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Interpolation de points par des splines L1 régulières
Philippe Auquiert
To cite this version:
Philippe Auquiert. Interpolation de points par des splines L1 régulières. Mathématiques [math].
Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, 2007. Français. �NNT : 2007VALE0051�.
�tel-03001600�
N° d'ordre : 07/17
UNIVERSITE DE VALENCIENNES
ET DU HAINAUT-CAMBRESIS
LAMA V
Laboratoire de mathématiques et de leurs applications de Valenciennes
Doctorat
MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Philippe AUQUIERT
INTERPOLATION DE POINTS
PAR DES SPLINES L
1
REGULIERES
Soutenue le 20 décembre 2007
Jury
Examinateurs : Bernhard BECKERMANN, Professeur, Université Lille 1
Albert COHEN, Professeur, Université Paris 6
Michel FLIESS, Directeur de recherches, Ecole Polytechnique Christian GOUT, Professeur, Université de Valenciennes
Rapporteurs: Marie-Laurence MAZURE, Professeur, Université de Grenoble
Paul SABLONNIERE, Professeur, INSA de Rennes
Directeurs de Thèse: Gudrun ALBRECHT, Professeur, Université de Valenciennes Olivier GIBARU, Maître de Conférences H.D.R., ENSAM de Lille
N° d'ordre: 07/17
UNIVERSITE DE VALENCIENNES
ET DU HAINAUT-CAMBRESIS
LAMA V
Laboratoire de mathématiques et de leurs applications de Valenciennes
Doctorat
MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Philippe AUQUIERT
INTERPOLATION DE POINTS
PAR DES SPLINES L
1
REGULIERES
Soutenue le 20 décembre 2007
Jury
Examinateurs : Bernhard BECKERMANN, Professeur, Université Lille 1
Albert COHEN, Professeur, Université Paris 6
Michel FLIESS, Directeur de recherches, Ecole Polytechnique Christian GOUT, Professeur, Université de Valenciennes
Rapporteurs : Marie-Laurence MAZURE, Professeur, Université de Grenoble
Paul SABLONNIERE, Professeur, INSA de Rennes
Directeurs de Thèse : Gudrun ALBRECHT, Professeur, Université de Valenciennes Olivier GIBARU, Maître de Conférences H.D.R., ENSAM de Lille
"Ce sont les femmes qui font les hommes."
Georges Prêtre
à Joëlle,
à
Benoît, Céline et Graziella,
à
mes parents,
Remerciements
En premier lieu, je tiens à remercier Gudrun Albrecht et Olivier Gibaru d'avoir accepté d'encadrer mon travail de recherche. Leur enthousiame, leur disponibilité et surtout leur confiance m'ont permis de vivre des moments très forts au gré de l'avancement de cette thèse.
Je remercie le laboratoire L2MA de l'ENSAM de Lille pour son accueil et les conditions matérielles offertes. Plus particulierement, Eric Nyiri, avec Olivier Gibaru ils ont passé beaucoup de temps avec moi pour travailler sur cette thèse.
Je remercie vivement Marie-Laurence Mazure et Paul Sablonnière d'avoir accepté d'être les rapporteurs de ce travail. Leurs remarques pertinentes ont été à l'origine de très nombreuses améliorations.
J'adresse ma gratitude à Bernhard Beckermann, Albert Cohen, Michel Fliess et Christian Gout pour m'avoir fait l'honneur d'examiner cette thèse et participer au jury.
Je remercie aussi le laboratoire de mathématiques et de leurs applications de Valenciennes pour les conditions de travail que j'y ai trouvées.
Enfin merci à tous ceux qui m'ont soutenu pour que ce travail puisse aller à son terme, à tous les membres du LAMAV de l'université de Valenciennes et du L2MA de l'ENSAM de Lille.
