Mouvements sous l’action de la force de Lorentz

Mouvements sous l’action de la force de Lorentz

Un ion de masse m et de charge q se trouve initialement au repos à l’origine des coordonnées dans un champ magnétique uniforme et permanent de coordonnées cartésiennes (0 ; 0 ; B). A partir de l’instant 0, on lui applique en plus un champ électrique uniforme de coordonnées cartésiennes(E0.sin ωt ; 0 ; 0) où E₀ et ω sont des constantes. On note x , y , et z ses coordonnées à l’instant t.

1) Ecrire l’équation différentielle vectorielle du mouvement.

2) Déterminer z(t).

3) Soit u = x + iy où i est tel que i² = –1 et soit ω_B = qB/m. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par u(t). Les calculs étant très lourds, on admet que la solution est :

0 1 2 1 2

( ) sin sin

2 2

B B

i t B i t B

B B

u t iqE e t e t

m

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

+ −

⎡ − + ⎤

⎢ ⎥

= ⎢⎣ − − + ⎥⎦

4) Quelle est la limite de u(t) quand ω tend vers ω_B ?

5) Trouver la solution u(t) , z(t) de l’équation du mouvement si ωB = ω.

6) Discuter si le mouvement est confiné, c’est-à-dire si les ions restent à une distance bornée de leur point de départ ou s’ils s’en écartent indéfiniment. Comment peut-on mettre à profit cette situation pour extraire un type d’ion d’un mélange ?

7) On fait varier et on trace le graphe de la puissance fournie pour créer le champ électrique en fonction de la fréquence. Comment détecter expérimentalement les masses des particules présentes dans le mélange ?

ω

M b

y

O a x

II₃₁. Effet Hall. z

Soit un repère orthonormé Oxyz de vecteurs unitaires (u u uG G Gx^{, ,}y z)

. Un parallélépipède de cotés a, b et c parallèles aux axes Ox, Oy et Oz est constitué d’un matériau conducteur. Les porteurs de charge mobiles y sont des électrons de masse m, charge –e et de concentration n. Sous l’action d’un générateur extérieur, un courant d’intensité I et de densité jG = juG_x uniforme est créé selon l’axe Ox (j > 0).

c

1) Démontrer la relation entre et l’intensité du courant électrique qui traverse une face parallèle à yOz du parallélépipède et l’expression de

j jG

en fonction de e, n et de la vitesse moyenne vG

des porteurs de charge.

2) On applique en outre un champ magnétique uniforme et permanent de coordonnées positives (Bx, 0, Bz). Déterminer la direction et le sens de la force magnétique subie par les porteurs de charge au début de l’application de ce champ.

En déduire la répartition qualitative des charges créées en régime permanent.

3) En régime permanent, le courant est à nouveau parallèle à l’axe Ox. Exprimer la différence de potentiel qui apparaît alors entre les points M de coordonnées (0,b,0) et O de coordonnées (0,0,0) en fonction du courant I, du champ magnétique, de n, e, a, b et c.

( ) ( )

u =V M −V O

4) Quel est l’intérêt de cette tension ?

III₂₇. Piège de Penning (d’après X 1989).

Vitesse de la lumière : c = 3.10⁸ m/s ; masse de l’électron : m = 9,1.10^–31 kg ; charge élémentaire : e = 1,6.10^–19 coulomb.

On cherche à piéger un électron dans le vide en lui appliquant un champ électromagnétique. Le référentiel est galiléen ; on utilise un repère Oxyz orthonormé direct de vecteurs unitaires de base (u u uG G G_x, ,_{y z})

.

1) On considère d’abord un champ électrique qui dérive du potentiel quadrupolaire ⁰₂

(

)

2

V V x y

= d + − z où et d sont deux constantes positives. Dans les applications numériques, V

V0 ₀ = 6 volts et d = 5 mm.

1.a) Exprimer les coordonnées de la force à laquelle est soumis l’électron.

4.a) Quel est le mouvement longitudinal ?

4.b) Ecrire les équations du mouvement transverse en utilisant les paramètres et . Introduire l’image complexe de la position transversale u x et résoudre l’équation différentielle satisfaite par

ωL ω_C

= +iy u t( ) dans

l’hypothèse correspondant aux données numériques de questions précédentes.

4.c) Le mouvement transverse est alors le composé de deux mouvements périodiques de pulsations et , avec . Exprimer et sous une forme approchée compte tenu des valeurs numériques précédentes.

'_C

ω ω_M

M ' ω ω_C

>

) '_C

ω ω_M

4.d) Avec ces données, calculer numériquement ω'_C et ω_M.

4.e) Sans admettre les hypothèses précédentes, montrer que le champ magnétique ne confine l’électron que s’il est supérieur à une valeur limite B₀.

