Chapitre 1
feuille d'exercices : Équations polynomiales dans C
I
Calculs algébriques
Exercice 1:
Déterminer les solutions des équations suivantes dans l'ensembleRdes nombres réels puis dans l'ensembleCdes nombres complexes
1. z2−6z−7 = 0 2. 2z2+ 6z+ 5 = 0 3. z2−6z+ 13 = 0 4. 4z2−12z+ 9 = 0
Exercice 2:
Déterminer les solutions des équations suivantes dans l'ensembleRdes nombres réels puis dans l'ensembleCdes nombres complexes
1. 3x2+ 3 =−9x 2. 2x2+ 12 = 2x 3. 5x2+ 40 = 15x−50 4. 9x= 4−x2
Exercice 3:
Déterminer les solutions des équations suivantes dans l'ensembleRdes nombres réels puis dans l'ensembleCdes nombres complexes
1. 3z+ 2
z+ 1 =z+ 3
2. z4= 16(utiliser le changement d'inconnuex=z2)
Exercice 4:
Le postualt "on peut étendre l'ensembleRdes nombres réels en un ensemble de nombres avec lesquels il est possible d'eectuer les opérations usuelles (addition, soustraction, multi- plication, division par un nombre non nul) et qui contient un nombre imaginaire i tel que i2=−1" signie plus précisément :
Il existe un ensemble de nombresE muni de deux opérations+et×tel que : 1. R⊂E
2. stabilité par addition :∀x∈E, ∀y∈E, x+y∈E
3. associativité de l'addition :∀x∈E, ∀y∈E, ∀z∈E, (x+y) +z=x+ (y+z) On peut alors écrire :x+y+z= (x+y) +z=x+ (y+z)
4. commutativité de l'addition :∀x∈E, ∀y∈E, x+y=y+x 5. 0 est l'élément neutre pour l'addition :∀x∈E, x+ 0 =x 6. existence d'un opposé :∀x∈E, ∃ −x∈E tel quex+ (−x) = 0
On peut alors dénir la soustraction pourx∈Eety∈Eparx−y=x+ (−y) 7. stabilité par multiplication :∀x∈E, ∀y∈E, x×y∈E
8. associativité de la multiplication :
∀x∈E, ∀y∈E, ∀z∈E, (x×y)×z=x×(y×z) On peut alors écrire :x×y×z= (x×y)×z=x×(y×z)
9. commutativité de la multiplication :∀x∈E,∀y∈E, x×y=y×x 10. 1 est l'élément neutre pour la multiplication :∀x∈E, x×1 =x 11. existence d'un inverse :∀x∈E, avecx6= 0,∃1
x∈E tel quex×1 x= 1 On peut alors dénir la division pourx∈E ety∈E, avecy6= 0, par x
y =x×1 y 12. distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :
∀x∈E, ∀y∈E, ∀z∈E, x×(y+z) =x×y+x×z 13. ∃i∈Etel quei2=−1
Dire lesquels parmi13critères précédents sont vrais lorsque l'ensembleEdésigne :
I L'ensembleNdes nombres entiers naturels (positifs ou nuls)
I L'ensembleZdes nombres entiers relatifs
I L'ensemble Q des nombres rationnels, c'est à dire ceux qui peuvent s'écrire sous la forme a
b aveca∈Z(entier relatif) etb∈N∗(entier naturel non nul)
I L'ensembleRdes nombres réels
I L'ensembleCdes nombres complexes Remarque :
Un ensembleE (pas nécessairement constitué de nombres) est appelé :
groupe commutatifs'il vérie les conditions2à6sur l'addition.
corps commutatifs'il vérie les conditions2à12sur l'addition et la multiplication.
Exercice 5:
L'objectif de cet exercice (partiellement résolu) est de démontrer que l'ensembleCdes nombres complexes est le plus petit ensemble de nombres qui est stable par addition, soustraction, mul- tiplication et division par un nombre non nul et qui contientReti.
Pour cela, il y a 7 propriétés à démontrer.
1. stabilité par addition
Propriété :
Siz∈Cetz0∈C, alors z+z0∈C En eet,supposons quez∈Cetz0∈C.
