Contrôle terminal UE 3 partie didactique Corrigé
Lundi 9 janvier 2012 : 13h 30 - 15h30
REMARQUES
Attention : il faut améliorer l’orthographe et la grammaire notamment l’accord des pluriels et ceux des participes passés.
Pour les exercices 1 et 2, dites ce que les élèves font et non ce qu’ils devraient faire.
Répondez aux questions notamment quand on demande quelles conceptions, quelles règles.
Pour l’exercice 2, quand les élèves utilisent les propriétés de linéarité, c’est bien de la proportionnalité, ces propriétés ne sont valides que parce que l’on a une situation de proportionnalité. Vous confondez les outils (tableaux, produit en croix) et le concept.
Pour l’exercice 3, indiquez ce que vous devez démontrer, c’est – à – dire que la troisième médiane passe aussi par G. Une démonstration de niveau collège ne peut utiliser les vecteurs (ni à fortiori le barycentre).
Pour l’exercice 3, attention à la confusion médiane/médiatrice.
Pour les exercices 5 et 6, il faut prendre connaissance des programmes.
Exercice 1 (3 points : 1,5 par élève)
Julie : on peut supposer (car elle ne l’explicite pas complètement) qu’elle considère un décimal comme deux nombres ; elle compare les parties entières qui sont les mêmes, puis les parties décimales qu’elle ordonne comme les entiers qui les composent : 1<4<14. Sa réponse est fausse. Elle applique donc les règles des entiers à chaque partie du décimal sans tenir compte de la position du chiffre dans l’écriture.
Wahil : il ajoute des zéros à l’écriture décimale pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule (ici deux chiffres à cause du 3,14), et il compare ensuite les nombres avec ces écritures sans l’expliciter clairement. Sa réponse est juste ainsi que sa procédure.
Exercice 2 (7 points)
1- Quelle est la notion travaillée dans cet exercice ? 0, 25 Quelle particularité comporte cet énoncé ? 0,5
La notion est la proportionnalité.
Pour une particularité, deux réponses possibles :
- il n’est pas indiqué qu’il y a proportionnalité, ce qui n’est pas évident dans cette situation (moins commun que des prix par exemple …)
- on donne deux couples de mesure pour signifier la proportionnalité : il y a surabondance de données.
2- a) Quelles procédures sont attendues par le professeur qui a posé cet exercice ? 2, 25 points
A cause des nombres choisis, le professeur attend une procédure de linéarité additive pour la question 1 : 14 m = 10m + 4m
Il attend une procédure de linéarité multiplicative pour la question 2 : 50 livres = 2 x 25 livres ou 5 fois 10 livres.
Il attend une procédure de linéarité soustractive pour la question 3 : 6m = 10 m – 4m.
b) Proposer deux autres questions permettant de faire apparaître d’autres types de procédures 1 point
Toutes les questions pour lesquelles il faut utiliser le coefficient de proportionnalité ou la recherche de
l’unité. Par exemple, la longueur de papier pour emballer un livre, ou alors le nombre de livres qu’on peut emballer avec 102 mètres de papier..
3- Étudier les productions de ces trois élèves en mettant en évidence les types de procédures utilisées, pertinentes ou non. On analysera les erreurs éventuelles. 3 points (1 par élève) MARIA : pour 1, sa procédure (linéarité additive) est correcte et son résultat aussi, mais elle se trompe dans la réponse où elle reprend la question.
Pour 2 : elle décompose 50 livres en paquets de 10 et calcule le nombre de mètres par multiplication : procédure (linéarité multiplicative) et réponse correcte.
Pour 3 : elle décompose encore de façon additive 6m en 4m + 2m, mais comme elle ne connaît pas le nombre de livres pour 2m, elle revient à la procédure erronée d’ajouter le même nombre aux livres.
LAURENE : pour 1, sa procédure (linéarité additive) est juste ainsi que sa réponse.
Pour 2, elle utilise encore la linarité additive (en ajoutant les mêmes nombres). Procédure et réponse correctes.
Pour 3 : on peut supposer qu’elle cherche pour 2m car elle a décomposé 6 en 4+2. Procédure compliquée car elle cherche pour 2m une première fois et ensuite l’enlève à 4m. Elle trouve qu’elle doit avoir 5 livres en soustrayant également. Sa réponse est juste.
YANN : pour 1, il utilise la même procédure additive que Maria et Laurène, sans l’expliciter. Sa procédure et sa réponse sont correctes.
Pour 2, il veut utiliser encore la linéarité additive donc il décompose 50 (livres) mais avec des 4 mètres et il reste 2m. Ensuite, il fait correspondre à 4m 10 livres et donc à 2m 5 livres qu’il traduit en mètres. Sa procédure pourrait être correcte s’il n’avait fait une confusion entre les grandeurs.
