Chapitre 21 : développements limités et

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET ÉTUDE DE FONCTIONS I – Développements limités

Nous avons vu précédemment que sif est dérivable enx₀etf⁰(x₀)6=0, alorsf(x)−f(x₀)∼_x

0

f⁰(x₀)(x−x₀), ce qui se traduit par lim

x→x0

f(x)−f(x0)−f⁰(x0)(x−x0)

x−x0 =0 : ceci donne la meilleure approximation affine de f au voisi- nage dex₀. On cherche dans ce paragraphe à améliorer cette approximation en approchantf par des fonctions polynômes (plus le degré est élevé, meilleure est l’approximation).

1^o) Négligeabilité

Commençons par une notation fondamentale pour la suite des opérations, la notion de fonction négligeable.

Définition 1 :

Soitn∈Z^etf une fonction définie surDau voisinage dea, oùa=0 oua= +∞.

On dit quef estnégligeabledevantxⁿena, et on note f(x)=oa¡ xⁿ¢

(ou f(x)_x=

→ao (xⁿ)), s’il existe une fonctionεdéfinie surDtelle que lim

x→aε(x)=0 etf(x)=xⁿε(x) au voisinage dea. Exemple 1 : ∀n∈N,n≥2,xⁿ=o0(x) etx=o_+∞(xⁿ). 1−cos(x)=o0(x).

Remarque : Pourn=0, f =oa(1) ssif tend vers 0 ena . Propriété 1 :

f(x)=oa¡ xⁿ¢

⇐⇒lim

x→a

f(x) xⁿ =0. Exemple 2 : ∀n∈N^∗, e^−x=o_+∞¡

x⁻ⁿ¢ .

Nous allons alors convenir d’une notation, qui n’a pas de sens a priori, mais qui s’avérera pratique pour l’écriture des développements limités :

Définition 2 :

f etgsont deux fonctions définies surDau voisinage dea,nest un entier relatif.

On notef(x)=g(x)+oa(xⁿ) lorsquef(x)−g(x)=oa(xⁿ).

Remarque : Attention, ce n’est qu’une convention, il ne s’agit pas d’une somme au sens usuel. On ne fera pas d’opérations intuitives sur les petits o.

2^o) Développements limités Définition 3 :

Soitf définie au voisinage de 0 etn∈N^.

On dit quef admet undéveloppement limitéà l’ordrenen 0 s’il existe une famille de réels (a_k)_0≤k≤n telle que f(x)=a₀+a₁x+. . .+a_nxⁿ+o0(xⁿ)=

Xn k=0

a_kx^k+o0(xⁿ) . Dans ce cas, on appelle partie régulièredu développement limité le polynômea₀+a₁x+. . .+a_nxⁿ.

Remarque :

– On rappelle que la notation précédente signifie quef(x)−

n

X

k=0

akx^k=o0(xⁿ), ou encore quef(x)=a0+a1x+ . . .+anxⁿ+xⁿε(x) avec lim

x→0ε(x)=0.

– Sif admet un DLn(0) et si f est définie en 0, alorsa₀=f(0) etf est continue en 0.

Exemple 3 :

– Avec nos connaissances sur les équivalents, on montre que cos(x)=1−x²

2 +o0(x²).

– En se rappelant au bon souvenir des sommes de termes d’une suite géométrique, on doit pouvoir prouver que 1

1−x possède un DLn(0) pour tout entiern. Le développement limité, lorsqu’il existe, est unique : Propriété 2 :

Si f admet un développement limité à l’ordre n en0, alors celui-ci est unique.

Démonstration : Par l’absurde.

Remarque : Sif admet un développement limité à l’ordrenen 0, alors la fonction polynômex7→a0+a1x+. . .+ anxⁿest la meilleure approximation def par une fonction polynôme de degrénau voisinage de 0.