Par dénition deC:
I z∈Csignie qu'il existea∈Retb∈Rtels quez=a+ib
I z0∈Csignie qu'il existex∈Rety∈Rtels quez0=x+iy
On a alorsz+z0=a+ib+x+iy= (a+x) +i(b+y)aveca+x∈Retb+y∈R(car la somme de 2 nombres réels est un nombre réel)
Par dénition deC, cela prouve quez+z0∈C
Méthode :
Une implication est un énoncé de la forme "si A alors B", ce qu'on note aussi A⇒B (on lit "A implique B")
Pour démontrer qu'une implication "si A alors B" est vraie, on suppose que la condition A est vraie et on en déduit par une succession d'arguments logiques et d'autres propriétés que la condition B est vraie également.
Ainsi, pour utiliser une propriété "si A alors B", il ne reste plus qu'à vérier que, dans la situation considérée, la condition A est vraie (on valide ainsi la supposition qui a été faite pour démontrer l'implication) et on peut alors en déduire directement que la condition B est vraie également.
2. stabilité par soustraction
Écrire l'énoncé de la propriété puis la démontrer.
3. stabilité par multiplication
Écrire l'énoncé de la propriété puis la démontrer en s'inspirant du cas suivant.
4. stabilité par division
Propriété :
Siz∈Cetz0∈Cavec z06= 0, alors z z0 ∈C
En eet, supposons quez∈Cetz0∈C.
Par dénition deC:
I z∈Csignie qu'il existea∈Retb∈Rtels quez=a+ib
I z0∈Csignie qu'il existex∈Rety∈Rtels quez0=x+ix On a alors :
z
z0 = a+ib
x+iy = (a+ib)
(x+iy) = (a+ib)(x−iy)
(x+iy)(x−iy) =ax−iay+ibx−i2by x2−(iy)2
z
z0 =ax+by+i(bx−ay)
x2−i2y2 =(ax+by) +i(bx−ay)
x2+y2 = ax+by
x2+y2 +ibx−ay x2+y2
avec ax+by
x2+y2 ∈Ret bx−ay x2+y2 ∈R
(car on obtient des nombres réels en eectuant des multiplications, additions, soustrac- tions et divisions uniquement à partir de nombres réels)
Par dénition deC, on en déduit que z z0 ∈C
Astuce :
Pour obtenir la forme algébrique d'une fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
5. R⊂C
En eet, soitx∈R. On ax=x+ 0×iavecx∈Ret0∈Rdonc ,x∈C On a prouvé que∀x∈R, on ax∈C, ce qui signie bien queR⊂C
Méthode :
Pour démontrer qu'un ensembleAest inclus dans un ensembleB, on considère un élément quelconque x∈A et on prouve qu'on a aussix∈B
6. Justier quei∈Cen déterminant deux nombres réelsaetbtels quei=a+ib. 7. Cest le plus petit ensemble à vérier les 6 propriétés
En eet, soit E un quelconque ensemble de nombres vériant les 6 propriétés précé- dentes. On doit établir queC⊂E
Soitz∈C. Par dénition deC, il existea∈Retb∈Rtels quez=a+ib Ori∈EetR⊂E, donca∈E etb∈E.
D'après la stabilité deEpar multiplication, on aib∈E.
D'après la stabilité deEpar addition, on aa+ib∈E, c'est à direz∈E Finalement, on a prouvé que∀z∈C, on az∈E, et par conséquentC⊂E .
Méthode :
Une des manières de prouver une équivalence consiste à prouver successivement 2 impli- cations⇒et⇐.
Exercice 6:
L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème d'unicité de la forme algébrique (le théorème d'unicité des parties réelles et imaginaires n'en est qu'une reformulation)
Soienta∈R,b∈R,x∈Rety∈R
I ⇒Supposons quea+ib=x+iy
Nous allons raisonner en distinguant 2 cas et montrer que l'un de ces 2 cas est impossible cas 1 :b6=y
1. Vérier qu'on peut écrirei=x−a b−y
2. A quel ensemble de nombres appartient le membre de droite de l'égalité précédente ? 3. En déduire que le casb6=yest impossible.
cas 2 :b=y,
Vérier que dans ce cas on a biena=xetb=y
I ⇐Réciproquement, supposons quea=xetb=y. Que peut-on dire des nombres complexesa+ibetx+iy?
