[a,b]un segment et une fonctionf : [a,b]→Rvérifiant

H1 la fonctionf est continue sur le segment[a,b],

H2 elle est positive :∀x∈[a,b] , f(x)Ê0.

H3 son intégrale est nulle :^R_a^bf(x)dx=0. Alors la fonction est nulle : _∀x∈[a,b] , f(x)=0

Démonstration Par l’absurde, supposons que la fonctionf n’est pas nulle. Alors il existec∈[a,b]tel quef(c)6=0. Pour simplifier la rédaction, supposons quec∈]a,b[etf(c)>0(les autres cas se traitent de la même façon). Posonsε=f(c)/2. Puisque la fonction

f est continue au pointc, on peut trouver un voisinage^¤c−η,c+η£

decavecη>0inclus dans[a,b]tel que_∀x∈¤

c−η,c+η£ ,

−εÉf(x)−f(c)Éεc’est-à-dire_∀x∈¤

c−η,c+η£

f(x)Êε. On a donc par la relation de Chasles, Z_b

a f(x)dx = Z_c−η

a f(x)dx+ Z_c+η

c−η f(x)dx+ Z_b

c+ηf(x)dx Ê

Z_c+η

c−η f(x)dxcarfÊ0

>

Z_c+η

c−η εdx=2ηε>0

ce qui est en contradiction avec la troisième hypothèse.f est donc nulle sur[a,b]. Remarque 16.5

— La réciproque de cette propriété est clairement vraie :^£_∀x∈[a,b] , f(x)=0¤

=⇒ Rb

a f (x)dx=0.

— Ce théorème est bien entendu faux si l’on ne suppose pas f Ê0sur[a,b]ou si la fonction f est uniquement continue par morceaux : une fonction nulle partout sauf en un point est d’intégrale nulle.

16.2.7 Majorations fondamentales

THÉORÈME16.21 ⋆⋆⋆

Soientf une fonction réelle continue par morceaux sur le segment[a,b]. En appliquant la proposition??, il existe des réelsmetMtels que_∀x∈[a,b] , mÉf(x)ÉM. On a alors

m(b−a)É Zb

a

f (x)dxÉM (b−a)

Démonstration En appliquant la proposition??, on obtient Z_b

a mdxÉ Z_b

a f(x)dxÉ Z_b

a Mdx ce qui donne le résultat.