Premier principe I

(1)

Premier principe

I₂₉. Mesure d’une capacité thermique.

On désire mesurer une capacité thermique C supposée indépendante de la température. Les échanges thermiques de l’échantillon sont, d'une part l'apport par une source électrique d'une puissance P = P0 ( 1 + cos ωt ), d'autre part une fuite thermique de conductance K vers un bain thermostaté à la température T0. Cette "fuite" correspond à la perte pendant le temps dt d'une quantité de chaleur δQ = K (T – T₀) dt où T désigne la température de l'échantillon supposée parfaitement uniforme à tout instant dans la totalité de son volume.

1) Comment réaliser expérimentalement la puissance alternative P(t) = P0 (1+ cos ωt ) ? 2) Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la température T(t) de l'échantillon.

3) Résoudre cette équation différentielle et exprimer T(t) comme somme de trois contributions que l'on qualifiera physiquement. Donner l'allure du graphe de T(t). On ne déterminera pas la constante d’intégration liée aux conditions initiales.

4) Quel est le temps caractéristique τ de passage du régime transitoire au régime permanent ? Quel temps doit-on attendre pour que la composante transitoire de la température T(t) soit réduite à 10^–3 de sa valeur initiale ?

5) On note TAC l’amplitude de la composante alternative de la température et ϕ le déphasage de cette composante par rapport à la puissance P(t) (le déphasage d’un signal 1 par rapport à un signal 2 est la différence de la phase de 1 à celle de 2). Exprimer TAC et ϕ. Tracer qualitativement les graphes de TAC et ϕ en fonction de ω.

6) Donner le schéma d’un montage électrique analogue au dispositif thermique précédent, en précisant les éléments analogues.

7) La mesure de la composante alternative de la température T(t) de l’échantillon permet d’accéder à la valeur de sa capacité thermique C. Préciser quel domaine de fréquence il est préférable de choisir.

m

8) Un tel dispositif a été utilisé pour mesurer la capacité thermique d’un échantillon de matériau supraconducteur de composition YBa2Cu3O7 de masse m = 10 µg et de capacité thermique massique c = 0,19 J.g^–1.K^–1. La fuite thermique est réalisée par un fil de cuivre de conductivité thermique λ = 5 W.K^–1.cm^–1 et de rapport surface sur longueur

, donc de conductance K = λS/L = 5.10 / 10 6c

S L= ⁻ ^–6 W.K^–1. Calculer la valeur numérique de τ. En déduire la

gamme de fréquences pour une utilisation judicieuse du dispositif. Commenter.

9) Comment mesurer la température de l’échantillon ? II69.

Un thermostat est un vase contenant de l'eau, un dispositif brassant l'eau de façon à uniformiser sa température, une résistance chauffante de puissance P = 200 watts et un thermomètre de commande. Celui-ci coupe le courant dans la résistance chauffante lorsque la température dépasse de ∆θM = 0,2°C la température désirée θ1 = 25°C et rétablit le courant dans la résistance chauffante lorsque la température est inférieure de ∆θ_M à la température désirée.

La capacité thermique du thermostat est C = 10⁵ J/K. La température ambiante θ' = 20°C reste constante au cours du temps. Lorsque le thermostat est à la température θ, il cède de la chaleur au milieu ambiant avec la puissance k(θ – θ') où la conductance thermique k = 5 W/K est constante.

1) Le thermostat est à la température ambiante quand on le met en marche. Pendant quelle durée t1 la résistance chauffante fonctionnerait s'il n'y avait pas de pertes thermiques (k = 0) ?

2) Quelle est la valeur t2 de cette durée si l'on tient compte des pertes thermiques ? 3) Quelle est la durée t3 de la phase de refroidissement de θ₁ + ∆θ_M à θ₁ – ∆θ_M ? 4) Quelle est la durée t4 de la phase de réchauffement de θ₁ – ∆θ_M à θ₁ + ∆θ_M ? 5) Représenter schématiquement θ en fonction du temps. Quelle est sa période T ?

