V. Quelques équations diophantiennes

(1)

Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 1 / 37

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V. Quelques équations diophantiennes L’équation du premier degré

I. L’équation du premier degré

On considère l’équation

a₁·x₁+a₂·x₂+· · ·+a_n·x_n=b

aveca_i ∈Z(16i 6n) etb∈Z. Il s’agit d’en déterminer toutes les solutions dans Z.

Il y a deux principes généraux.

Cette équation est résoluble dansZ si et seulement si b est divisible par P.G.C.D. (a_i)_16i6n Cela équivaut exactement à :

(3)

Toute solution est somme d’une solution particulièrede a₁·x₁+a₂·x₂+· · ·+a_n·x_n =b

et d’une solution de

a₁·x₁+a₂·x₂+· · ·+a_n·x_n=0 C’est clair, puisque si(αi)_16i6n et(βi)_16i6n sont tels que

a₁·α1+a₂·α2+· · ·+a_n·αn=b a₁·β1+a₂·β2+· · ·+a_n·βn=b

on a alors

a₁·(β1−α1) +a₂·(β2−α2) +· · ·+a_n·(βn−αn) =0

(4)

Question

Résoudre dansZl’équation

3x+4y=17

Solution.

Comme P.G.C.D.(3,4) =1, on trouve facilement une solution particulière de 3x+4y =1 :

x₀⁰,y₀⁰

= (−1,1)

On en déduit une solution particulièrede 3x +4y =17 : (x₀,y₀) = (−1·17,1·17) = (−17,17)

(5)

D’autre part, toujours à cause de P.G.C.D.(3,4) =1,toutesles solutions de 3x+4y =0 sont données par :

(x,y)∈ {(4t,−3t)}_t∈

Z

L’ensemble detoutesles solutions entières de 3x +4y =17 est donc donné par :

(x,y)∈ {(−17+4t,17−3t)}_t∈

Z

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Question

42x+10y+15z=7

Solution.

Une solutionparticulière de 42x +10y +15z =7 est donnée par : (x₀,y₀,z₀,) = (1,−2,−1)

N.B.Uneméthodepour trouver une solution particulière consiste à fixer d’abord une valeur dez de telle sorte que P.G.C.D.(42,10) =2 soit un diviseur de 7−15z.

Il reste ensuite à résoudre l’équation à deux inconnues correspondante, par exemple à l’aide de l’algorithme d’Euclidepour le calcul du P.G.C.D. de deux nombres.

(7)

Il s’agit maintenant de trouver toutesles solutions entières de 42x +10y +15z =0 ou

42x+10y =−15z

Comme P.G.C.D.(2,15) =1, l’équation 2·(21x+5y) =−15z

implique qu’il doit existerz⁰∈Ztel quez =2·z⁰. On se ramène ainsi à déterminer toutes les solutions entières de

21x+5y=−15z⁰

Comme P.G.C.D.(21,5) =1, on trouve toutes ces solutions comme dans la question précédente :

(x,y)∈ {(−15z⁰+5t,60z⁰−21t)}_t∈

Z

Toutesles solutions entières de 42x +10y +15z =0 sont donc données par :

(x,y,z)∈ {(−15s+5t,60s−21t,2s)}_s,t∈

Z

(8)

Finalement, l’ensemble de toutesles solutions entières de l’équation 42x +10y +15z =7 est donné par

(x,y,z)∈ {(1−15s+5t,−2+60s−21t,−1+2s)}_s,t∈

Z

N.B.

Evidemment, les équations qu’on vient d’obtenir sont aussi des équations paramétriquesentièresd’un plan « entier », c’est-à-dire d’un plan possédant des points dont les coordonnées sont toutes entières. Mais l’ensemble des points du plan 42x+10y+16z =7 dont les coordonnées sont toutes entières, est vide.

On peut aussi écrire les solutions de l’équation 42x+10y+15z=0 sous la forme







x = −15s+5t = 5·(−3s+t) y = 60s−21t = 3·(20s−7t)

z = 2s = 2·s

(9)

V. Quelques équations diophantiennes L’équation de tous les cercles

II. L’équation de tous les cercles

C’est un exemple très classique, et qui met en scène les principales étapes de la résolution d’une équation diophantienne du second degré.

*Question*

x²+y²=z²

Solution.

Siz =0, c’est facile ! On peut donc supposerz 6=0.

Comme l’équation est homogène :

résoudre résoudre

x²+y² =z² ⇔ X²+Y²=1

dansZ dansQ

(10)

L’équation X²+Y² =1 possèdeau moins une solution rationnelle : (X;Y) = (1;0).

