Équations diophantiennes polynomiales à hautes multiplicités

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

M

ICHEL

L

ANGEVIN

Équations diophantiennes polynomiales à

hautes multiplicités

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

13, n

o

_{1 (2001),}

p. 211-226

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Équations diophantiennes

polynomiales

à

hautes

multiplicités

par MICHEL LANGEVIN

RÉSUMÉ. On montre comment écrire de

_{grandes familles,}

avec de

hautes

_{multiplicités,}

de cas

_{d’égalité}

A + B = C

pour

l’inégalité

de Stothers-Mason

_{(si A(X), B(X), C(X)}

sont des

_polynômes

premiers

entre eux, le nombre exact de racines du

_produit

ABC

dépasse

de 1 le

_{plus grand}

des

_degrés

des _composantes

_{A, B,}

_C).

On

_développera

_pour cela des

_{techniques polynomiales}

itératives

inspirées

des

_{décompositions}

de Dunford-Schwartz et de fonctions

de

_Belyi.

Des

_{exemples d’application}

avec les _conjectures

(abc)

ou de M. Hall sont

_{développés.}

ABSTRACT. One shows how to write and to

_classify

_large

sets of

relations A+B = C

(where

A =

A(X), B

=

B(X),

C =

C(X)

are

coprime

polynomials

such that the exact number of roots of the

product

ABC exceeds

_by

1 the _greatest

_degree

of _components

_A,

B,

C)

with

_{high multiplicities.}

Iterative

_polynomial

methods gen-erating

high multiplicities

(decomposition

of

_{Dunford-Schwartz,}

Belyi’s

functions)

are

developed.

Links with Stothers-Mason The-orem and classical

_conjectures

(M.

Hall,

abc)

are studied.

1.

_{Introduction,}

Généralités et Résultats

1.1. La formulation du titre

"Équations

_{diophantiennes}

_{polynomiales"}

peut

surprendre

puisque

l’expression

"équations diophantiennes"

s’applique

aux

"équations

ou

_systèmes

dont on recherche les solutions en entiers ou

nombres rationnels"

_(M.

David,

l’Encyclopaedia

Universalis,

loc.

_citée).

La

raison en est

_qu’on

s’intéresse ici aux éventuelles

équations polynomiales

(à

coefficients entiers ou

rationnels)

susceptibles

d’être "au-dessus" de telle ou telle

équation diophantienne.

À

ce

_titre,

ce travail s’inscrit dans la

con-tinuité de celui

_exposé

aux Journées

_{Arithmétiques}

de

_Limoges

(1997)

et

publié

dans cette revue

(cf. [L])

_et,

comme dans

celui-ci,

la

_{caractéristique}

est

_toujours

_supposée

nulle. On _y montrait _que

_{l’inégalité}

de Mason

_(où

A(X), B(X), C(X) =

A(X)

+

_B(X)

sont des

_{polynômes complexes}

pre-miers entre eux et où D

_{(supposé &#x3E; 0)}

_désigne

le

_{plus grand}

des

_degrés

correspondants) : r(ABC)

=

card((ABC)-1(0))

_&#x3E; D est

beaucoup plus

qu’une

forme

_polynomiale

démontrée

_{possible 1}

de la

_conjecture

_(abc)

de J. Oesterlé et D. Masser : Pour tout réel e &#x3E;

_{0 ,}

la borne inférieure suivante

est strictement

_{positive :}

(en

bref et avec les notations de

[L]

où le radical - i. e. le

produit

des

facteurs

_{premiers -}

est noté u :

u ( abc) &#x3E;

Comme

exposé

dans

la

_partie

1 de

_[L],

_{l’appellation}

théorème de

_{Mason ,}

i. e. l’énoncé

polyno-mial

_r(ABC)

&#x3E;

_{D, masque}

un ensemble de calculs et de méthodes

pro-jectives

d’où ressort

_{l’importance}

de l’étude d’une

_part

des cas

d’égalités

( i. e.

ceux où

r(ABC) =

D +

1,

ce

_qui

_correspond

à un revêtement x H

A(x)/B(x)

ramifié au

plus

en

0,1, oo),

_et,

d’autre

_part,

des

spécialisations

de l’indéterminée X en un

_polynôme

ou une fraction rationnelle

conve-nables

_(avec

les notations

_habituelles,

ces

spécialisations

représentent

des

endomorphismes

de

_l’algèbre

_{K ~X ~ (ou K(X ) ),}

naturellement "au-dessus" de fonctions

_algébriques

dans les anneaux ou _corps de

nombres).

Ces

spécialisations

ont

_{généralement}

_pour but

_{d’augmenter}

les

_{multiplicités}

(plutôt

que les

degrés

des

composantes

irréductibles)

dans les relations

(A,

B,

C)

qui

sont des cas

_{d’égalité,}

et ce tout en restant dans ce dernier

ensemble

_(cf.

théorème 13 et le 5.2 de

_[L]

_pour des

_{justifications}

et

appli-cations).

1.2. Avant de

_poursuivre

vers ces "hautes

multiplicités" ,

on donne deux

exemples

relatifs aux notions

_qu’on

vient

_{d’évoquer.}

Exemple

1.