Propriété 3 :

Si f admet un développement limité à l’ordre n en0, alors pour tout k∈££ 0,n¤¤

, f admet un développe- ment limité à l’ordre k en 0. De plus, si f(x) = a0+a1x+. . .+anxⁿ+o0(xⁿ), alors ∀k ∈££

0,n¤¤ , f(x)=a₀+a₁x+. . .+a_kx^k+o₀(x^k).

Démonstration : f(x)=a0+a1x+. . .+akx^k+x^k¡

ak+1x+. . .+anx^n−k+o0(x^n−k)¢

, il ne reste qu’à poserε(x)= ak+1x+. . .+anx^n−k+o0(x^n−k)...

Exemple 4 : Développement limité à l’ordrenen 0 d’une fonction polynôme de degréd: tout dépend sin<d oun≥d.

La parité simplifie les recherches de développement limité : Propriété 4 :

Si f admet un développement limité à l’ordre n en0de partie régulière Pn, alors : – Si f est paire, alors Pnest paire (elle ne contient que des puissances paires).

– Si f est impaire, alors P_nest impaire (elle ne contient que des puissances impaires).

Démonstration : Admis (utilise l’unicité du DL).

Les développements limités peuvent exister en n’importe quel réel : Définition 4 :

Soitf définie au voisinage deaetn∈N.

On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en a si la fonction h 7→ f(a+h) ad- met un développement limité à l’ordre n en 0. Dans ce cas, un tel développement limité s’écrit

f(x)=a0+a1(x−a)+. . .+an(x−a)ⁿ+oa¡

(x−a)ⁿ¢

=

n

X

k=0

ak(x−a)^k+oa¡

(x−a)ⁿ¢ .

Remarque :

– Pour déterminer un développement limité enad’une fonctionf, on posex=a+het on cherche un DLn(0) def(a+h). Ainsi tout développement limité peut se ramener à un développement limité en 0. On termine en remplaçant tous leshparx−a, sans développer les puissances dex−a.

– On peut aussi parler de développement limité en l’infini : il suffit pour cela de poserX=1

x, qui tend vers 0 siXtend vers l’infini. On est ramené à chercher un DLn(0) def

µ1 X

¶

, et par conséquent à utiliser la notation o_+∞(x⁻ⁿ) vue précédemment.

Propriété 5 :

Soit f définie sur un intervalle ouvert I contenant0.

f admet un développement limité à l’ordre0en0ssi f est continue en0.

f admet un développement limité à l’ordre1en0ssi f est dérivable en0.

Démonstration : Pas très compliquée.

Remarque :

– Le résultat n’est plus vrai dès qu’on dépassen=1 (voir le casf(x)=x³sin µ1

x

¶

, qui admet comme DL₂(0) f(x)=o0¡

x²¢ ).

– Si f n’est pas définie en 0 : sif admet un DL0(0), f est prolongeable par continuité en 0, et sif admet un DL1(0),f est prolongeable en une fonction dérivable en 0. Le résultat est similaire ena.

– Si f admet un DL1(0), s’écrivant sous la forme f(x)=a0+a1x+o0¡ x¢

, alors une équation de la tangente à la courbe def en 0 esty=a0+a1x. Pour déterminer la position locale (au voisinage de 0) de la courbe par rapport à la tangente, il faut déterminer un terme supplémentaire du développement limité, et étudier alors le signe (local) de la différence. Le principe est identique ena: si f(x)=a0+a1(x−a)+oa¡

x−a¢

, alors la tangente a pour équationy=a0+a1(x−a).

Les développements limités peuvent permettre d’obtenir des équivalents de fonctions : Propriété 6 :

Soit f une fonction définie au voisinage de0, admettant un développement limité à l’ordre n en0: f(x)=apx^p+a_p+1x^p+1+. . .+anxⁿ+o0(xⁿ), avec ap6=0.

Alors f(x)∼

0apx^p .