6) Suivant quelle loi approximative, mais simple, cette période dépend-elle de C, P, k, ∆θ_M, θ₁ et θ' ? Utiliser ln(1 + ε) ≈ ε valable si ε << 1.

7) En quoi le fonctionnement d'un thermostat réel diffère-t-il de celui modélisé dans ce problème ? 8) La commande de l'arrêt du courant ne fonctionne pas. Que se passe-t-il ?

III₃₉. Pierre freinée par l’air.

On lance une pierre vers le haut. Elle monte à une hauteur h , alors que si elle n’était pas freinée par l’air, elle serait montée à une hauteur . Si la chaleur dégagée par le frottement est répartie, moitié dans l’air, moitié dans la pierre, quelle est l’élévation de température de la pierre au plus haut de sa trajectoire ? La capacité thermique

massique de la pierre est .

′ 0, 5 m

h =h′+

1 1

500 J.kg .K

c= ⁻ ⁻

IV₅₄ (12 février 2004).

1) Une lampe à filament, sous la tension U = 100 V, reçoit la puissance électrique P = 100 W. Quelle est sa résistance ?

2) Lorsque le filament est à la température absolue T, il cède au milieu ambiant de la chaleur en émettant avec la puissance kT⁵ du rayonnement que le milieu ambiant absorbe. On néglige tout autre transport de chaleur. Dans le

(2)

3) On coupe alors le courant à l’instant 0. Soit C la capacité thermique de la lampe, supposée indépendante de la température.

a) En appliquant le premier principe à la lampe, écrire l’équation différentielle régissant T fonction du temps t.

b) Exprimer le temps t1 pour lequel T = T0/2.

c) Calculer C si t1 = 0,01 s.

V27. Compressibilité du mercure (d’après ENSI M 1989).

On considère la compressibilité isotherme du mercure liquide _T ¹ 3, 8.10 ¹¹Pa ¹

T

V V P

− −

⎛∂ ⎞⎟

χ =− ⎜⎜⎜⎝∂ ⎟⎟⎠ = comme

indépendante de la température et de la pression.

On comprime de façon réversible et quasi statique à la température fixe 27 °C du mercure liquide de volume initial

depuis la pression jusqu’à la pression .

1 litre

Vi = P_i =1bar=10 Pa⁵ P_f =1000 bars

1) Exprimer le volume du mercure V en fonction de sa pression P et des paramètres du problème.

2) Calculer la variation ∆V =V_f −V_i du volume.

3) Calculer le travail W reçu par le mercure.

4) Ce travail exprime-t-il le coût de l’opération ? VI42. Refroidissement dans un courant d’air.

Une boule métallique de rayon R = 0,05 m , de surface S , de masse volumique ρ = 8000 kg.m^–3 de capacité thermique massique c = 400 J.kg^–1.K^–1 et de température sensiblement uniforme θ est soumise à un courant d'air de température θ' = 20°C. Elle cède à ce courant d'air la puissance thermique P qui est bien représentée par la loi : P = k.S.( θ – θ') où le coefficient k ne dépend ni des températures, ni de la taille de la boule.

1) Montrer que θ obéit à une équation différentielle du type : d dt

θ θ θ

= − −

τ

'

et exprimer la constante τ en fonction de k, ρ, R et c.

2) Soit θ₀ la valeur de θ à l'instant 0. Exprimer θ en fonction de θ₀, θ', t et τ.

3) Lors d'une expérience, on a noté que :

t en s 0 120 240 360

θ en °C 520 420 340 276 Vérifier la théorie précédente et déterminer τ et k.

4) k est-il une constante universelle ? Si non, de quoi dépend-il ?