Les

identités2 :

1 Les traductions de la _{conjecture (abc)} -et la formulation de cette dernière elle-même- _peuvent

varier avec le contexte ; les _exposés ou _{comptes-rendus} de nombreux auteurs _(E. Bombieri à Zurich en _1994, A. Baker à _Eger en _1996, J. Top au Centre Emile Borel _(I.H.P., Paris ₁₉₉₉₎ en

témoignent) ; on pourra consulter le récent article [P] de P. Philippon et voir la forme _polynomiale

proposée par J. Oesterlé dans [L].

concernant des exemples de solutions multiples, une variante _{homographiquement}

équi-valente m’a été _{communiquée "par} retour" par J. Oesterlé :

sont des cas

d’égalité homographiquement équivalents

(par

la

spécialisation

involutive X -

_{3/X ) ;}

ils montrent _que

_{l’équation}

A + B = C où les

radi-caux de

A, B,

C sont donnés

_peut

avoir

plusieurs

solutions 3.

À

l’opposé,

il _y a unicité si l’un des

polynômes A,

B,

C est constant. Autrement

_dit,

Proposition.

P étant un

polynôme

de

degré

positif,

les ensembles

et

_P-1(1)

caractérisent P.

Démonstration. Si le

_{polynôme Q}

vérifie

_{Q (0)}

=

P (0)

et

son

degré

_est,

d’après l’inégalité

de

Mason,

au

plus

(card(P-1(0))+

et ses coefficients satisfont à un

_système

de Cramer

mon-trant que P =

Q.

D

N.B. : Deux

_parties

finies

_{disjointes A,}

B de C étant

_données,

il se

_peut

que n’existe aucun P E

_C[X]

vérifiant A =

P-1(0),

B =

P-1(1).

Exemple

2. Un cas facile du théorème 13 de

[L]

montre

_qu’un

cas

_{d’égalité}

A(X)

+

_B(X)

=

C(X)

demeure _{un cas}

d’égalité

_par la

spécialisation

Q(X)

quand

la dérivée

_Q’(X)

divise le

_produit

_{A(Q(X))B(Q(X))C(Q(X)).}

Les

_polynômes

de

Cebicev

_Cn

_(de

_première

_espèce)

et

_Dn

_(de

deuxième

espèce),

définis _par =

Dn(cos 0)

=

(Dn

=

Cn/n),

vérifient l’identité

laquelle

est un cas

d’égalité,

_et,

comme on va le

voir,

ces

polynômes

four-nissent deux

_exemples

naturels

_{d’application}

de ce théorème 13

qu’on

utili-sera dans la suite de ce travail.

Explicitement,

ces

_polynômes

s’écrivent :

Dans

_(en),

on voit _que

X2 apparaît seul,

donc

(en)

est une

spécialisée

en

X 2

d’un cas

d’égalité

de

degré

_{n, et} le critère du théorème 13

de

_[L]

est vérifié

_puisque

X divise

_Cn(X)Dn(X).

De

_{plus, si,}

dans

_(en),

on

_spécialise

X en

Cm(X),

on obtient un nouveau cas

d’égalité

_puisque

=

Dm(X)

divise

et ce nouveau cas

d’égalité

est

_puisque,

comme le

rappelle

la

défini-tion

_{Cn (cos 0)}

=

cos(n8),

Cn

o

_Ce

=

C,"~

o

Cn

=

1.3. D’autres illustrations de ces

spécialisations

et

_{multiplicités}

sont

évo-quées

dans les

_parties

3 et 4 de

_{[L] :}

_ainsi,

derrière un énoncé

plus général,

le but du théorème 5 est de montrer _{que, pour} tout

_polynôme

à racines

rationnelles distinctes

_{A(X) =}

_xz),

existent des

_{multiplicités}

ei E Z*

(1 i r)

telles que le

triplet

de

polynômes

(R,

S,

R -

S)

avec

R(X) =

soit un cas

d’égalité ;

de

_même,

le but du théorème 8 est de _{montrer que, pour} tout

_polynôme

séparable

P(X)

à coefficients

_entiers,

il existe deux

_polynômes

auxiliaires

A(X)

et

_Q(X)

à coefficients

_entiers,

le

_premier

à racines rationnelles

dis-tinctes,

tels _que le

_produit

_{P(X)Q’(X) (où}

_Q’

_désigne

la

_dérivée)

divise le

_composé

_(ou

_{spécialisé)}

_A(Q(X)).

Avec cette dernière condition et la

construction

_précédente

d’un cas

d’égalité

(R,

S,

R -

S)

"au-dessus" du

polynôme

séparable

A à racines

_{rationnelles,}

on démontre

(et

c’est encore

un lemme de

multiplicités)

_{que cette}

spécialisation

de X en

Q(X)

con-serve au

_triplet

(R(Q(X)),S(Q(X)),(R-S)(Q(X)))

sa

_qualité

de cas

d’égalité ;

et c’est ainsi

_(cf.

_partie

4 dans

_{[L] )}

_qu’on

en déduit _que la

conjecture

(abc) - où c = a + b -

implique l’inégalité

(abF(a,

b)),

valable

pour tout

polynôme homogène

F à coefficients entiers de

degré f

&#x3E; 0 tel

que

UVF(U, V)

soit sans facteur

multiple :

Autrement

_dit,

_{u(abF(a, b))}

&#x3E; +

En

_résumé,

les énoncés

_évoqués

_plus

haut sont des

_applications

de

tech-niques

polynomiales

dont la démonstration s’effectue directement et

sou-vent

_simplement.