Remarque : Cette propriété permet de déterminer le signe d’une fonction au voisinage de 0, elle s’avérera utile notamment pour étudier la position relative locale d’une courbe et de sa tangente.

3^o) Opération sur les développements limités Propriété 7 :

Soient f et g définies au voisinage de0, soit n∈N^et(λ,µ)∈R^2.

Si f et g admettent un développement limité à l’ordre n en0de parties régulières respectives P_n et Q_n, alorsλf +µg admet un développement limité à l’ordre n en0de partie régulièreλPn+µQn.

Démonstration : Immédiate.

On retient que la partie régulière de la somme est la somme des parties régulières, la partie régulière du produit d’une fonction par une constante est le produit de la partie régulière par la constante.

Exemple 5 : DL3(0) de 2x⁵−x³− 3

1−x+ équation de la tangente et position relative locale de la courbe par rapport à sa tangente + allure de la courbe.

Pour le produit, tout se passe bien également, à condition d’ignorer les termes inutiles : Propriété 8 :

Soient f et g définies au voisinage de0et n∈N^.

Si f et g admettent un développement limité à l’ordre n en0de parties régulières respectives Pn et Qn, alors f g admet un développement limité à l’ordre n en0dont la partie régulière s’obtient en ne conser- vant que les termes de degré inférieur ou égal à n dans le produit P_nQ_n.

Démonstration : Pas très immédiate, mais plus pénible à écrire qu’à comprendre.

Exemple 6 : DL3(0) dex²−4x 1−x .

Pour le quotient, le problème est plus complexe et ne peut se résoudre qu’en passant par une composition : Propriété 9 :

Soit f définie sur un intervalle ouvert I contenant0. On suppose que g est définie sur J=f(I).

Si f admet un développement limité à l’ordre n en0et g admet un développement limité à l’ordre n en b=f(0), de parties régulières respectives P_net Q_n, alors g◦f admet un développement limité à l’ordre n en0dont la partie régulière de g◦f s’obtient en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à n dans la fonction polynôme Qn◦Pn.

Démonstration : Admis (un peu technique).

Exemple 7 : DL2(0) de 1 cos(x).

Remarque : En particulier, si f admet un DLn(0) de partie régulièrePn(x), alors∀k∈R^∗,x7→f(kx) admet un DLn(0) de partie régulièrePn(kx).

Exemple 8 : DL4(2) de3 x.

Il est également possible d’obtenir des développements limités par primitivation : Propriété 10 :

Soit f de classe C¹sur un intervalle ouvert I contenant0et n∈N^.

Si f⁰admet un développement limité à l’ordre n en0, alors f admet un développement limité à l’ordre n+1en0. De plus, si Pndésigne la partie régulière de f⁰, alors la partie régulière de f est la primitive de P_nvalant f(0)en0.

Démonstration : Admis (technique également).

Exemple 9 : DL3(0) de sin puis DL4(0) de cos. DLn(1) de ln. DLn(0) de exp, par récurrence. DL2(1) de arctan, en déduire une équation de la tangente à la courbe en 1, et la position relative de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de 1.

Remarque : Attention à ne pas céder à la tentation de dériver un développement limité, ce n’est pas possible. Par exemple, la fonction définie parf(x)=x²sin

µ1 x

¶

admet un DL1(0) (coefficients tous nuls), mais sa dérivée n’ayant pas de limite en 0, elle n’admet pas de DL0(0).

4^o) Formule de Taylor-Young

Nous avons vu le lien entre DL0et continuité, celui entre DL1et dérivabilité. Ceci se généralise aux fonctions de classe Cⁿ:

Théorème 1 :

(Formule de Taylor-Young)

Soit f définie sur un intervalle I , f ∈Cⁿ(I)(où n∈N^{) et0}∈I .

Alors f admet un développement limité à l’ordre n en0, et f(x)=f(0)+f⁰(0)x+f⁰⁰(0)x²

2!+. . .+f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ n!+ o0(xⁿ).