Sa réponse est fausse.
Pour 3, il décompose 6 m en 4m+2m (linéarité additive), puis sans l’expliciter il fait correspondre à 2 mètres 5 livres (car 2 = 1
2 2 et 10 = 1
2 5), en utilisant donc une procédure de linéarité multiplicative, et enfin il trouve le nombre de livres correspondant. Sa procédure et sa réponse sont corrrectes.
Exercice 3 (3,5 points : 2,5 points sur la démonstration et 1 point pour le niveau justifié)
1) Dans le triangle ABC, on note A’ et B’ lesmilieux respectifs de [BC] et [AC], et G le point d’intersection des médianes (AA’) et (BB’).
Soit I le milieu de [AG] et J le milieu de [BG].
Le théorème des milieux dans le triangle ABG montre que (IJ) est parallèle à (AB) avec IJ = 1
2 AB.
De même, le théorème des milieux dans le triangle ABC montre que (A’B’) est parallèle à (AB) avec A’B’ = 1
2 AB.
On en déduit que (IJ) est parallèle à (A’B’) et IJ = A’B’ : ainsi, IJA’B’ est un parallélogramme.
Le centre G de ce parallélogramme est le milieu de [IA’]
D’où : GA’ = GI, et comme GI = IA, alors : GA’ = 1 3 AA’.
Si on note G’ le point d’intersection des médianes (AA’) et (CC’), le même raisonnement montre que : G’A’ = 1
3 AA’.
Ainsi : G’A’ = GA’, avec G et G’ appartenant au segment [AA’], donc G = G’.
Les trois médianes sont donc concourantes en ce point G.
2) Les connaissances utilisées sont : le théorème des milieux, les propriétés du parallélogramme et celles relatives au milieu d’un segment.
Cet exercice peut donc être proposé en classe de quatrième (avec des indications …).
Exercice 4 (3 points : 1 point par temps)
Proposition d’organisation de l’enseignement de la grandeur « aire » en classe de sixième.
Trois temps dans l’organisation cet enseignement : 1) Comparer des aires.
On construit la grandeur « aire » à partir des objets géométriques.
On définit d’abord l’égalité de deux aires : deux figures ont la même aire si, en découpant une des figures, on peut reconstituer l’autre exactement.
Puis on compare les aires : le découpage permet la comparaison.
Puis on construit des figures d’aire deux fois plus grande, trois fois plus grande …, ou sa moitié …
2) Mesurer une aire.
Mesurer une aire, c’est choisir une aire unité, et être capable de dire combien de fois cette aire unité est contenue dans l’aire à mesurer.
Choix de l’aire unité : c’est en général le carré de 1m de côté, ou le carré de 1cm de côté.
Méthode de mesure : pour trouver la mesure de l’aire d’une figure, il faut savoir combien de carrés unités peuvent la recouvrir, sans se chevaucher, avec la possibilité d’en découper (on utilise souvent un quadrillage).
3) Calculer une aire.
On trouve des formules pour l’aire du rectangle, puis l’aire du triangle rectangle.
On peut alors utiliser les formules pour déterminer l’aire de polygones.
On travaille aussi sur la formule de l’aire du disque.
Exercice 5 (2, 5 points )
1) Exemples de grandeur quotient et de grandeur composée. 0, 5 par grandeur et 0,25 par niveau
Grandeur quotient : la vitesse, quotient de la grandeur « longueur » par la grandeur
« durée ».
D’autres grandeurs quotients : la masse volumique, la consommation moyenne, la vitesse angulaire, la densité de population …
Les grandeurs quotients sont abordées en classe de quatrième.
Grandeurs composées : le trafic de marchandises (en t - km), l’énergie électrique par habitant (en KWh/hab), le débit – volume (en m3/s), le prix unitaire de l’énergie électrique, en
(€/KWh).
Les grandeurs composées sont abordées en classe de troisième.
2) Ces grandeurs présentent des difficultés supplémentaires par rapport aux autres grandeurs étudiées auparavant par les élèves : (1 point : 2 fois 0,5)
On ne peut pas les « manipuler » (contrairement aux grandeurs « longueur », « aire », volume » …)
Elles posent le délicat problème des unités, et en particulier de la conversion.
Comment convertir des m/s en km/h ?
Exercice 6 (1point : 2 fois 0,5)
Les deux grands objectifs du programme de seconde sur les fonctions sont :
Savoir étudier un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k et savoir le résoudre dans le cas où la fonction est donnée ;
Savoir étudier un problème d’optimisation ou un problème du type f(x) > k et savoir le résoudre.