À

titre

_d’exemple,

on

_peut

vérifier _que la forme donnée

ci-dessus au théorème 8 s’obtient _par récurrence sur le

plus grand

des

degrés

des facteurs irréductibles de

_{P(X) (soit}

_par

_exemple

_F(X))

en

for-mant le radical

_(où

_Resy

_désigne

le résultant _pour l’indéterminée

_{Y) :}

u

F(Y)~~ .

1.4. On ne

_poursuit

_{pas ici} sur la voie des

développements

totalement

ex-plicités

de ces théorèmes

_(et

de leurs

applications)

mais sur la voie initiale en traitant d’autres "lemmes

polynomiaux"

_permettant

de faire

apparaître

de hautes

_{multiplicités}

_(et,

dans les cas

favorables,

de rester dans l’ensemble des "cas

_{d’égalité").}

Comme

_conséquence

de ces lemmes

polynomiaux,

on

retrouvera la

_{classique décomposition}

_(dite

"de Dunford et

_{Schwartz" )}

_pour

les

_{endomorphismes}

des espaces vectoriels de dimension finie sur un _corps

en

_composante

_semi-simple

et

_composante

_nilpotente.

On traitera un

ex-emple

et une

application

de ces lemmes en

développant

un résultat dû à

Danilov et Schinzel

_évoqué

dans le 5.1 de

_{[L] : "}

Il existe une infinité de

couples

(a, b)

d’entiers vérifiant : 0

_{la3 - b21}

_[

_{2-33-5 -2 ~ a~/ 1.}

On renvoie à

_[L]

pour

replacer

ce résultat dans le contexte de la

_conjecture

de Hall :

_{la 3 - b21}

_{» vfà}

et _pour le nouveau cas obtenu en 1998 _{par N.} Elkies :

Ce

_qu’on

mettra en

_évidence,

c’est une suite de cas

(A,

_B,

C = A ₊

B)

polynomiaux

vérifiant

_r(ABC)

= D _{+ 1}

_qui,

_tous

spécialisés

_au

point 11,

conduiront à cette valeur d’adhérence

_(la

meilleure connue

présentement)

2.33.5 -5/2

pour l’ensemble des

quotients

non nuls de la forme

~a3 -

Les lemmes

_polynomiaux

font

_l’objet

de la

_{partie 2 ;}

_{l’application qu’on}

vient

_d’évoquer

fait celui de la

_partie

3.

2.

_{L’endomorphisme}

DS

2.1.

Théorème 1. Soit

_{P(X) un}

_polynôme

_séparable

de

_degré

d &#x3E; 0 à

coef-ficients

dans un _corps K de

caractéristique

nulle ;

il existe un

_unique

en-domorphisme

DS de

_l’algèbre

_{K[X] :}

X -

_DS(X),

où

_DS(X)

est un

Polynôme

de

_degré

_2d,

tel _{que, pour tout} entier m &#x3E;

_1,

divise

P(DSf(X))

lorsque

f

=

f (m)

est _assez

grand

(DSf

désigne

l’itéré d’ordre

f :

DS 0 DS 0 ... 0 DS).

Démonstration. On montre d’abord l’existence d’un

_polynôme

_DS(X)

tel

que

P(X)2

divise

P(DS(X)),

et on en déduira _par récurrence _que

p(X)2k

divise

_P(DSk(X))

pour tout

k &#x3E;

0. En

effet,

on voit _{que, pour} tout

polynôme

U(X),

P(X)

divise

_{P(X - U(X)P(X)).}

Pour _que

_p(X)2

divise

P(X -U(X)P(X))

qui,

modulo

_P(X)2,

est

_égal

à

_{P(X)(1-U(X)P’(X)),}

il suffit de choisir

_U(X)

pour que

(1- U(X)P’(X))

soit

multiple

de

P(X) ;

l’hypothèse

de

_{séparabilité}

_permettant

d’écrire une relation de Bezout

U(X)P’(X)

+

_U1(X)P(X)

=

1,

un tel choix est

_possible

et la construction

de cette relation et de

_U(X)

_par

_{l’algorithme}

d’Euclide

_permet

d’obtenir un

polynôme

DS(X)

= X -

U(X)P(X)

de

_degré

au

_plus

2d -1

_(polynôme

unique

sous cette

_condition).

Ce _processus

_pourrait

être

_poursuivi

en

con-sidérant un

polynôme

comme X -U(X)P(X) -V(X)P(X)2,

_mais,

comme

annoncé,

il est

_préférable

d’itérer le

_{morphisme d’algèbre :}

X ~

_DS(X).

La relation :

_,p(X)2

divise

_P(DS(X))"

_montre,

_par

_application

du

mor-phisme DS’,

que

P(DS(X))2

divise

N.B. :

_P(DS(X))2

est le carré du

_polynôme

_P(DS(X))

tandis que

P(DS2(X))

est le

_composé

_{P(DS(DS(X))).}

Par

_suite,

_p(X)4

divise

P(DS2(X))

et,

par

récurrence,

pour tout

0,

p(X)2k

divise

P(DSk(X»

-Si maintenant k est un entier vérifiant

2k ~

_m, on voit que l’entier

_f

=

2k

convient et le reste

_Qm(X)

de la division de _par vérifie

P(Qm(X))

= 0 mod.