Démonstration : Admis.

Exemple 10 : DLn(0) de cosinus, de sinus, de exp, de (1+x)^αpour toutα∈R^. Remarque :

– On n’utilise pas ce résultat pour la détermination pratique des développements limités, sauf cas exception- nels où on a du temps à perdre, ou si toutes les dérivées successives def sont connues.

– La réciproque est fausse, comme signalé précédemment (voir le cas f(x)=x³sin µ1

x

¶

, qui admet comme DL2(0)f(x)=o0¡

x²¢

mais n’est pas deux fois dérivable en 0).

– En un réela, la formule devient : f(x)=f(a)+f⁰(a)(x−a)+f⁰⁰(a)(x−a)²

2! +. . .+f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ

n! +oa((x−a)ⁿ).

Méthode 1 :

– DL de 1 f :

– Si lim f =`∈R<sup>∗</sup> : on factorise le dénominateur par`, et on utilise le DL de 1

1+u (ou 1 1−u). 1

f = 1

`×1

f

`

=1

`× 1 1+<sub>`</sub>^f −1

, on pose donc u= f

`−1qui tend vers0.

– Si lim f =0: le DL de f n’a pas de terme constant, il démarre à a_kx^kavec a_k6=0et k∈N^∗. On factorise le dénominateur par akx^k, et on utilise le DL de 1

1+u (ou 1

1−u). Le résultat obtenu n’est pas un DL mais un développement asymptotique.

– DL de ln(f) lorsque lim f =`∈R<sup>∗</sup> : on factorise la parenthèse par `, et on utilise le DL de ln(1+u).

ln(f)=ln µ

`×f

`

¶

=ln(`)+ln µ

1+f

`−1

¶

, on pose donc u= f

`−1qui tend vers0.

– DL de e^f lorsque lim f = ` ∈ R<sup>∗ :</sup> on factorise l’exposant par `, et on utilise le DL de e^u. e^f =e^`+f−`=e^{`</sup>e<sup>f−`}, on pose donc u=f−`qui tend vers0.

Développements limités usuels à connaître parfaitement :

sin(x)=x−x³

6 +. . .+(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!+o0¡

x²ⁿ⁺¹¢

cos(x)=1−x² 2 +x⁴

24−. . .+(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!+o0¡

x²ⁿ¢

ln(1+x)=x−x²

2 +. . .+(−1)ⁿ⁺¹xⁿ n +o0¡

xⁿ¢

e^x=1+x+x²

2 +. . .+xⁿ n!+o₀¡

xⁿ¢

∀α∈R^{, (1}+x)^α=1+αx+α(α−1)

2 x²+. . .+α(α−1) . . . (α−n+1)

n! xⁿ+o0¡ xⁿ¢ 1

1−x=1+x+x²+. . .+xⁿ+o0¡ xⁿ¢

5^o) Approximation numérique d’une dérivée

De la définition de la dérivée d’une fonctionf en un réelx0, on déduit de manière immédiate que pourhpetit, le taux d’accroissement f(x0+h)−f(x0)

h est une approximation du nombre dérivéf⁰(x0). Cette définition n’est pas suffisante pour donner une idée de la précision d’une telle approximation : la notion de précision est mesurée par l’écart entre le nombre que l’on approche et la valeur approchée, et l’essentiel est de connaître l’ordre de grandeur de cette précision :

Définition 5 :

Soita∈Run réel fixé, que l’on cherche à approcher par une expressionx(h), etn∈N^∗.

On dit quex(h) est unevaleur approchéedeaà l’ordren(ou à la précisionhⁿ) quandhtend vers 0, s’il existe une constanteCtelle qu’au voisinage de 0, on ait |x(h)−a| ≤C|h|ⁿ .