Réponses

I. 1) courant ^cos

M 2 i I ωt

= ; 2) ^C^dT ^P₀⁽¹ ^cos ^t⁾ ^{K T}⁽ ^T₀⁾

dt = + ω − − ;

3) exp( / ) ₀ P⁰ Re P⁰ exp( )

T cste Kt C T i t

K K iC ω

ω

⎛ ⎞⎟

= ⋅ − + + + ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠

T0 + P0/K T

t

(3)

4) ^C

τ =K ; t =τln 1000=6, 9τ ;

5) ⁰

2 2

AC P

K C ω2

= +

T ;

arctan(C / )K

ϕ=− ω ;

6) dq q ( ) ₀(1 cos )

R et e t

dt +C = = + ω

température charge du condensateur

capacité thermique résistance

conductance thermique inverse de la capacité du condensateur

7) 1

f 2

∼ πτ ; 8) τ =0, 38 s f = 0, 4 Hz facilement réalisable ; 9) mesurer la résistance de l’échantillon.

II. 1) ₁ (¹ )

2600 s C M

t ; 2)

P θ +∆θ −θ′

= = ₂ ClnP k⁽¹ ^M ⁾ 2785 s

t ;

3)

k P

θ θ θ′

− +∆ −

=− =

3 1

1

ln ^M 1601s

M

t C ;

4)

k

θ θ θ

− ∆ − ′

=− =

+∆ − ′

4 1

1

( )

ln 229 s

( )

M M

P k

t C ;

5) T t ;

6)

k P k

θ θ θ

− +∆ − ′

=− − − ∆ − ′ =

= ₃ +t₄ =1830 s

1 1

2 θ^M k( ) P k( )

θ θ θ θ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

≈ ∆ ⎢⎣ − ′ + − − ′ ⎥⎦ C

T C ; 7) durées

irrégulières ; 8) θ=θ′+P k/ =60° .

III. ( )

0, 005 K 2

g h h c

− ′

∆θ .

θ

t 0

θ’

t2

t3

ϕ 0

P0

K

f TAC

1 2πτ

2

−π

C R

e(t)

t4

= =

= P = Ω = T =−kT dt

IV. 1) R U²/ 100 ; 2) k P/ ₀⁵; 3.a) CdT ⁵ ; 3.b) ₁ ₄

0

15 4 t C ;

3.c)

= kT

1 4 1

0

4 1, 33.10 J.K 15

C Pt .

T

− −

= =

P Pi

= −χ −

V. 1) V V ; 2) ;

3)

( )

iexp T ∆V =V_i(exp(−χ_T(P −P_i))−1)=−3, 8.10⁻³L

2

190 J 2

i T f

V P

W χ ; 4) non.

= VI. 1)

3 mc Rc

kS k

τ= = ρ ; 2) θ =(θ − θ0 ′)exp⁽− τt/ ⁾+θ′ ; 3) vérifier la constance de ¹ln( ); ; t θ − θ′ τ=538 s 99 W.K .m1

3

k = ^ρRc = ⁻ ⁻

τ ² ; 4) ^k est fonction croissante de la vitesse du courant d’air.

(4)

Corrigé

I. Calorimétrie dynamique, d’après ENS MP 1999.

1) Il faut faire passer un courant électrique sinusoïdal cos

M 2 i I ωt

= dans le corps ou dans une résistance chauffante en bon contact avec le corps. ² ¹ ^cos

M 2

P =RI + ωt . Il faut donc que l’amplitude du courant soit bien constante.

2) Appliquons le premier principe pendant un petit intervalle de temps dt : dT ₀(1 cos ) ( ₀)

C P t K T T

dt = + ω − −

3) C’est une équation différentielle linéaire avec second membre :

0 0 0cos

CdT KT P KT P t

dt + = + + ω

Sa solution est la somme de trois termes :

• la solution générale de l’équation sans second membre

qui représente une contribution transitoire ;

exp( / ) cste⋅ −Kt C

• une solution particulière constante

valable en l’absence du terme sinusoïdal T₀ ^P⁰

+K représentant la composante continue du régime permanent, due à la composante continue de la puissance ;

• une solution particulière sinusoïdale valable en l’absence du terme constant, dont l’amplitude complexe est P0

T =iCω K

+ ; cette solution est

0 0

2 2 2 2 2 2

( )(cos sin ) cos sin

Re P exp( ) Re P K iC t i t K t C

K iC i t K C K C

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

⎛ − + ⎞

⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ +

⎜ ⎟= ⎜ ⎟=

⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎜ ⎟

⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠ +

t ;

elle représente la composante alternative du régime permanent, due à la composante alternative de la puissance.