M : (a,b) est une so- la droited_AM a un lution rationnelle de =⇒ cœfficient angulaire

X²+Y² =1 rationnel

(11)

. . . Et la réciproque est vraie ! ! ! Pour le prouver, on cherche les solutions du système :

X²+Y² =1 Y =m(X −1))

Cela revient à déterminer les racines de l’équation du second degré : m²+1

·X²−2m²·X+m²−1=0

Or, une de ces racines doit être1, et le produit des racines égale m²−1

m²+1

C’est donc aussi la valeur de l’autre racine ! La valeur correspondante deY est alors :

m·

m²−1 m²+1−1

=m· −2

m²+1 = −2m m²+1

(12)

L’ensemble detoutesles solutions rationnelles de X²+Y²=1 est donc donné par

(X;Y)∈

m²−1

m²+1 ; −2m m²+1

m∈Q

L’ensemble detoutesles solutions entières dex²+y²=z² est alors donné par

(x;y;z)∈

n(p²−q²) ; 2npq ; n(p²+q²) _n,p,q _∈

Z

La méthode précédente est appelée laméthode de la sécante.

(13)

N.B.

Pour l’essentiel, on a ainsi montré qu’il existe une infinité d’angles dont le sinuset le cosinus sont des nombres rationnels. Mais il est (très !) difficile d’en citer (. . . qui soient non multiples entiers de ^π₂).

Avecm:=tanθ, on peut résoudreX²+Y²=1 dansQtrigonométriquement:

θ 2θ

a=cos(π+2θ) =−cos 2θ=−1−tan²θ 1+tan²θ

=−1−m² 1+m²

b=sin(π+2θ) =−sin 2θ=− 2·tanθ 1+tan²θ

=− 2m 1+m²

La structure dugroupedes points rationnels sur le cercle de rayon 1 est remarquable . . .

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V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées

III. Les coniques centrées

Il s’agit de résoudre en nombres entiers, ou en nombres rationnels, les équations du second degré du type

AX²+BY² =C

avecA,B et C ∈Z, etC 6=0.

On fait toujours les hypothèses suivantes : A,B et C sont sans facteurs carrés.

P.G.C.D.(A,B) =P.G.C.D.(A,C) =P.G.C.D.(B,C) =1.

Les équations ne sont pas du typeX²±BY²=1 ou±AX²+Y² =1 (mais on fera une petite exception. . . )

(15)

1. Les principes de résolution

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation admette au moins unesolution (rationnelle . . . )

Appliquer la méthode de la sécante pour en déduiretoutesles solutions rationnelles.

S’il y a des solutions entières, elles sont parmi les solutions rationnelles (. . . mais il reste à les isoler . . . )

(16)

2. Un exemple

*Question*

Résoudre l’équation

X²+2Y²=5

dansQ, ou, de manière équivalente, résoudre l’équation x²+2y²=5z²dansZ.

Solution.Par « descente » on montre qu’il n’y a /emphpas de solutions entières dex²+2y²=5z².

En réduisant modulo 5, on déduit dex²+2y²≡0 (mod 5) quex et y ≡0 (mod 5), et donc qu’il existeu etv ∈Z tels que

x =5·u y =5·v

On tire alors dex²+2y²=5z² qu’il existet ∈Z avecz =5·t.

Il s’agit alors de résoudreu²+2v²=5t² avec|u|<|x|,|v|<|y|et

(17)

3. Des conditions nécessaires . . . et suffisantes

Supposons qu’il existe une solution dans ZdeAx²+By²=Cz². Alors il existe aussi une solution dans Z/C ·Zde

Ax²+By²≡0 (mod C)

Comme P.G.C.D.(A,C) =1, on en déduit une solution dansZ/C ·Z de A²x²+ABy²≡0 (mod C)

Enfin, les hypothèses faites impliquent aussi que P.G.C.D.(y,C) =1, donc y² est inversible dansZ/C ·Z, et il existe donc u∈Z/C ·Ztel que :

u² ≡ −AB (mod C)

(18)

On montre pareillement qu’il existe une solution (resp. dansZ/B·Z et Z/A·Z) aux congruences

v²≡AC (modB)

et

w² ≡BC (modA)

En résumé : s’il existe une solution entière de l’équation Ax²+By² =Cz², alors il existe aussi des solutions (dans les anneaux convenables) aux congruences







u² ≡ −AB (mod C) v² ≡ AC (modB) w² ≡ BC (mod A)

(19)

Ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes ; c’est un théorème dû à A.-M. Legendre (1752 - 1833).