(pour

_{m &#x3E;} 0 _avec

Ql(X)

=

X) ; Qm (X)

est le

_polynôme

de

_plus

bas

_{degré possédant}

cette

_propriété.

D

Exemples

(les

formules données pour tout indice n seront établies

plus

loin) :

Exemple

1.

_P(X)

=

X (X + 1 ),

la relation de Bezout s’écrit :

(2X+1)2

-4X(X

+

₁₎

= 1.

Alors,

DS(X)

=

Q2(X)

=

X(1 - (2X

₊

1)(X

₊

1)) =

-X~(2X

+

_{3) ;}

les itérés sont donc à coefficients entiers

_et,

_P(X)

étant

_unitaire,

il en est de même des

_polynômes

_{Qn (X )}

_{correspondants.}

Exemple

2.

_{P(X) =}

_{(X 2 + 1),}

la relation de Bezout est

-à noter _que

à _{noter que}

2.2.

Théorème 2. Pour tout

_polynôme

_M(X)

à

_coefficients

dans un

de

_{caractéristique}

0 et de radical

_{rM(X), il}

un

_polynôme

D(X)

a

coefficients

dans K tel _que

_M(X)

divise

_rM(D(X».

Avec les conditions :

(X -

D(X))

est un

_multiple

de

rM(X)

et

_{deg D}

_{deg M,}

D est

_unique.

Démonstration. Soit E le corps de

décomposition

de

M(X)

=

Ili(X

montre

_qu’existe

un

polynôme

unique

D(X)

de

degré

inférieur à celui de

M

_vérifiant,

_pour tout indice

_i,

mod.

_{(X -}

_Xi)e(i).

Par

suite,

le

_produit

_xi)

=

rM(D(X))

est un

multiple

de

M(X).

De

plus,

le

_polynôme

_{D(X) - X}

ainsi construit vérifie

_{D(xi) - xi}

= 0

pour tout i et est donc un

multiple

de

rM(X).

Soit Li un second

polynôme

possédant

les mêmes

_propriétés

_{que D.} Comme

_rM(X)

divise

_D(X)

-X et

_{0(X) -}

_X,

=

D(xi)

= xi pour tout i. Par

suite,

seul le facteur de

_{rji(0(X) -}

_xi)

est divisible _par

_{(X -}

_{Xi)e(i) ;}

_donc,

(X -

Xi)e(i)

divise

_{D(X) - 0(X) _ (D(X) -}

_{xi) -}

_{(0(X) -}

_xi)

_{pour toute} valeur de

_{i ;}

on en déduit _que

M(X)

divise

D(X) -

0(X),

_qui

est donc nul vu

_{l’hypothèse}

sur les

_degrés.

Reste à _{montrer que} les coefficients

de D

_{appartiennent}

à K

_(on

_peut

oublier la condition "coefficients dans K" _pour

_{l’unicité).}

La construction

_explicite

de D s’obtient _par celle de

polynômes Ai

=

Ai(X)

vérifiant la relation de Bezout : = 1.

À

_partir

de _ces

Ai

(obtenus

par la

décomposition

en éléments

simples

de la fraction

_1/M

=

¿i Ai(X)/(X -

xi)e(i),

forme

_polynomiale

pratique

du lemme

_chinois),

on obtient

D(X) =

Xj)e(j)).

L’unicité de cette

_{décomposition}

en éléments

_simples

(i.e.

celle de

la relation liée à la

_{décomposition}

de

_E[X]

en somme d’idéaux

_{principaux :}

Xj)e(j)))

montre que tout

K-morphisme

de E transformant

un xi _{en xj} transforme

Ai (X )

en

Aj (X) ;

comme l’existence d’un tel

K-morphisme implique

e(i)

=

e(j),

_on voit

que les coefficients du

polynôme

M (Zi

xiAi(X)/(X -

Xi)e(i))

égal

à D

_qu’on

a construit sont dans le _corps fixe du _groupe de Galois

_G(E/K),

_corps

_égal

à K en

_{caractéristique}

nulle.

a

Corollaire.

_(notations

du théorème

_{2) :}

Soit

_DS(X)

le

_polynôme

associé

au radical

rM(X)

_par le théorème

_{1 ;}

les restes des divisions _par

_M(X)

des itérés

_DSk(X)

_{pour k}

assez

grand

sont tous

_égaux

à

_D(X).

2.3.

_Remarque

1. Le corollaire suit des résultats d’unicité contenus

dans les théorèmes 1 et 2

_mais,

bien

_{sûr, quand}

_M(X)

=

rM(X),

il

n’y

a _pas unicité des

polynômes

D(X)

_pour

lesquels

M(X)

divise

rM(D(X))

(par

exemple,

si

_M(X)

=

X(X - 1),

M(X)

=

M(1 -

X)).