On a établit que sia+ib=x+iy, alorsa=xetb=y et réciproquement que sia=xet b=yalorsa+ib=x+iy. Cela prouve dont quea+ib=x+iy ⇔ a=xetb=y
Exercice 7:
1. Que peut-on dire à propos des nombres complexes9 + (5 + 2i)iet7 + 5i?
2. Pourquoi ne peut-on pas utiliser le théorème d'unicité de la forme algébrique pour en déduire que9 = 7et5 + 2i= 5?
Exercice 8:
Cet exercice d'entrainement au calcul n'a d'intérêt que s'il est réalisé sans calculatrice.
Elle peut toutefois être utilisée à la n de chaque calcul pour contrôler le résultat obtenu.
Déterminer les parties réelle et imaginaire des nombres complexes suivants (à donner sous forme simpliée) :
1. a= 5 3+9
6i− 3
4− 2 15i
2. b=10 3
3 4+5
2i
+ 21 8
35+−1 14i
3. c= 4
5− 2
15i −7 6+ 5i
4. d= (1−i) 5
12+1 6i
2
5. e= 1−i 5
12+1 6i
2
6. f=
√3i
√2 6 +5
3i
Exercice 9:
Cet exercice d'entrainement au calcul n'a d'intérêt que s'il est réalisé sans calculatrice.
Elle peut toutefois être utilisée à la n de chaque calcul pour contrôler le résultat obtenu.
Déterminer les parties réelle et imaginaire des nombres complexes suivants (à donner sous forme simpliée) :
1. a= 17 14−2i−
3 10+3
8i
2. b=4 7
28 3 −21
12i
−2 9
−2 + 3 10i
3. c= 1
2−9 7i 5
2−7 3i
4. d=
−5 18+ 4i
2 3i
Exercice 10:
f est la fonction deCdansCdénie parf(z) = (1−i)z2−(1−3i)z+ 4 Calculerf(i) ;f
1 i
etf 2−i
1 +i
Exercice 11:
d'après CCP 2011 On rappelle quej= −1 +i√
3
2 .
Soienta,betctrois nombres réels et les nombres complexes :
z1 =a+b+c z2=a+bj+cj2 z3=a+bj2+cj 1. (a) Calculerj3 et1 +j+j2
(b) Comparer 1
j,j2 et j
2. (a) Préciser les parties réelles et imaginaires de chacun de ces trois nombres complexes.
(b) Démontrer que ces trois nombres complexes sont réels si, et seulement si,b=c 3. (a) A quelle condition ces trois nombres complexes sont-ils égaux à un même réel ?
Déterminer en particuliera,b, etcde sorte que ces trois complexes soient égaux à 1
(b) Déterminer les valeurs des réels a, b etc pour lesquelles l'ensemble de ces trois nombres complexes est exactement l'ensemble{0; 1}
Exercice 12:
Résoudre les équations suivantes dansC 1. 5x+ 2 = 8x−10
2. 9x−2i= 7x+ 6 3. −2i+x
2 =x 3+ 3
4. (−2−i)x= 10 + 15i 5. 3x+ 4ix= 50
6. 6x−47−165i= 8ix+ 453 + 35i
Exercice 13:
Résoudre les équations suivantes dansC 1. x− 7
12= 13 17x+5
6 2. −2i+x
2 =x 3+ 3
3. 2x−27 + 58i= 3ix+ 12 + 6i 4. (−1 +i)(x+ 5) = 3x−2ix+ 6 + 4i
II
Conjugués et modules
Exercice 14:
Résoudre l'équationiz+ 4 = 3z + 2i
Indication : Poserz=x+iyavecx∈Rety∈Ret se ramener à la résolution d'un système
Exercice 15:
Résoudre l'équation(2−3i)z+ 5i= (1 +i)z −2
Exercice 16:
Calculer : 1. |4 + 4i|
2. |2 +i√ 12|
3.
4 + 4i 2 +i√
12 4. |(4 + 4i) + (2 +i√
12)|
III
interprétations géométriques
Même lorsque ce n'est pas demandé, il est recommandé de faire une gure pour contrôler la cohérence des résultats des calculs.