4.f) Que vaut numériquement cette valeur limite ?

4.g) Décrire qualitativement le mouvement transverse de l’électron à l’échelle de temps 2 /π ω_C′ 4.h) Comment évolue ce mouvement à l’échelle de temps 2 /π ω_M ?

IV35. Magnétron.

Un magnétron est un tube à vide qui comporte deux électrodes métalliques cylindriques de même axe Oz : une cathode, de rayon a et de potentiel qu’on considérera comme uniforme et qu’on prendra nul et une anode qui est un cylindre creux de même axe, de rayon ^b et de potentiel uniforme . On se repère en coordonnées cylindriques ⁽ par rapport à l’axe des électrodes. On suppose la longueur du système grande devant b et on ne considérera pas la partie près du bord.

0 U , ,

r θz

La cathode, chauffée par effet Joule, émet des électrons de charge et de masse avec une vitesse très faible ; on suppose le débit d’électron émis assez petit pour qu’on puisse considérer que les interactions entre électrons sont négligeables. Dans l’espace entre les électrodes, il y a un champ magnétique uniforme

−e m

BG =BuGz

et le champ électrique EG

produit par les électrodes.

1) En invoquant des arguments précis, montrer que dans l’espace entre les

électrodes le potentiel ne dépend que de r et déterminer la direction du champ électrique EG . re alitativement le début du mouvement des électrons.

à l’axe

ch sit comme origine a projection de sur l’axe . Montrer que le moment cinétique

2) Décri qu

V = 0 B

b a

V = U

3) Montrer que le mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire Oz.

4) Pour étudier le mouvement d’un électron émis par la cathode en P₀, on oi O l

P0 Oz LG_O

en O de l’électron est : ^{eB r}

(

)

O 2 L =

G G

.

5) Montrer que 1 ² , ^{( )}

, p eff

E

r a

0 2mr E^{p eff} r

= +

E est constant au cours

du est une foncti

qu’on ex 6) Calculer

mouvement, où on de r qu’on prendra

nulle pour ^r =^a et plicitera en fonction e

( ), , , V r e m .

( )

, p eff

E r

d , ,

a B r E.

7) La forme du raphe de la fonction g est représentée

ci- toire en s

ectron ne heurte pas cette

éle s d ide ?

( )

, p eff

E r

contre. Quelle est la forme de la trajec upposant que l’électron ne heurte pas l’anode ?

8) A quelle condition sur U l’él

ctrode ? Que peut-on alor u courant traversant ce tube à v

Réponses

I. 1) 0

d ( sin )

d

m v q E t v

t = + ∧B

G G G G

ω ; 2) z t( )=0 ; 3) mu+iqBu =qE₀sinωt ; 4) ⁰ sin

2 ^B

i t B

B

iE t

B te

⎡ ⎤

− ; 5)

et

⎢ + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

ω ω

ω ( ) 0

z t = ( ) ^{0 sin}

2 ^B

B i t

B

iE t

u t te

B

⎡ ⎤

⎥ ; 6) le mouvement est confiné, sauf si ω ; 7) voir corrigé.

=− ⎢ +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

ω ω

ω =ω

c

B

II. 1) I = jb , où jG =nqvG

; 3) u ^IBz

= nec ; 4) mesure du champ magnétique.

III.1.a) ₂⁰ ₂⁰ 2 ₂⁰

x y

eV x eV y eV z

u uz

d d d

= + −

FG uG G G

; b) l'origine ; 2.a) oscillateur harmonique de pulsation _L ^2eV₂⁰ ω = md ; b) ; c) mouvement non borné : 3.a) mouvement hélicoïdal uniforme ; b)

; 4.a) comme en 2.a). ; b) 2, 9 10 rad.s8

L −

ω = × ¹

12 1

1, 054 10 rad.s

C −

ω = × mx ^eV₂⁰x eBy my ^eV₂⁰y eBx ;

d d

= − = +

2

2 0

C L

u− ωi u−ω u = ; u =Aexp(iω_C′t)+Bexp(iω_Mt) ; c) ω_C′ ω_C ; ² 2

M L C

ω ω

ω ; d)

; ; e) confiné si

12 1

1, 054 10 rad.s

C′ −

ω = × ω_M =39 900 rad.s⁻¹ ₀ 4mV₂⁰

B B ; f) B ; g)

mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire ω ; h) le cercle précédent se déplace lentement, en gardant un rayon constant ; son centre décrit un cercle avec la vitesse angulaire constante .

> = ed ₀ =2, 33 mT

C′

ωM

IV. 1) EG

radial ; 2) départ radial ; 3) projeter sur l’axe Oz la loi fondamentale de la

dynamique ; 5) ^{( ) ( )}

2 2 2 2

, 8

p eff

e B a

E r eV r r

m r

⎛ ⎞⎟

=− + ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ ; 6) E=0 ; 7) voir ci-contre ; 8)

2 2 2 2

8 e B a

U b

m b

⎛ ⎞⎟

< ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ .

Corrigé

1) ^d ( ₀sin )

d

m v q E t v

t = ω + ∧B

G G G G

2) La projection sur Oz de cette équation donne z . Compte tenu des conditions initiales, et , on en déduit

=0

z₀ =0 z₀ =0

( ) 0

z t = : le mouvement a lieu dans le plan xOy.

3) Projetons sur Ox et Oy l’équation différentielle issue de la loi fondamentale de la dynamique :

En multipliant la seconde équation par i et en l’ajoutant à la première, on obtient :

( 0sin )

mx q E t By

my qBx ω

= +

=−

0 0

0

( ) sin ( ) sin (

sin

m x i y qE t qB y ix qE t iqB x iy

mu iqBu qE t

ω ω

ω

+ = + − − + )

+ =

=

4) Comme lim_{x 0}^sinx 1,

→ x = 1

lim sin , donc :

2 2

B

B B

t t

ω ω

ω ω

ω ω

→

⎡ − ⎤

⎢ ⎥ =−

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

0 2 2

0 0

1 1

lim ( ) lim sin sin

2 2

1 sin

2 2 sin 2

B B

B B

B B

i t B i t B

B B

i t i t B

B B B B

u t iqE e t e t

m

t

iqE t iE

e t te

m B

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω

+ −

→ →

⎡ − + ⎤

⎢ ⎥

= ⎢⎣ − − + ⎥⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢⎣− − ⎥⎦ = − ⎢⎣ + ⎥⎦

5) Récapitulons les résultats précédents :z t( )=0 et ( ) ^{0 sin}

2 ^B

i t B

B

t u t iE te

B

ω ω

ω

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=− +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

6) Si ω ≠ω_B, u t( ) est borné et le mouvement est confiné. Si ω =ω_B, u t( ) tend vers l’infini quand t tend vers l’infini et le mouvement n’est pas confiné. Pour extraire un certain type d’ion, il faut donc appliquer le champ

électromagnétique précédent avec ^qB

ω = m , où ^q et m sont la charge et la masse de l’ion à extraire.

7) La résonance s’accompagne d’une singularité du graphe de la puissance transmise aux ions en fonction de la fréquence du champ électrique. La position en fréquence ^{q B}

ω = m de cette singularité donne la masse de l’ion et sa hauteur est fonction croissante du nombre d’ions présents. En pratique, on fait varier ^B et non ω, car il est plus facile de faire varier l’intensité d’un courant continu qu’une fréquence très élevée.

II.

1) Supposons que tous les porteurs de charge aient même charge q et même vitesse vG =vuG_x

. Pendant dt, une section parallèle à Oyz du parallélépipède est traversée par les charges situées dans un cylindre s’appuyant sur cette section et de génératrice vdtG

, d’où le courant compté positivement vers la droite I ^qnbcvdt jbc, où

= dt = jG =nqvG . Si tous les porteurs de charge ont même charge, mais pas même vitesse, le courant ^I est la somme des contributions de toutes les vitesses, ce qui revient à considérer que les formules précédentes restent valables si vG

est la vitesse moyenne des porteurs de charge.

2) FG =−evG∧BG

vG

jG FG

BGz

. Le dessin ci-contre représente la disposition des vecteurs. La face avant se charge négativement et la face arrière positivement.

3) En régime permanent, les charges des faces du parallélépipède créent un champ électrique EG

supplémentaire, qui compense la force magnétique :

( ) ( )

0

z z

z

E v B

jB b IB

u V M V O vB b

ne nec + ∧ =

= − = = =

G G G G

La composante B ne joue aucun rôle, car elle engendre une force nulle sur les porteurs de charge dont la vitesse lui est parallèle.

x

4) Cette tension est utilisée par des capteurs qui mesurent une composante du champ magnétique. Elle permet aussi de mesurer la densité de porteurs de charge et le signe de leur charge.

III. Piège de Penning.

1.a) ₂⁰ ₂⁰ 2 ₂⁰

grad eV x _x eV y _y eV z

F eE e V u u u

d d d

=− = = + − _z

G G JJJJG G G G

.

1.b) La seule position d'équilibre est l'origine des coordonnées : c'est le seul point où la force s'annule.

2.a)

2 0

2 2

2

d z eV

mdt =− d z qui est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation _L ^2eV₂⁰ ω = md . 2.b)

19 8 1

31 2

2 1, 6 10 6

2, 9 10 rad.s 9,11 10 0, 005

L

− −

−

× × ×

ω = = ×

× × .