Remarque

2. Soit

_P(X)

un

polynôme

séparable ;

les

_arguments

d’unicité

montrent _que les

_polynômes

_{DS(X) (associé}

par le théorème 1 à

_P(X))

et

D(X) (associé

par le théorème 2 au carré

p(X)2)

coïncident ;

les _preuves

de chacun de ces théorèmes fournissent des constructions

_explicites

basées sur la relation UP’ +

U1P

= 1

pour le

premier

et la

décomposition

en

éléments

_simples

de

_1/P2

_pour le

_second,

_l’avantage

de la

_première

_preuve étant d’être

_intrinsèque

_(on

n’introduit aucun _surcorps et on ne fait aucun

directement la relation de Bezout UP’ +

Ul P

= 1 _{et est une} alternative à

l’algorithme

d’Euclide. Ce fait est résumé _par la

_{proposition :}

Proposition.

Soient

_{P(X) =}

_Xi)

un

polynôme

séparable,

la

_{décomposition}

de

_P(X)-2,

la relation de Bezout entre

_P(X)

et sa

_dérivée,

alors :

Démonstration.

Exemple.

, , , , , , , , , ,., , ...,., ,

Remarque

3. Les théorèmes 1 et 2

_{représentent}

deux variantes du lemme

polynomial

"au-dessus" de la

_{classique décomposition :}

semi-simple/nilpo-tent des

_{endomorphismes}

des espaces de dimension finie. En

effet,

soient

M(X)

le

_polynôme

minimal d’une matrice carrée

_complexe

_U,

_D(X),

N(X ) -

X -

_D(X)

les

_polynômes

associés à M _par la construction de la _preuve du théorème

_2,

d =

D(U), n

=

N(U) ;

le théorème 2

mon-tre que 0 et _que

_{Ili (U -}

divise n. Par

_suite,

d,

dont le

_polynôme

minimal n’a _que des racines

_simples,

est

diagonali-sable,

tandis _que le théorème de

_{Cayley-Hamilton}

_{montre que n est}

nilpo-tent. La

_{décomposition}

U = d _{+ n} est donc la

décomposition

diagonali-sable/nilpotente

de U.

_Quant

à son

unicité,

elle se déduit de l’écriture de

d sous la forme

D (U) .

Si U = ô + v où ô est

_{diagonalisable,}

v

_nilpotent

et

ôv

_{= v~,}

alors d =

5, n

= v ; en

effet,

comme 8 commute avec v et avec

d, 8

et d - 8 sont donc simultanément

_{diagonalisables ;}

de

_{même, v}

com-mute avec n et la formule du binôme alors

_applicable

montre _que n - v est

nilpotent ;

d - b = v -

_{n, à la}

fois

_{diagonalisable}

et

_nilpotent,

est donc nul.

2.4. Calcul

_explicite

des

_polynômes

D et DS. Les théorèmes 1 et

2 fournissent des constructions

_explicites,

de nature

_{algorithmique}

_pour le

premier,

et de la forme

_{"interpolation}

avec

multiplicités"

_pour le

second ;

on

précise

ce dernier

point

_par le théorème 3 suivant :

Théorème 3. Soit

_{M(X) =}

_poLynôme.

Il existe un

unique

polynômes

D(X)

de

_{degré d}

_¿i

_e(i)

_vérifiant

_D(xi)

= _xi

(1

i _fi

r)

et dont la dérivée est un

multiplie

de Ce

_polynôme

D(X)

est le

_polynôme

associé par le théorème 2 à M.

Démonstration. Soit

_{D(X )}

le

_polynôme

associé à

_{M(X )}

_par le théorème 2.

Il suffit d’établir _{que D} vérifie les

_hypothèses

satisfaites _par

_D,

dont on va

voir

_qu’elles

caractérisent ce dernier. Par

construction,

_pour i =

1, ... ,

r,

(X -

Xi)e(i)

divise

_{D(X) -}

xi. Le

produit

divise donc

D’(X)

et,

si

_I(X)

_désigne

une

primitive

de

Xi)e(i)-l,

il existe

donc une constante J et un

polynôme

K(X)

de

degré

au

plus

(r - 2)

tels

que

D(X)

=

K(X)(I(X)

+

_J).

_Comme,

pour tout

i,

D(xi) =

xi, les

K(xi)

vérifient les

_{(r - 1)}

_équations

linéaires :

_{K(xl)/xl -}

I(xl) -

I(xj)

(j # 1)

à

_partir

_desquelles

on détermine K

(puis J)

_par la

formule

_{d’interpolation}

de

_Lagrange.

ri

Quand

le nombre des racines est r =

2,

K est une

_{constante ;}

on

_explicite

les

résultats

_{s’exprimant}

alors en termes de fonctions

_classiques.

_Ici,

on utilise

à la fois les notations du théorème 1 et celles du théorème 2

_puisqu’on

illustre ces deux théorèmes.

Corollaire 1. Si

_{P(X) =}

_{(X -}

_{a) (X -}

_b),

DS(X)

= X -

(a -

b)-2(2X -

(a

₊

b))(X -

a)(X -

b).

Démonstration.

_P’(X)

= 2X -

(a

+

b)

d’où la relation de Bezout

(a

-b)-2((2X -

(a

+

b))2 -

_{4(X - a)(X - b)) = 1}

et le résultat. On

_peut

vérifier les

_{égalités :}

_{DS’(X) = -6(b -}

_{a)-2(X -}

_{a)(X - b)}

et

_(DS(X)

-DS(a))(DS(X)-DS(b)) _

(1/36)(DS’(X))2(2X--a-3b)(2X+b-3a) _

(b -

a)-4(X - a)2(X - b)2(2X

+ a -

3b)(2X

+ b -

_3a).