Exercice 17:
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé(O,−→u ,−→v), les pointsA,BetCont pour axes respectiveszA=−1 +i,zB =3
2− i
2 etzC= 1 + 3i.
Déterminer l'axe du point D tel que le la quadrilatèreABCDsoit un parallélogramme.
Exercice 18:
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé(O,−→u ,−→v), les pointsA,BetCont pour axes respectiveszA=−2 +i,zB = 3 + 3ietzC= 1 +11
5i.
1. Démontrer que les pointsA,BetCsont alignés.
2. Déterminer l'axe du point D tel que−−−→ AD =−2
7
−−→AB
Exercice 19:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé(O,−→u ,−→v) SoientAle point d'axezA= 3−2ietB le point d'axezB =−1 +i On considère un point variableM d'axez∈Cet de coordonnées(x;y)∈R2
1. Proposer une interprétation géométrique pour|z−3 + 2i|
2. En déduire, sans calcul, la construction de la représentation graphique de l'ensembleC des pointsM du plan dont l'axez∈Cvérie|z−3 + 2i|= 4
3. Proposer une interprétation géométrique pour|z+ 1−i|
4. En déduire, sans calcul, la construction de la représentation graphique de l'ensembleD des pointsM du plan dont l'axez∈Cvérie|z−3 + 2i|=|z+ 1−i|
5. Montrer que l'égalité|z−3 + 2i|=|z+ 1−i|est équivalente à une équation de droite liant les coordonnéesxety.
Contrôler la cohérence avec la représentation obtenue pour la droiteD.
6. Montrer que l'égalité|z−3 + 2i|= 4est équivalente à une équation de cercle liant les coordonnéesxety.
Contrôler la cohérence avec la représentation obtenue pour le cercleC.
Exercice 20:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé(O,−→u ,−→v)
1. Construire la représentation graphique de l'ensemble C des points M du plan dont l'axez∈Cvérie|z−5−2i|= 3.
Que peut-on dire de l'ensemble E des points M du plan dont l'axe z ∈ C vérie
|z−5−2i|63?
2. Construire la représentation graphique de l'ensemble D des points M du plan dont l'axez∈Cvérie|z−5−2i|=|z+ 3i|
Exercice 21:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé(O,−→u ,−→v)
On considère un point variableM d'axez∈Cet de coordonnées(x;y)∈R2 1. Exprimer la partie réelle du nombre z−3
z−3 + 4i en fonction dexety
2. En déduire une équation cartésienne de l'ensembleCdes pointsM tels que z−3 z−3 + 4i est un nombre imaginaire pur. Représenter graphiquement l'ensembleC.
Exercice 22:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé(O,−→u ,−→v)
Démontrer que l'ensemble des pointsM du plan dont l'axe z vérie |z|= z+ z est la réunion de deux demi-droites dont on donnera les équations.
Exercice 23:
Soitz∈C∗. On considère les pointsM d'axez,N d'axez2 etP d'axe 1 z.
1. En portant une attention particulière aux cas z = −1 ou z = 1, montrer que les points M, N et P sont alignés si, et seulement si, le nombre z+ 1
z2 est réel 2. Représenter graphiquement l'ensemble des pointsM d'axez∈C∗tels que les points
d'axesz,z2et1
z soient alignés.
IV
équations polynomiales
Exercice 24:
Méthode : Racines carrées d'un nombre complexe (sous forme algébrique) :
On cherche les racines carrées dez∈C.
Analyse
Supposons queu∈Cest un nombre complexe tel queu2=z Posonsu=x+iyavec x∈Rety∈R
1. Mise en équations :
(a) Calculer|z|, puis exprimer le module dez en fonction de xety (b) En déduire une équation de la formex2+y2=...
(c) Développer(x+iy)2.
(d) En utilisant l'unicité des parties réelles et imaginaires de z, en déduire deux équations de la formex2−y2=...et2xy=...
2. Résolution du système
x2+y2= |z|
x2−y2=Re(z) 2xy =Im(z)
(a) En considérant la somme puis la diérence membre à membre des 2 premières équations, déterminerx2 ety2
(b) A partir de la troisième équation, déterminer sixetyont des signes identiques ou contraires.