2.c) Soit eV⁰₂

Ω= md ; x et y obéissent à la même équation

2 0

2 2

d x eV mdt = d x

exp exp

x =A Ωt +B −Ω

dont la solution,

, tend vers l'infini si t tend vers l'infini, sauf conditions initiales particulières pour lesquelles . Le mouvement n'est donc pas en général borné.

( ) ( t)

0 A=

3.a) L'électron a un mouvement hélicoïdal uniforme. Son mouvement projeté sur l'axe Oz est un mouvement uniforme. Son mouvement projeté sur le plan Oxy est un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire ω_C.

3.b)

19 12 1

31

1, 6 10 6

1, 054 10 rad.s 9,11 10

C

− −

−

× ×

ω = = ×

× .

4.a) Le mouvement longitudinal est le même qu'en 2.a. En effet, la force magnétique, perpendiculaire au champ magnétique, n’intervient pas dans la projection sur Oz de la loi fondamentale de la dynamique.

4.b).La loi fondamentale de la dynamique

2 2

d r dr

m e E

dt dt

⎛ ⎟

=− ⎜⎜⎜⎝ + ∧ ⎟B⎟⎞

⎠

G G G G

donne en coordonnées cartésiennes :

0 2

0 2

mx eV x eBy d

my eV y eBx d

= −

= +

En multipliant la seconde équation par et en l'ajoutant à la première, on obtient i eV₂⁰

mu u ieBu

= d +

, ou

2 0

2

C L

u i u ω u

− ω − =

. Une solution est exp⁽rt⁾ si ^{2 2} 0

2

C wL

r − ωi r − = . Le discriminant est

négatif avec les valeurs numériques de l’énoncé. Les racines sont

2 2_L

∆= ω − ω_C²

2 2 2

2

C C

iω ±i ω − ω_L

, que nous noterons et . La solution générale est où A et sont des constantes complexes arbitraires.

iωC′ iωM u =Aexp(iω_C′t)+Bexp⁽iω_Mt⁾ B

4.c)

2 2 2

2

C C L

C′ ω + ω − ω C

ω = ω , car ω_L ω_C.

( )

2 2

2 2

2 1 1 2 /

2 2

C C L C

M L

C

ω − ω − ω ω ω

ω = = − − ω ω

ω² 2

C L en utilisant 1 1

2 +ε +ε.

4.d) ω_C′ =1, 054×10 rad.s^{12 −1} ;

(

)

12

2, 9 10

39 900 rad.s 2 1, 054 10

M × −

ω = =

× ×

4.e) Si ∆> 0, la racine ₁

2 i C

r ω + ∆

= a une partie réelle positive et exp(r t₁ ) et u tendent vers l'infini quand t tend vers l'infini, sauf conditions initiales particulières.

∆=0 u = (At+B)exp(iω t) t

IV.

1) Comme la longueur du système est grande, on peut la considérer comme infinie. Le système est invariant par translation parallèle à l’axe et par rotation autour de l’axe, donc V ne dépend que de . Comme r E^G =−grad^JJJJGV , E^G est radial.

2) Au départ, la vitesse est petite et la force magnétique est donc négligeable ; l’électron part dans la direction radiale. Ensuite, la force magnétique incurve sa trajectoire.

3) Projetons sur l’axe Oz la loi fondamentale de la dynamique : mz=0 ⇒mz =cste =mz₀ =0⇒z =cste

4) Le moment de la force de Lorentz est

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

r E rB

r E r

e r e rB

B e

θ θ

⎛ ⎞⎟ +

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

Brr

=− ∧⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ + ∧ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟=− ∧ − = −

G

Γ .

Le théorème du moment cinétique donne dL^O dt =−errB

G G

, d’où en intégrant et en tenant compte de ce que la vitesse et le moment cinétique sont nuls pour r =a :

(

)

O 2

e a r B

L −

= G G

.

5) La force magnétique ne travaille pas et la force électrique dérive de l’énergie potentielle −eV r^{( )}, donc l’énergie

( )

1 2

2mv eV r

= −

E est constante. Comme

2

2 L eB a

v r ,

mr m r

θ

⎛ ⎞⎟

= = ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ ^{( )}

2 2 2 2

1 2

2 8

e B a

mr eV r r

m r

⎛ ⎞⎟

= − + ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠

E est

conservé : ^{( ) ( )}

2 2 2 2

, 8

p eff

e B a

E r eV r r .

m r

⎛ ⎞⎟

=− + ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ 6) E=0.

7) Comme ¹₂mr² ≥0, E . Le mouvement radial oscille donc entre r et l’autre racine de E r . D’où la forme de la trajectoire dessinée ci contre.

, 0

p eff ≤

=

>

=a

( )

, 0

p eff

8) La condition est E_{p eff}, ^{( )}b 0, soit

2 2 2 2

8 e B a

U b .

m b

⎛ ⎞⎟

< ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