D

L’itération du

_{morphisme d’algèbre}

_DS,

suivi d’une division

_euclidienne,

permet

de calculer

_(et

fournit un

procédé

algorithmique)

les

_polynômes

associés _par le théorème 2 aux

(X -

(avec

cette

_notation,

DS(X)

=

D2,2(X)).

Le calcul direct d’un

_{polynôme égal}

à a

_{(resp. b)}

au

point

a

(resp. b)

et de dérivée

_{proportionnelle}

à

_{(X -}

_b)/3-l

conduit à l’énoncé suivant.

Corollaire 2.

De

_plus,

les

_{polynômes définis}

_{par: 2}

, _ - , - -, , - , ... ¿- _ w

Remarque

1. La relation de Bezout

_précédente

1 =

A(X ) (X -

a)a

₊

B(X)(X -b)~

est un cas

d’égalité

(exemple :

A6(X)(1+X)6+As(-X)(1-Remarque

2. Le

_changement

de variable x = _{a +}

t(b - a)

montre

que

B

_désignant

la fonction "bêta" associée à la fonction r _par la relation d’Euler

_{B (x, y) =}

+

y))-1.

En utilisant de

_plus

la fonction "bêta

_{incomplète",}

on

_peut

également

écrire le numérateur de

Da~~ (X ) ;

par

suite,

les résultats

s’expriment

effectivement,

dans le cas de deux racines au

plus

_pour

P,

_par des fonctions

classiques.

Remarque

3. Les

_exposants

étant

entiers,

on

_peut

aussi calculer le terme

normalisateur f a b(x -

a)a-1 (x - b)B-1

dx en restant dans le monde des

polynômes ; précisément,

on a :

Proposition.

Démonstration. On écrit

_ -il

et,

par une

_intégration

_par

_parties,

on voit _{que les} contributions des termes de la somme sont

égales.

Corollaire.

1 1

(Bien

qu’établi

pour des valeurs

entières,

le corollaire s’étend aux

réels ;

_par

exemple,

en choisissant a = b =

3/2,

on voit _que

_{l’intégrale}

ci-dessus est

égale

à l’aire d’un demi-cercle de diamètre

_{[a, b]}

et donc _que

_{B(3/2, 3/2) _}

r(3/2)2/2

=

7r/8).

Exemples.

(les

exemples

(notations)

sont ceux

(celles)

annoncés

(resp.

utilisées)

plus

haut)

2.5. Un lien avec les

polynômes

de

Cebicev.

Dans la

_{première partie,}

on a

rappelé l’équation

fonctionnelle

(en)

vérifiée _par les

_polynômes

de

Cebicev

Cn

et l’action de la

_{spécialisation}

X H

_Cm(X)

_compte-tenu

de la

propriété

Cn

o

_Cm

=

Cmn

Cette

propriété

s’étend

grâce

_au lemme : Lemme. Soit

_(Cn)

une suite de

fonctions vérifiant

les identités

fonction-nelles :

_Cn

0

Cm

=

Cm

0

Cn = Cmn.

Soient A un

_paramètre

et

_(An)

les

_{fonctions définies}

_par

_{An (X ) -}

_{ACm (X/A) ;}

_alors,

la même identité

Démonstration.

Théorème 4. Soit

est un

polynôme

unitaire

_impair

à

coefficients

entiers

positifs

vérifiant

les

_{propriétés :}

Par

_conséquent,

la suite d’identités donnée par

(ii)

est une suite de cas

d’égalités

pour

l’inégalité

de

Mason,

suite laissée stable par les

morphismes

·

Démonstration. Pour _{montrer que} est à coefficients

_entiers,

on

applique

la _remarque

Remarque.

Soient

_k,

n des entiers &#x3E;

_0,

alors

(n

+

_(nk)

et

_(2n

-(nk)

sont entiers. C’est en effet clair : si

(n

-t-

(nk) =

_(n

+

k)k-1 ~k-1~

n’est _pas

_entier,

il existe une valuation vp _pour

_laquelle

k) -

vp(n

+

_{k) -}

sont strictement

_{négatifs ;}

or,

vp(n

+

_{k) ~}

inf ( vp ( n ), vp ( k) ) .

Soit maintenant =

2iCm(X/2i) ;

le lemme et la

_partie

1 montrent

que qn o _{lm = lm} o _ln = _lmn. Comme sont

impairs,

il vient :

puisque

les entiers

_(2mn

+ m +

_n)

et

_(m

+

_n)

sont de même

_parité.

Dans l’identité

_{Cn(X)2 -}

1 =

(X~ -

1)(Cn(X)/n)2,

_on

spécialise

X _en

X/2i

et on

_multiplie

les deux membres _par

_{-4 ;}

en notant _que

_{(r2,,~t+1(X))2}

=

(Ci(/2z))2,

on en déduit

(ii).

Pour montrer

_(iii),

il suffit d’établir _que

Application. L’exemple

2

_qui

suit le théorème 1 établit la formule

‘~2(x)2

+ 1 =

(1~4)(X2

₊

4)(X2

₊

1)2

_avec

Q2(X)

=

X(X2

₊

3)/2 ;

i

autrement

_dit,

_Q2(X)

est le

_polynôme

dont l’itération

_permet

de former des facteurs

₍₁

+

X2)

avec de hautes

multiplicités.