(c) En déduire les seules valeurs possibles du couple(x;y) Synthèse
On considèreu1=x1+iy1 etu2=x2+iy2 où (x1;y1)et(x2;y2)désignent les couples de nombres réels obtenus à l'issue de la partie "analyse".
1. Calculeru21 etu22
2. Conclure.
1. En suivant les étapes indiquées, retrouver les racines carrées du nombre complexe z= 5−12i.
2. En exploitant astucieusement les propriétés des conjugués, en déduire les racines carrées du nombre complexez0= 5 + 12i
3. En remarquant que i2 = −1, déterminer les racines carrées du nombre complexe z00=−5 + 12i
Méthode de raisonnement par analyse-synthèse :
Lesraisonnements par analyse-synthèses'emploient fréquemment pour déterminer les solutions d'un problème.
La partie analyse permet de réduire le nombre de solutions potentielles (dans certains cas, cela permet même de prouver l'unicité de la solution).
La partiesynthèse, souvent plus simple, est une vérication que les solutions potentielles qui ont été identiées conviennent (ce qui permet de prouver l'existence de solutions)
Exercice 25:
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe3 + 4i 2. En déduire les racines carrées de3−4i,−3−4iet−3 + 4i
Exercice 26:
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe0,21−0,2i 2. En déduire les racines carrées de2,1 + 2i,−2,1 + 2iet−2,1−2i
Exercice 27:
Méthode : factorisation d'un polynôme dont une racine est connue :
A partir d'un polynômeP et d'un nombre complexeαpour lequel on a vérié queP(α) = 0 1. Analyse (unicité du polynômeQ)
SoitQun polynôme tel queP = (X−α)×Q (a) Déterminer le degrén du polynômeQ
On peut donc poserQ=a0+a1X+a2X2+...+anXn oùa0,a1, ...,ansont des coecients complexes qui restent à déterminer.
(b) Développer et réduire le produit(X−α)×Q
(c) En utilisant le fait que les polynômesP et(X−α)×Qdoivent avoir les mêmes coecients, en déduire un système den+ 2équations dont lesn+ 1inconnues sonta0,a1, ...,an
(d) Résoudre le système pour déterminer les valeurs dea0,a1, ...,anet en déduire l'expression du seul polynômeQpossible
2. Synthèse (existence du polynômeQ)
En considérant le polynôme Qobtenu à la n de la partie "analyse", vérier que (X−α)×Q=P
Application :
On poseP = 2X3−2X2−28X+ 48
CalculerP(2)et en déduire une factorisation deP Remarque :
Si on considère que l'énoncé du théorème de factorisation (admis) est able, l'existence du polynômeQn'a pas besoin d'être démontrée et la partie "synthèse" est facultative.
Il est toutefois judicieux de l'eectuer car le calcul est beaucoup plus simple que ceux de la partie "analyse", ce qui peut permettre de repérer une éventuelle erreur de calcul.
Exercice 28:
SoitP un polynôme à coecients réels.
Lobjectif de cet exercice est de démontrer l'implication : Siu∈Cest une racine deP alors u est aussi une racine deP. Soientn∈Neta0∈R,a1∈R, ... ,an∈R
On considère le polynômeP =a0+a1X+a2X2+...+anXn Soitu∈Cune racine deP
1. Que vautP(u)?
2. En s'appuyant sur les règles de calcul sur les conjugués, montrer queP(u ) =P
u
3. En déduire que u est une racine deP
Exercice 29:
On considère l'équation polynomiale2x3+ 8x2−14x−20 = 0
1. Recherche d'une solution "évidente" : tester les valeurs0,1et−1 2. En déduire une factorisation du membre de gauche de l'équation
3. Résoudre l'équation dansR(c'est à dire en déterminant toutes les solutions réelles)
Exercice 30* :
On considère le polynômeP =X4−3X3−29X2+ 75X+ 100 1. CalculerP(2 + 3i)
En déduire deux racines deP 2. En déduire une factorisation deP 3. Déterminer toutes les racines deP
Exercice 31:
Déterminer l'ensemble des solutions complexes des équations suivantes : 1. 5z2+ 7z+ 11 = 2z2+ 13z+ 200
2. z2−z−1 = 0(une des solutions est le nombre d'or) 3. z2+z+ 1 = 0(une des solutions est généralement notéej) 4. z2+ (3 +i)z−16 + 15i= 0
Exercice 32:
Résoudre les équations suivantes dansC: 1. z2+ 14z−1 = 0
2. 3z2−18z−48 = (30z−90)i 3. z2−5
6z+2 9= 0 4. iz2−√
5z−3 = 0
Exercice 33* :