Théorème

Avec les hypothèses signalées plus haut, l’équation Ax²+By² =Cz²

admet une solution dans les entiers si et seulement si les trois congruences







u² ≡ −AB (mod C) v² ≡ AC (modB) w² ≡ BC (mod A)

admettent des solutions dans les anneaux correspondants.

(20)

4. Encore un exemple

Question

41X²+31Y²=1 dansQ.

Solution.On applique le théorème de Legendre à l’équation 41x²+31y²=z²

Il n’y a que deux congruences à résoudre :

u² ≡ 41 (mod 31) v² ≡ 31 (mod 41) (la première peut être remplacée par u²≡10 (mod 31)).

(21)

Une solution entière de 41x²+31y² =z² est donnée par : (x,y,z) = (3,1,20)

On en déduit une solution rationnelle de 41X²+31Y²=1 : (X,Y) =

3 20, 1

20

On en déduit l’ensemble de toutesles solutions rationnelles de l’équation 41X²+31Y² =1 :

(X,Y)∈

93m²−62m−123

20(31m²+41) ,−31m²−246m+41 20(31m²+41)

m∈Q

Evidemment, l’équation 41X²+31Y² =1 n’a aucune solution entière !

(22)

N.B.La loi de réciprocité quadratique permet de se passer de la résolution explicite des congruences dans le théorème de Legendre.

Comme 31 et 41 sont premiers, cette loi permet d’abord de vérifier que les congruences en question sontsimultanémentsolubles ou insolubles :

41 31

· 31

41

= (−1)³¹⁻¹² ^·⁴¹⁻¹² = +1

Et on calcule ensuite 10

31

= 5

31

· 2

31

=· · ·= (+1)·(+1) = +1

(23)

5. Un autre exemple, classique

. . . Et même si on avait prévu de ne pas s’y intéresser . . .

Question

X²−7Y²=1 dansQ, et même dansZ.

Solution.La méthode de la sécante s’applique telle quelle, au départ de la solution évidente(X,Y) = (1,0).

On trouve comme ensemble de solutions rationnelles : (X,Y)∈

7m²+1 7m²−1, 2m

7m²−1

m∈Q

(24)

Si D est un entier naturel sans facteurs carrés, l’équationX²−DY² =1 est l’équation de Pell.

Théorème

SiD est un entier naturel sans facteurs carrés, l’équationX²−DY²=1 admet une infinitéde solutions entières.

Plus précisément, il existe une solution entière(X1,Y1)de cette équation avecY₁ 6=0 et, quel que soitn ∈N, le couple de nombres entiers(X_n,Y_n) défini par :

X₁+Y₁·√ Dn

=:X_n+Y_n·√ D

est toujours une solution de X²−DY²=1.

(25)

Le développement en fraction continuée de√

D permet de déterminer la solution(X₁,Y₁) utilisée dans le théorème.

Plus précisément, si on note` la longueur de la période du développement en fraction continuée de√

D, et si

R_i = P_i Q_i

est la i^ème réduite (irréductible) de ce développement, alors : si` est pair :

(X₁,Y₁) = (P_`−1,Q_`−1) si` est impair :

(X₁,Y₁) = (P_2`−1,Q_2`−1)

(26)

Par exemple, si D =7, on a :

√7=

2;1,1,1,4

| {z } , . . .

Donc `=4. On calcule R₄₋₁ =R₃= ⁸₃, d’où (X₁,Y₁) = (8,3)

Voici les premières valeurs obtenues comme solutions entièresde X²−7Y² =1 :

n Xn Yn

1 8 3

2 127 48

3 2024 765

4 32257 12192

(27)

N.B.

Les conditions, ou congruences, du théorème de Legendre sont toujours vérifiées pour l’équation de Pell, puisqu’elles se réduisent à

u²≡1 (modD)

On tire immédiatement du théorème concernant l’équation de Pell que, pour k∈Z⁶⁼⁰, si l’équation

x²−Dy²=k

admetune solutionentière, alors elle en admet uneinfinité! On en verra un exemple dans la question suivante.

(28)

6. Un exemple un peu plus corsé

Question

2X²−2XY−7Y²=17

dansQ, et même dansZ.

Solution.On considère l’équation équivalente 4X²−4XY −14Y²=34 pour la réduire à

(2X−Y)²−15Y²=34

On applique le théorème de Legendre à l’équation x²−15y² =34z². Il n’y a que deux congruences à résoudre :

u² ≡ 15 (mod 34) v² ≡ 34 (mod 15) (la seconde peut être remplacée par v² ≡4 (mod 15)).