Dans cette

identité,

écrite

sous la forme

(2Q2(X))2

+ 4

_{= (X2 + 4)(X2}

+

_1)2,

on reconnaît l’identité

r3 (X ) 2

+ 4

_{= (X~}

+

4) (r3 (X ) /3)2

_(et

aussi la

_{spécialisée}

_par X -

X 2

de l’identité

_(*)

de

_[L]

_après

la translation X - 1 + X rendant

_applicable

le théorème

_13).

Il _y a _{par conséquent} deux modes

_possibles

_pour obtenir

par itération de hautes

multiplicités

à

partir

de l’identité

précédente :

X ~

Q2(X)

et X -

_{r3(X) ;}

ainsi : De

_{(X(X2+3))2+4 = (XZ+4)(XZ+1)2,}

on

déduit au

premier

_{rang :} avec

respectivement

X -

r3 (X ) )

et X ~

_{QZ (X ) )}

3.

_Exemples

_{d’applications}

3.1. Une

_application

directe des constructions de la

_partie

2

_(et

du

théorè-me 13 de

_[L]

tel _que

_rappelé

dans la

_partie

₁₎

est de faire naître _par itération des cas

d’égalité

avec des

multiplicités

élevées. Ainsi :

Théorème 5. La substitution de à X dans tout cas

_{d’égalité}

en

X dont le radical est

_multiple

de

_{(X - a) (X - b)}

_{fait apParaître}

un nouveau

cas

d’égalité

contenant les

facteurs

(X - cz)a

et

(X -

b)a.

Dérrconstration. Soit

_(R,

_S,

R -

_S)

un cas

d’éga,lité,

il suffit de vérifier _que

la dérivée

_(dont

le théorème 3 montre

_qu’elle

est

_{proportionnelle}

à

_{(X -}

_b),3-1)

divise le

_spécialisé

_{(RS(R - S))(D(X)) ;}

_or, ce

terme

_comporte

un facteur

(D(X) -

a)(D(X) - b)

qui

est un

multiple

de

X

D

Exemple.

Dans

_(X-a)-(X-6)

=

b-a,

la

spécialisation

de X _en conduit à :

_{(X -}

_a)2(2X

+ a -

3b) -

(X -

b)2(2X

+ b -

_{3a) = (a -}

_b)3.

Le théorème 5

_s’applique

à tous les cas

_{d’égalité,}

_y

_compris

le trivial

(X-f-1)/2-(X-1)/2

= 1

(ou X-(X-1)

=

1),

générateur

de tous les autres

par

spécialisation.

En

particulier,

on

_peut

l’appliquer

à toutes les relations de Bezout

_explicitées

dans la

_partie

_précédente

comme 1 =

Aa, (X ) (X

-avec

(3,

a

_et,

_par ce

procédé

itératif,

on

_peut

les écrire toutes

_{algorithmiquement}

et

explicite-ment.

Exemple.

En

_{spécialisant}

_{( 1 /2) (X -~ 1 ) - ( 1 /2 ) (X -1 )}

= 1

par le

polynôme

qui

est la relation

_(*)

de

_[L]

où elle

_joue

un rôle

_{important ;}

en itérant et

après

division

_euclidienne,

on obtient les solutions

A3(X) _

(1/16)(3X2

(déjà

vu dans la

_partie

3.2. De

_même,

à

_partir

des

_polynômes

de

_Cebicev,

on

_peut

construire des

polynômes :

qui,

substitués à X dans tout cas

d’égalité

en X dont le radical est

_multiple

de

_{(X - a) (X - b),}

fait

_apparaître

un nouveau cas

d’égalité

contenant le facteur

_{(X - a)(X - b~}

3.3. Dans le domaine des

_{représentations}

_par les formes

_binaires,

les théorèmes 1 et 2 de la

_partie

2

_permettent

d’obtenir directement des

so-lutions avec de hautes

multiplicités.

En utilisant

_l’exemple

2

_qui

suit le théorème 1 de

_{(2.1) (et}

_{qui jouera}

un rôle

_important

dans

_(3.3)),

on voit

que les identités :

conduisent à itérer les transformations

pour faire

apparaître

des sommes de carrés

(X2

+

T )

à des

_{multiplicités}

élevées,

tout en _{conservant pour} T des facteurs

_premiers

donnés.

3.4. Danilov a utilisé une résolvante de l’identité de Klein _pour l’icosaèdre afin d’en déduire des valeurs d’adhérence pour les

quantités

de la forme

~a3 -

(a,

b entiers

_naturels,

_{a3 ~}

_b2)

et Schinzel a donné le meilleur

minorant

_positif

connu _pour ces valeurs d’adhérence : 2 ~ .33

5 -5/2

. Cette

résolvante

_peut

s’écrire comme le cas

d’égalité

suivant :

(X2 12X + 16)3

-(X2

+

_{4)(X2 -}

18X +

76)2

=

1728(X -

11).