On considère l'équationz4−6z3+ 14z2−24z+ 40 = 0
1. Justier que si un nombre imaginaire pur est solution de cette équation, alors sont opposé aussi.
2. Déterminer deux solutions imaginaires pures de cette équation.
3. Résoudre l'équation.
4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé(O,−→u ,−→v), placer les points dont les axes sont les solutions obtenues précédemment puis démontrer que les 4points sontcocycliques, c'est à dire situés sur un même cercle, dont on déterminera le centre et le rayon.
Exercice 34* :
L'usage de la calculatrice est autorisé 1. équation bicarré
En commençant par posert=z2, résoudre dansCl'équationz4−13z2−1764 = 0 2. polynôme à coecients symétriques
On souhaite déterminer les racines du polynômeP =X4+ 2X3−6X2+ 2X+ 1 (a) Vérier que0n'est pas une racine deP
(b) Vérier qu'on obtient une équation du second degré enten eectuant le changement d'inconnuet=x+1
x dans l'équation P(x) x2 = 0.
(c) Résoudre l'équation d'inconnuetainsi obtenue, puis en déduire les racines du po- lynômeP
3. trois monômes de degrés consécutifs
Déterminer les racines du polynômeP =X2021+ (1−i)X2020−iX2019
Exercice 35:
On considère le polynômeP =X3+ (3−i)X2+ (2−3i)X+ 6 1. CalculerP(−i)
2. En déduire une factorisation deP 3. Déterminer toutes les racines deP
Exercice 36:
On considère le polynômeP =X3−(1 +i)X2+ (7−24i)X−31 + 17i 1. CalculerP(1 +i)
2. En déduire une factorisation deP 3. Déterminer toutes les racines deP
Exercice 37:
Dans cet exercice, il est nécessaire de distinguer le couple(a;b)qui est la liste ordonnée des élémentsaetbet l'ensemble{a;b}qui contient les élémentsaetb(peu importe l'ordre).
Pour les couples, on a :(a;b)6= (b;a) puisque l'ordre change, tandis que pour les ensembles ; on a :{a;b}={b;a}puisque l'ordre n'a aucune importance.
Dans le cas particulier oùb = a, le couple s'écrit(a;a) tandis que l'ensemble ne comporte qu'un seul élément et s'écrit{a}
1. Soients∈Cetp∈C On considère le système(E)
x+y=s
x×y=p dont les équations dénissent la somme et le produit des inconnuesxety
On considère également le polynômeQ=X2−sX+p
(a) Justier que(a;b)est un couple de nombres complexes solution du système(E)si, et seulement si, le couple(b;a)est solution du système(E)
(b) Développer le polynôme(X−a)(X−b)
(c) Montrer que(a;b)est un couple de nombres complexes solution du système(E)si, et seulement si, l'ensemble{a;b}est l'ensemble des racines du polynômeQ 2. Résoudre les systèmes suivants :
(a)
x+y=5
x×y=6 (b)
x+y=i x×y=2
V
Signe d'une fonction polynomiale à coecients réels
Exercice 38:
A l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe des expressions suivantes : 1. 6−2x
10−5x 2. −5(2x+ 9)
3x−15
2
2−x 7
Exercice 39:
On considère :
I la fonction anef1 dénie surRparf1(x) =−2 5 x+4
3
I la fonctionf2 dénie surRparf2(x) =e4x+1−3
I la fonctionf3 dénie surRparf3(x) = ln(0,75 +x2)
L'objectif de cet exercice est de comparer les ecacités respectives des deux principales mé- thodes pour étudier le signe d'une fonction.