4) ^C

τ =K . Il faut attendre t tel que 1000 6, 9

t τ ⁻ t τ τ

− = ³ ⇒ = =

exp( / ) 10 ln

5) _AC ^P⁰ ₂ ^P⁰ ₂ ₂

K iCω K C ω

= =

+ +

T

arctan(C / )K

ϕ=− ω

6) Pour le circuit ci-contre, ( ) 0(1 cos ) dq q

R e t e

dt +C = = + ωt

température charge du condensateur

capacité thermique résistance

conductance thermique inverse de la capacité du condensateur T0 + P0/K

T

t

ϕ 0

P0

K

f TAC

1 2πτ

2

−π

C R

e(t)

7) Pour une meilleure sensibilité, il faut 1 ¹ f 2

⇒ πτ

∼ ∼

f

ωτ . En effet, à plus basse fréquence, le signal dépend peu de C, et à plus haute fréquence l’amplitude du signal est faible et il dépend peu de K. Les graphiques plus haut montrent que la pente de ^T_AC( ) est alors maximum.

8) / 0,19 10 ⁵/ 5 10 ⁶ 0, 38 s ¹ 0, 4 Hz

C K f 2

τ ⁼ ⁼ ^⋅ ⁻ ^⋅ ⁻ ⁼ ⁼ πτ ⁼ ; cette fréquence est facilement réalisable.

9) Il faut mesurer la résistance de l’échantillon ou d’un corps en bon contact thermique avec lui (si l’échantillon est supraconducteur) ; en effet, la résistance est une fonction de la température.

II.

(1 ^M ) 2600 s

Cd Pdt t C θ θ θ

θ +∆ − ′

= ⇒ = =

(5)

2. Le premier principe appliqué au thermostat s’écrit :

2 1

( )

ln ( )

( ) ( )

( )

ln ^M 2785 s

Cd Pdt k dt

Cd Cd C

dt t P k cste

P k P k k

P k t C

k P

θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

= − − ′

= − − ′ = − − ′ − − − ′ +

− +∆ − ′

=− =

∫

3.

3 1

1

( )

( ) ( ) ln

ln ^M 1601s

M

Cd k dt

Cd Cd C

dt t cste

k

k k

t C k

θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

=− − ′

=− − ′ =− − ′ − − ′ +

− ∆ − ′

=− +∆ − ′ =

∫

4. En changeant la condition initiale du calcul de la question 2 :

4 1

1

( )

ln 229 s

( )

M M

P k t C

k P k

θ θ θ

− +∆ − ′

=− − − ∆ − ′ = 5. La période est T =t3 +t4 =1830 s

6. Dans les expressions de et , les arguments des logarithmes sont voisins de 1, donc on peut faire l’approximation

:

t3 t₄ lnx ≈ −x 1

3 1

1 1

4 1

1 1

1 2

( )

( ) 2

( ) 1 (

1 1

2 ( ) ( )

M M

M

M M

M

C C

t k k

P k

C C

t k P k P k

T C

k P k

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

′

⎡ − ∆ − ⎤ ∆

⎢ ⎥

≈ − ⎢⎣ +∆ − ′− ⎥⎦ ≈ − ′

′

⎡ − +∆ − ⎤ ∆

⎢ ⎥

≈ − − ≈

′ ′

⎢ − − ∆ − ⎥ − −

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

≈ ∆ ⎢⎣ − ′ + − − ′ ⎥⎦

)

C

+ =− ∆ + +

t2

t4

t3

θ’

0

t θ

7. La température n’étant pas uniforme, les périodes de chauffe et de relaxation sont irrégulières et plus courtes.

8. La température du thermostat s’élève jusqu’à équilibre entre la chauffe et les pertes thermiques : qui est la température au bout d’un temps assez long.

