LM-125 Calcul Matriciel, MIME, premier semestre 2009-2010 Universit´e Pierre et Marie Curie
Feuille de TD 3 : Espaces Vectoriels et Applications Lin´eaires
Espaces Vectoriels Exercice 1.On d´efinit surE=R2les lois⊕et⊗de la mani`ere suivante :
• (x, y)⊕(x0, y0) = (x+x0, y+y0), pourx, x0, y, y0 ∈R, et
• λ⊗(x, y) = (λx, λ2y), pourλ, x, y∈R.
L’espace(E,⊕,⊗)est-il unR-espace vectoriel ? Donner deux lois ”naturelles” (canoniques) qui font deEunR-espace vectoriel.
Exercice 2.SoientEunK-espace vectoriel etU, V ⊂Edeux sous-espaces vectoriels. Montrer que l’intersection deU etV est encore un sous-espace vectoriel deE. Montrer queU ∪V est un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si U ⊂V ouV ⊂U.
Exercice 3.Montrer que leK-espace vectorielKn’admet pas d’autre sous-espace vectoriel que{0}etK.
Exercice 4.Quels sont les sous-espaces vectoriels deCvu commeC-espace vectoriel puis commeR-espace vectoriel ?
Exercice 5.D´eterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels deR2:
A1={(x, y)∈R2 : y=x}, A2={(x, y)∈R2 : y=x2}, A3={(x, y)∈R2 : y≥x}
Exercice 6.D´eterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels deR3:
A1={(x, y,0) : x, y∈R}, A2={(x, y, z)∈R3 : x+y+z= 0}, A3={(x, y, z)∈R3 : x+y+z= 1}, A4={(x, y, z)∈R3 : x2+y2=z2}, A5={(x, y, z)∈R3 : 3x= 2y+ 5z}, A6=Q3.
Exercice 7. SoitA(R,R)l’espace vectoriel surRdes applications deRdansR. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels deA(R,R)?
1. L’ensemble des fonctions continues surR. 2. L’ensemble des fonctions paires.
3. L’ensemble des fonctions impaires.
4. L’ensemble des fonctions croissantes.
5. L’ensemble des fonctions monotones.
6. L’ensemble des fonctions positives.
7. L’ensemble des fonctions born´ees.
8. L’ensemble des fonctions d´erivables.
9. L’ensemble des fonctions nulles en1.
10. L’ensemble des fonctions ´egales `a1en0.
11. L’ensemble{f ∈ A(R,R) : ∀x∈R, f(x+ 1) = 2f(x)}.
12. L’ensemble{f ∈ C2(R) : f”= 0}.
13. L’ensemble des fonctions2π-p´eriodiques.
Exercice 8.On d´esigne parEl’espace des applicationsgdeRdansRque l’on peut ´ecrire sous la forme g:x7→acos(2x) +bcos(x) +c,
aveca,betcdansR.
1. Montrer queEest un espace vectoriel surR.
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2. Soientf etkd´efinies parf(x) = sin2xetk(x) = cos2x+ sin2(x/2). Les fonctionsf etkappartiennent-elles `a E? Quel est le sous-espace engendr´e parf?
3. Montrer que l’espace
{acos2x+bsin2(x/2) : a, b∈R} est un sous-espace deE. Quel est son intersection avecVect(f)?
Exercice 9.Soit
E={fa,b(:x7→(ax+b)e2x)∈ F(R,R) : a, b∈R}.
1. D´emontrer queEest unR-espace vectoriel.
2. D´emontrer que l’ensembleFdes fonctionsfa,bmonotones surRest un sous-espace vectoriel deE. Le d´ecrire.
Exercice 10.Dire si les sous-espaces vectoriels suivants deR3sont suppl´ementaires :
F1={(x, x, x) : x∈R} et G1={(0, x, y) : (x, y)∈R2},
F2={(x, y, z)∈R3 : x+ 2y+z= 0} et G2={(x, y, z)∈R3 : x−2y+z= 0}, F3={(x, y, x+y) : (x, y)∈R2} et G3={(x,−x,0) : x∈R},
F4={(x, y, x+y) : (x, y)∈R2} et G4={(x, x,0) : x∈R}, F5={(x, y, z)∈R3 : x+y+z= 0} et G5={(x, y, x) : (x, y)∈R2}.
Exercice 11.On consid`ere les sous-espaces vectorielsF1,F2etF3des fonctions deRdansRqui sont respectivement paires, impaires et nulles en 0.
1. D´eterminer les sous-espaces vectorielsF1+F2,F2+F3etF1+F3. 2. Quels couples de sous-espaces vectoriels sont en somme directe ?
Applications Lin´eaires
Exercice 12.Montrer qu’une applicationf : R2 → RestR-lin´eaire si et seulement si elle est de la formef(x, y) = ax+byaveca, b∈R.
Exercice 13.SoitEun espace vectoriel de dimension finie sur le corps commutatifK, et soituun endomorphisme de E. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes
1. Keru= Imu
2. u2= 0et dim Keru= dim Imu= dimE/2.
Exercice 14.SoitE1etE2deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEde dimension finie. Soitf :E1×E27→
El’application d´efinie parf(x1, x2) =x1+x2. 1. Montrer quef est lin´eaire.
2. Montrer que Kerf ={(x,−x) :s∈E1∩E2}.
3. Montrer que KerfetE1∩E2sont isomorphes.
4. Montrer quef a pour imageE1+E2. 5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede la formule :
dim(E1+E2) +dim(E1∩E2) =dimE1+dimE2.
Exercice 15.SoitEun espace vectoriel sur un corps commutatifK. On appelleprojecteurdeEtout endomorphisme pdeEtel quep◦p=p. On d´esigne parIEl’application identit´e deE(on notera que c’est un projecteur deE).
1. Montrer quepest un projecteur si et seulement siIE−pest un projecteur deE. Quelles relations y a-t-il entre les images et les noyaux depetIE−p?
2. Montrer que sipest un projecteur deE, alorsE=Imp⊕Kerp.
3. Montrer que sipest un projecteur deEet sif est un endomorphisme deEtel quef(Imp) =Impetf(Kerp) = Kerp, alorsf ◦p=p◦f.
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