Pour chacune des trois fonctionsfiaveci∈ {1; 2; 3}:
1. Résoudre l'inéquationfi(x)>0et en déduire le tableau de signes de la fonctionfi
2. Résoudre l'équationfi(x) = 0et déterminer le sens de variation de la fonctionfi, puis en déduire le tableau de signes de la fonctionfi
Exercice 40:
Résoudre les inéquations suivantes : 1. −2x2 − 6x + 56 > 0 2. 2x2+x+ 2<0
3. 9x2+ 6x+ 1>0 4. x3−x2−2x60
Exercice 41:
Résoudre les inéquations suivantes : 1. (2x+ 1)26(4x+ 8)2
2. (x−3)4>(x−3)3(3x+ 7)
3. x2−25< x(2x−10) 4. x3−8>0
Problème 42:
La formule de Cardan
Les italiens Niccolo Tartaglia (1499-1557) et Jérôme Cardan (1501-1576) sont les premiers mathématiciens connus à avoir proposé une méthode générale permettant de ramener les ré- solutions d'équations du troisième degré de la forme
x3=px+q
(oùpetqsont deux nombres réels) à des résolutions d'équations du second degré.
On peut démontrer qu'une telle équation admet toujours au moins une solution. Toutefois dans certains cas, l'application de la méthode était interrompue car cela conduisait à une équation du second degré n'admettant pas de solution réelle. C'est pour passer outre cette diculté qu'a été introduit le calcul avec les nombres complexes. Les solutions nalement obtenues étaient des nombres réels pour lesquels il était facile de vérier qu'il s'agissait eectivement des solutions, sans recourir à ces nouveaux nombres complexes qui suscitaient la méance à l'époque.
Partie A : méthode de Cardan pour la détermination d'une première solution
Cette résolution d'équation revient à déterminer les racines de la fonction polynomialefdénie surRparf(x) =x3−px−q.
1. On considère un nombre réeluvariable, et on posev=x−u.
(a) Démontrer quex3−px−q=u3+v3+ (3uv−p)(u+v)−q
(b) Si on suppose qu'on a obtenu un couple(u0;v0)solution de l'équation à deux in- connuesu3+v3+ (3uv−p)(u+v)−q= 0, quelle racine defpeut-on en déduire ? 2. Tout couple solution du système(S)
u3+v3+ (3uv−p)(u+v)−q=0
3uv−p =0 est en par-
ticulier un couple solution de l'équationu3+v3+ (3uv−p)(u+v)−q= 0 (a) Justier que le système(S)est équivalent au système
u3+v3=q u3v3 =p3
27 (b) On noteδune racine carrée complexe du nombreq2−4p3
27. Exprimeru3 etv3 en fonction dep,qetδ.
(c) En déduire l'expression d'une racine def dans le casδ∈R
Partie B : Applications 1. On considère l'équation
(E1) x3= 18x+ 35
(a) Déterminer une solution de cette équation en utilisant la méthode de Cardan (b) Factoriser le polynôme associé à cette équation, puis en déduire toutes les solutions
de cette équation.
2. On considère l'équation
(E2) x3= 15x+ 4 (a) Calculer(2 +i)3
(b) Proposer au moins une racine cubique complexe pour chacun des nombres com- plexes2 + 11iet2−11i
(c) Déterminer une solution de l'équation(E2)en utilisant la méthode de Cardan (d) En déduire toutes les solutions de l'équation(E2).
3. On considère l'équation
(E3) 4x3+ 120 = 24x2+ 4x
(a) Montrer que l'équation(E3)est équivalente à une équation de la forme4×P(x) = 0 oùP est une fonction polynomiale que l'on déterminera.
(b) Développer(x−2)3
(c) La ressemblance entre le début du développement de(x−2)3 et l'expressionP(x) conduit à poser le changement d'inconnuet=x−2.
Montrer que la résolution de l'équation(E3)se ramène alors à la résolution de (E4) t3= 13t−12
(d) Calculer
−2 + 1
√3i 3
(e) Proposer au moins une racine cubique complexe pour chacun des nombres com- plexes−6 + 35
3√
3iet−6− 35 3√
3i
(f) Déterminer une solution de l'équation(E4)en utilisant la méthode de Cardan (g) En déduire toutes les solutions de l'équation(E4).
(h) En déduire toutes les solutions de l'équation(E3)