( ) / 60

P =k θ−θ′ θ =θ′+P k = ° III.

Prenons comme système l’ensemble pierre et air et appliquons lui le premier principe entre le lancer et le point le plus

haut : ∆(H E_c) mg z W′ Q ou 1 ²₀

air 2

mc∆θ+∆H − mv =−mgh′. Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au cas sans frottement, ¹ ²₀

2mv mgh

− =−

H mg h h′

∆θ+∆ = −

∆θ=∆H

D’où ^mc air ( ).

Si on admet que l’énergie dissipée est également répartie entre l’air et la pierre, mc _air, d’où

( ) ( )

0, 005 K

2 2

mg h h g h h

mc c

′ ′

− −

∆θ= ∆θ= =

IV.

1) P =UI =U²/R ⇒R =U²/P =100Ω.

T k P T

= ⇒ =

kT dt

=−

2) P k ₀⁵ / ₀⁵

3.a) CdT ⁵

3.b) ⁰ ⁰

( )

0 0

4 /2

/2 5 4

1 0 04 04

2 1 15

4 4 4

t T T

T T

C C T C C

t T dT

k k kT kT

− ⎡ − ⎤

⎢ ⎥

= =− =− = − =

⎢− ⎥

t d

⎣ ⎦

∫ ∫

3.c)

1 04 1 4 1

0

4 4 4 100 0, 01

1, 33.10 J.K

15 15 15 2000

kt T Pt

C T

− −

× ×

= = = =

× V. Compressibilité du mercure.

(6)

1) A température constante,

( ) ln ( ) exp( ( ))

i

V

T T i T i i T

V i

dV dV V

dP P P P P V V P P

V =−χ

∫

V =−χ − V =−χ − = −χ − ⁱ ^.

2) ∆V =V_i⁽^exp⁽−χ_T⁽P−P_i⁾⁾−¹⁾ =exp 3, 8.10

(

⁻¹¹×999.10⁵

)

−1= −3, 8.10⁻³L.

3) W =

∫

−PdV =

∫

Pχ_TVdP =

∫

PV_{i T}χ exp(−χ_T(P−P_i)⁾dP ; comme l’exponentielle est voisine de 1,

( )

²

2 10 3 3, 8.10 11 108

190 J

2 2

i T f i T

V P

W PV dP

− −

χ × ×

χ = =

∫

^.

4) Non, le coût est surtout dû à la difficulté de fabriquer un matériel qui résiste à cette pression considérable.

VI. Refroidissement dans un courant d’air.

1) Le premier principe s’écrit :

( )

3 2

4 3 4 3

dH Q

d dt mc R c

mcd kS dt

kS k R k

=δ

π ρ

θ ρ

θ=− θ − θ′ ⇒ =− τ= = τ=

′ τ

θ − θ π

Rc

2) L’équation différentielle ^d dt

θ+ θ = θ′

τ τ a pour équation caractéristique r +¹ =0

τ de racine r =−¹ τ. ( )

exp /

A t ′

θ = − τ +θ .

La condition initiale donne θ₀ =A+θ′.

La solution est donc θ=(θ − θ0 ′)exp⁽− τt/ ⁾+θ′.

On peut aussi intégrer l’équation comme une équation différentielle à variables séparables.

3) Entre deux points successifs, les intervalles de temps ¹²⁰^s sont égaux et les rapports

1 n 0, 8

n−

θ − θ′

′ =

θ − θ sont aussi

égaux, donc la loi exponentielle est parfaitement vérifiée ; ( ) 120

exp 120 / 0, 8 538 s

ln 0, 8

− τ = τ=− = .

On peut aussi tracer le graphe de en fonction de ^t, qui est une droite parfaite, de pente ou vérifier la constance de

(

ln θ − θ′) −^1/τ

( )

1ln

t θ − θ′ .

1 2

8000 0, 05 400

99 W.K .m

3 3 538

k ρRc × × ⁻ ⁻

= = =

τ × .

4) k est fonction croissante de la vitesse du courant d’air.