(29)

Une solution entière dex²−15y²=34z² est donnée par : (x,y,z) = (7,1,1)

On en déduit une solution rationnelle de(2X −Y)²−15Y²=34 : (2X −Y,Y) =

7 1,1

1

= (7,1) D’où

(X,Y) = (4,1) qui se trouve êtreaussi une solution entière!

On en déduit l’ensemble de toutesles solutionsrationnellesde l’équation 2X²−2XY −7Y²=17 :

(X,Y)∈

2·(14m²−7m−3)

7m²+2m−2 ,−15m²+16m−2 7m²+2m−2

m∈Q

(30)

N.B.Il existe uneinfinitéde solutionsentièresde l’équation 2X²−2XY −7Y²=17.

Pour le voir, il suffit de combiner les résultats que l’on vient d’obtenir avec ceux de la question précédente concernant l’équation de Pell.

Plus précisément, pourn∈Non définit les nombresunetvn∈Zpar : un−vn

√15:=

7−√ 15

· 4−√

15n

On obtient ainsi un ensembleinfinide solutionsentièresde l’équationu²−15v²=34.

Un ensembleinfinide solutionsentièresde l’équation 2X²−2XY −7Y²=17 s’en déduit pourvu qu’on sache toujours résoudre le système

2X−Y =un

Y =vn

ce qui revient à montrer que, quel que soitn∈N:un+vn esttoujours pair.

Or, les formules de récurrence :

un = 4un−1 + 15vn−1

vn = un−1 + 4vn−1

impliquent

(31)

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe . . .

IV. Une autre courbe . . .

La méthode de la sécante fonctionne pour d’autres courbes que celles du second degré, pourvu qu’on l’adapte.

*Question*

Y²=X³−17X dansQ.

Solution.L’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient cette équation est la réunion du graphique de deux fonctions (algébriques scolaires) :

f₁(x) =p

x³−17x et

f₂(x) =−p

x³−17x

(32)

Y²=X³−17X (−1;4)

(−1;−4) (−4;−2) (−4;2)

(33)

L’équation possède des solutions rationnelles (et même entières) telles que (−1;±4)ou (−4;±2).

Une droite du typeY =mX+p coupe en général la courbe considérée en 3 points.

Toute droite passant par deux points à coordonnées rationnelles possède une équation à cœfficients rationnels.

Le raisonnement utilisé dans la méthode de la sécante (avec le produit des racines de l’équation aux abscisses) implique qu’une droite passant par deux points à coordonnées rationnelles a nécessairement son troisièmepoint d’intersection avec la courbe qui sera lui aussi à coordonnées rationnelles.

Par un raisonnement analogue, toute tangente à cette courbe en un point à coordonnées rationnelles a nécessairement sontroisièmepoint

d’intersection avec la courbe qui sera lui aussi à coordonnées rationnelles.

Ces constructions permettent d’obtenir dessolutions rationnellesde l’équation Y²=X³−17X.

(34)

Exemple. La construction par tangente au départ du point(−1;4).

Le cœfficient angulaire de cette tangente est calculé à partir de 2y ·y⁰ =3x²−17

d’où

y⁰

_(−1,4)= 3x²−17 2y

_(−1,4)

= −14 8 =−7

4 Il reste alors à résoudre le système

y² = x³−17x y = −⁷₄(x +1) +4 L’équation aux abscisses qui en résulte :

0=16x³−49x²−146x −81= (x+1)²(16x −81)

(35)

(−1;4)

81 16;−⁴²³₆₄

(36)

Exemple. La construction par tangente au départ d’un point de coordonnées rationnelles(a;b).

Le cœfficient angulaire de cette tangente est calculé à partir de y⁰

(a,b)= 3x²−17 2y

_(a,b)

= 3a²−17 2b Il reste alors à résoudre le système

y² = x³−17x y = ^3a²_2b⁻¹⁷(x−a) +b

On en déduit les coordonnées (rationnelles) du troisième point d’intersection :

(x,y) =

34a+b² 2ab

2

, 1156a+85b²−a²b²

34a+b² 8a²b³

!

(37)

La courbe représentée par l’équationY² =X³−17X est un exemple de ce qu’on appelle unecourbe elliptique (non singulière).

Le résultat suivant règle la question de la quantité des points à coordonnées entièressur une telle courbe.

Théorème

Si la courbe d’équation

AX³+BX²Y +CXY²+DY³+EX²+FXY +GY²+HX +KY +L=0 à cœfficients entiers, est non singulière, alors elle possède un nombre finide points à coordonnéesentières.

La démonstration est difficile, et due à C. L. Siegel (1896 - 1981).

N.B.La courbeY²−X³=0 possède évidemment uneinfinitéde points à coordonnées entières !