Remarque :

– Dans ce cas, on a bien évidemment lim

h→0x(h)=a, grâce au théorème des gendarmes. Le résultat donne une idée théorique de la qualité de l’approximation, car il reste le problème de la constanteC qui peut parfois être élevée. Ce qui est certain c’est qu’une expression du typeC hⁿ tend toujours plus vite vers 0 qu’une expression du typeDh^msin>m, quelle que soit la valeur des constantesCetD.

– Six(h) est une valeur approchée dea à l’ordren, alors c’est aussi une valeur approchée dea à tout ordre m<n. Il faut noter que cela ne l’empêche pas d’être une valeur approchée à un ordre supérieur, mais que pour le prouver il faut une meilleure majoration de l’erreur.

En appliquant la formule de Taylor-Young, on montre que si f est de classe C² au voisinage de x0, alors f(x₀+h)−f(x₀)

h −f⁰(x0)=h³f⁰⁰(x₀)

2 +o0(1)´

oùh7−→ f⁰⁰(x₀)

2 +o0(1) est bornée au voisinage de 0, d’où : Propriété 11 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0, de classe C²au voisinage de x0. Alors f(x0+h)−f(x0)

h est une approximation de f⁰(x0)à l’ordre 1 quand h tend vers0.

Remarque : Conformément à la remarque précédente, cet ordre 1 est un « minimum garanti ». Il se peut que pour certaines fonctions l’ordre soit supérieur, mais rien ne permet de le prouver de manière générale.

On peut chercher à faire mieux, en « éliminant » le terme d’ordre 2. Si f est de classe C³au voisinage dex0, la formule de Taylor-Young permet de montrer que f⁰(x0)= f(x0+h)−f(x0−h)

2h +h²³

− f⁽³⁾(x0)

6 +o0(1)´ . Ceci permet de prouver le résultat suivant :

Propriété 12 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant x0, de classe C³au voisinage de x0. Alors f(x₀+h)−f(x₀−h)

2h est une approximation de f⁰(x₀)à l’ordre 2 quand h tend vers0.

Remarque :

– Illustrons graphiquement cette approximation, qui correspond aussi à un taux d’accroissement.

– La même remarque que précédemment vaut, l’ordre 2 est un minimum.

– Si la fonction n’est pas de classe C³mais de classe C², rien n’empêche de choisir cette approximation. Sauf qu’en se limitant à l’ordre 2 dans le développement limité, on obtientf⁰(x0)= f(x0+h)−f(x0−h)

2h +o0(h)=

f(x0+h)−f(x0−h)

2h +h³

o0(1)´

, d’où l’on déduit que l’approximation est valable à l’ordre 1 (au minimum, toujours...). Il est donc plus intéressant d’utiliser cette deuxième approximation car elle est au minimum d’ordre 1, mais la majoration issue de Taylor-Young étant loin d’être optimale (d’autant que la classe C² n’est qu’une condition suffisante), tous les espoirs d’avoir un ordre supérieur sont permis.

II – Étude de fonctions

1^o) Plan d’étude

Lorsque l’on doit étudier une fonction, voilà les différents points qu’il faut aborder : 1^o) ensemble de définition ;

2^o) parité, périodicité ;

3^o) a) dérivabilité et calcul de la dérivée ; b) étude du signe de la dérivée

4^o) limites aux bornes de l’ensemble de définition

5^o) tableau de variation (on en profite pour vérifier la cohérence des résultats précédents) 6^o) branches infinies (voir paragraphe suivant)

7^o) courbe représentative (allure uniquement si pas de calculatrice)

Remarque : Pour le point 3^o), il n’est pas toujours indispensable de calculer la dérivée pour obtenir le sens de variation, les variations d’une fonction peuvent parfois s’obtenir par composition.

2^o) Branches infinies

a) Asymptotes Définition 6 :

Sif admet une limite infinie en un réelx0(éventuellement à droite ou à gauche), on dit que la droite d’équationx=x₀est uneasymptote verticaleà la courbe représentative def.