En substituant 2X _à

_X,

_on

retrouve l’identité

_($)

utilisée dans

_[L]

où l’on _{montre que}

_($)

est une forme

condensée,

qu’on

déduit en

_posant

de l’identité des invariants de Klein _pour l’icosaèdre

_(et

donc _pour le

dodéca-èdre),

laquelle

peut

être formulée ainsi

_(c’est

un cas

d’égalité

_puisque

le

morphisme

respecte

le critère du théorème 13 de

_[L]

_auquel

on renvoie

avec :

En

_{spécialisant}

X dans

_($)

aux

_points

de la suite d’entiers

(cf.

[L]) :

_xn =

(( (2 .

11 - 31 +

61 125~4n+3

+

_{(2.11 ’}

31 -

_{61 125~4n+3~~2 _ 3)~/5 -}

1 on

obtient _pour

_(xn

+

_{1) (resp. ((xn -}

3)2 - 5)3)

un terme de la forme

_125yn

(resp.

un

multiple

de

125),

d’où la

simplification

_par 125 mise en évidence

par Schinzel et la formation d’une différence de la forme

an -

On va

relever dans les

_polynômes

cette suite de la

_façon

suivante :

Théorème 6. Soient

_r3(X)

=

2Q2 (X )

= ₊

3)

(cf.

fin

de la

par-tie

_2),

=

F3(r3(X))

=

(DSn) la

suite des identités

(cas

d’égalité)

déduites de la résolvante

_{(DSO )}

par itération successive de

’Y(X) "

Alors,

la

_{spécialisation}

au

_point

11 dans cette suite

_(DSn)

d’identités

en-gendre

une suite de

différe

=

cn pour

laquelle

tend vers

2 - 33 -

5-5~2

par valeurs

inférieures.

Démonstration. Comme

_l’indique

le théorème

_4,

_l’image

_par le

_morphisme

X - de

_(X2+4)

_engendre

une suite de cas

d’égalité

(DSn)

(lesquels

satisfont donc au théorème 13 de

[L])

contenant le facteur

_(X2

+

_4).

Cette dernière identité s’écrit :

_{An(X)3 -}

_(X2

+

4)Bn(X)2

=

1728Cn(X)

(An,

Bn, Cn

à coefficients

_entiers,

le

_{polynôme Bn}

se

_présentant

lui-même sous

la forme d’un

_{produit : facteur,}

facteur

_carré,

facteur

_{biquadratique... ).}

L’étude de la

_{spécialisation}

au

_point

11 est basée sur le lemme

(un

résultat

plus général

a

déjà

été établi dans le

(iii)

du théorème 4 _pour la

première

congruence du

lemme)

suivant :

Au

_point

X =

11,

les termes

(X~

₊

4)

et

Cn(X) = -yn (X ) -

11 sont tous deux divisibles par 125 et il en est donc de même de

An(X)3.

D’autre

part,tous

les termes

_(n

&#x3E;

₀₎

sont

_multiples

de

_X(X2~-3)

et

_prennent

donc au

_point

11 des valeurs

_multiples

de

_{4 ;}

il en est donc de même de

[(X~ - 18X

+

76)]~~~ .

Comme 1728 =

2~3~

_on voit

l’égalité

en entiers :

peut

être

_simplifiée

_par

2~ ’ 53.

Pour n

grand,

1728Cn(11)

est voisin de

337n(11)/53 tandis

que

(An(ll)/2 2

5)1/2

est voisin de

-yn(11)/2 512

d’où le

_quotient

annoncé : 2 ~

3~ ’

5"~.

. Pour voir que la limite est atteinte par

valeurs

_{inférieures,}

il suffit de considérer la forme de

_DSo

et d’observer _que

,n(11)

est un entier

_grand.

D

Pour n =

1,

on retrouve le calcul

_{(cf. [L]) :}

(22~2399~60659~553187221)3-(17~19~61~839~109441~555301~181879441)2=34~5~11~41~3001.

Remarque.

On

_rappelle

_qu’il

est

_impossible

de trouver un

couple

(P,

Q)

de

_polynômes

tel _que le

_degré

de

_{(P3 - Q2)}

soit moitié de celui de P

_(s’il

en était

_ainsi,

en notant d le

_degré

de

_{(P3 - Q2),}

le

_degré

de P serait 2d

et celui de

_Q

serait

_3d,

le nombre de racines du

_produit

_{PQ(P3 - Q2)}

serait alors

_6d,

soit au

plus

le

degré

de

P3

(ou

celui de

Q2,

qui

lui est

égal),

d’où une contradiction avec

l’inégalité

de

Mason).

Cette _remarque,

faite _par

_Davenport

dès les années

_60,

est de fait

_équivalente

avec certaines

formes du théorème de Mason

_(aussi

énoncé _par Stothers antérieurement

et

_{indépendamment).}

On renvoie à la

_{bibliographie}

de

_[L]

_pour

_plus

de détails.

Bibliographie

[L] M. LANGEVIN, Imbrications entre le théorème de Mason la descente de Belyi et les _différentes

formes de la _{conjecture (abc).} J. Th. Nombres de Bordeaux 11 _(1999), 91-109.

[P] P. PHILIPPON, Quelques remarques sur des _{questions d’approximation diophantienne.} Bull.

Aust. Math. _{Soc., 59, (1999),} 323-334 ; Addendum Ibid. _{61, (2000),} 167-169. Michel LANGEVIN

Th des _Nombres, I.M. Jussieu &#x26; A2X, I.M. Bordeaux Universite de Bordeaux 1

33405 Talence cedex France