L’asymptote est une « position limite » de la courbe : Cf s’en rapproche sans jamais l’atteindre, mais l’écart entre les deux courbes est aussi petit que l’on veut.

Définition 7 :

Sif admet une limite finie`en l’infini, on dit que la droite d’équationy=`est uneasymptote hori- zontaleà la courbe représentative def.

L’asymptote est toujours une « position limite » de la courbe, maisCf peut tout à fait couper son asymptote (et même une infinité de fois...).

Sif admet une limite infinie en l’infini, il n’y a ni asymptote verticale, ni asymptote horizontale.

Définition 8 :

On dit que la courbe représentative de f admet uneasymptote obliqued’équationy=ax+ben+∞

sif(x)=ax+b+h(x) avec lim

x→+∞h(x)=0. Si lim

x→−∞h(x)=0, l’asymptote oblique est en−∞. Méthode 2 :

Pour montrer que la droite d’équation y =ax+b est asymptote àCf, on calcule f(x)−(ax+b)et on cherche à montrer que sa limite en l’infini vaut 0. Le signe de la différence donne la position deCf par rapport à l’asymptote.

Exemple 11 : f(x)=2x³−x²+4x−1

x² définie surR^∗: déterminer les éventuelles asymptotes à la courbeCf de f (et la position deCf par rapport à ces asymptotes), puis tracer une allure de la courbe.

b) Branches paraboliques

Lorsquef admet une limite infinie en l’infini, il peut n’y avoir aucune droite asymptote. Les cas suivants permet- tent toutefois de préciser l’allure de la courbe au voisinage considéré :

Définition 9 :

Soitf une fonction définie au voisinage de+∞, telle que lim_x

→+∞f(x)= +∞ou lim

x→+∞f(x)= −∞.

Si lim

x→+∞

f(x)

x = +∞(ou−∞), on dit queCf admet unebranche paraboliqueen+∞dans la direction de l’axe des ordonnées (O y). Si lim

x→+∞

f(x)

x =0, on dit queCf admet unebranche paraboliqueen+∞

dans la direction de l’axe des abscisses (Ox). On définit de même les branches paraboliques en−∞.

Exemple 12 : Fonction carré, racine, x7−→x^α(différents cas selonα), ln et log, exp etx7−→a^x (différents cas selona).

La notion précédente, qui conduit à s’intéresser au quotient f(x)

x , a l’avantage de donner une méthode per- mettant de déterminer des asymptotes obliques lorsque la droite asymptote n’a rien d’évident (méthode donnée en+∞, mais tout à fait similaire en−∞) :

Propriété 13 :

Soit f une fonction définie au voisinage de+∞. On suppose que lim

x→+∞f(x)= +∞ou lim

x→+∞f(x)= −∞. Alors :

– Si lim

x→+∞

f(x)

x = +∞:Cf admet unebranche paraboliqueen+∞dans la direction de(O y); – Si lim

x→+∞

f(x)

x =0:Cf admet unebranche paraboliqueen+∞dans la direction de(Ox); – Si f(x)

x n’admet pas de limite en+∞: on ne peut rien dire de particulier surCf en+∞; – Si lim

x→+∞

f(x)

x =a où a∈R^∗: on étudie la différence f(x)−ax.

– Si f(x)−ax n’admet pas de limite en+∞: on dit queCf admet unedirection asymptotique en+∞d’équation y=ax ;

– Si lim

x→+∞f(x)−ax= +∞ou lim

x→+∞f(x)−ax= −∞:Cf admet unebranche paraboliqueen +∞dans la direction de la droite d’équation y=ax ;

– Si lim

x→+∞f(x)−ax=b∈R^:Cf admet une asymptote oblique en+∞d’équation y=ax+b.

Exemple 13 :

1^o) f(x)=xsin(x)+2x.

2^o) f(x)=ax+sin(x).

3^o) f(x)=x

2+ln(x).