Table des matières
Introduction 5
1 Les L1-splines cubiques interpolantes C1 de J. E. La very 7
1.1 Fonctions LP-splines cubiques interpolantes C1 0 0 0 0 0 0 0 9
1.2 Fonctions L1-splines cubiques interpolantes C1 0 0 0 0 0 0 0 12
1.3 P-Splines cubiques interpolantes
C\
linéarité et convexité 14 1.4 Splines cubiques paramétriques interpolantes C1 en dimension 2 et 3 142 L1-Splines cubiques interpolantes C1 et fonctions de type Heaviside 19
201 Configurations de base 0 . 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . o 0 0 0 . 0 0 o o 0 0 23 201.1 Cas de deux points distincts 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 201.2 Cas de trois points distincts alignés, une des tangentes étant imposée o 25 2olo3 Cas de trois points distincts quelconques 0 0 0 o 0 0 o 0 0 0 o 0 0 o o o 0 27 202 Configuration de points de type Saff et Tashev ou Zhang et Martin 0 0 o 0 0 o 29 20201 Cas den points distincts parmi lesquels n-1 points consécutifs sont alignés (n
>
3) 29 20202 Cas d'un ensemble de n points distincts dont n-1 sont situés sur deux demi-droitesparallèles 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 30 203 Configuration de type Heaviside 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o 0 0 o o 0 0 o o 32 20301 Cas de quatre points, dont deux sur chacune des demi-droites du graphe de 8 o 32 20302 Ajoutons un point sur une des deux demi-droites du cas précédent o 0 0 o o o 0 37 20303 Cas de deux ensembles de trois points appartenant respectivement à chacune des
demi-droites du graphe de
e
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 41 203.4 Configuration de points de type Heaviside o 0 o . 0 o . o 0 0 o 45 20305 Convergence en norme LP 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 . . . . 0 . 46 2.4 Evaluation sur des exemples de la méthode numérique de résolution 46 205 Conclusion . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . 0 .. 0 . . . . 0 0 0 483 LP-Splines polynomiales interpolantes paramétriques (p ~ 1) 49
3.1 LP-Splines cubiques paramétriques interpolantes C1 (1 :::;
p:::;
+oo) 513.2 L1-Splines cubiques paramétriques interpolantes C1 . . . . 55
3.3 LP-Splines cubiques paramétriques interpolantes G1 (1:::;
p:::;
+oo) 573.4 L1-Splines cubiques paramétriques interpolantes G1 . . . . 58
3.5 Les L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes interactives . 59
306 Les L1-splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes indépendantes 62
3. 7 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée seconde à composantes interactives 63
3.8 Les v-splines . 0 . . . 0 . 0 0 . 0 . . . 65 3.9 Exemples de P-splines cubiques paramétriques interpolantes 65 3.10 Problème de l'invariance par rotation des cubiques 0 . . . 67 3.10.1 L1-Splines cubiques paramétriques interpolantes C1 . 67
3.10.2 L1-Splines cubiques paramétriques basées sur la dérivée première à composantes
in-teractives . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 . . 0 . . . 0 o o .. 0 71 3010.3 L1-Splines cubiques paramétriques basées sur la dérivée première à composantes indépendantes 77 3.10.4 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée seconde à composantes interactives 81 3011 Choix de paramétrisation et convexité . . .
4
1
3.11.1 Etude de S(X, Y)= /_'1.
II(Y-
X)+ 6t (X+Y)ll
1 dt.2
3.11. 2 Cas de 3 points distincts quelconques . . . . . 3.12 LP-Splines quintiques interpolantes C2 (1 :::; p :::;
+oo) .
3.13 P-Splines quintiques interpolantes C2 • • • • • • . • •
3.14 Les r-splines . . . .
3.15 Exemples de splines quintiques paramétriques interpolantes C2
3.16 Problème de l'invariance par rotation des quintiques
3.17 Conclusion . . . .
TABLE DES MATIÈRES
88 88 90 92 93 94 95 100 A Programmes Mathematica 101
A.1 Primal affine pour minimisation L1 . . . 103
A.2 L1-Splines cubiques interpolantes C1 : détermination des vecteurs Ti 103
A.3 L1-Splines cubiques interpolantes G1 : détermination des Œt . . . . • 103 A.4 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes interactives : détermination
des vecteurs Ti . . . 104 A.5 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes indépendantes : détermination
des vecteurs
Ti . . . . . . . .
104 A.6 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée seconde à composantes interactives : déterminationdes vecteurs Ti . . . . 105 A.7 L1-Splines quintiques interpolantes C2 : détermination des vecteurs Tt et Mt 105
A.8 Invariance par rotation . . . 106 A.8.1 P-Splines cubiques interpolantes C1 : détermination des vecteurs Tt . 106 A.8.2 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes interactives : détermination
des vecteurs 7i . . . . 107 A.8.3 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes indépendantes :
détermination des vecteurs Tt . . . 108 A.8.4 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée seconde à composantes interactives : détermination
des vecteurs Tt . . . . 109 A.8.5 L1-Splines quintiques interpolantes C2 : détermination des vecteurs Tt et Mt . 110
B Détails des calculs du chapitre 2 113
1
B.1 EtudedeS(x,y)= j_'1.i(y-x)+6t(x+y)idt... 115 2
B.2 Cas de trois points alignés, une des tangentes étant imposée . 118 B.3 Le cas de quatre points, dont deux sur chacune des demi-droites du graphe de 8 122 B.4 Ajoutons un point sur une des deux demi-droites du cas précédent . . . . . . . 130 B.5 Le cas de six points, dont trois sur chacune des demi-droites du graphe de 8 136
C Détails des calculs du chapitre 3 141
C.1 LP-Splines cubiques interpolantes C1 (1 :::; p :::; +oo) 143
C.1.1 Existence de la LP-Spline cubique interpolante C1 143
C.1.2 Contre exemple pour la non stricte convexité . . . 147 C.2 LP-Splines cubiques interpolantes G1 (1:::;
p:::;
+oo) . . . 148C.3 P-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes interactives 150 C.4 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes indépendantes 152
C.5 invariance par rotation . . . 153 C.5.1 L1-Splines cubiques interpolantes C1 . . . . 155
C.5.2 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes interactives 155
C.5.3 L1-Splines cubiques basées sur la dérivée première à composantes indépendantes 157 C.6 LP-Splines quintiques interpolantes C2 (1 :::;
p:::;
+oo) . 158C.7 L1-Splines quintiques interpolantes C2
. . . • . • . . . • • • . . • • . . . • • . . 162
Introduction
Lors de la modélisation de pièces mécaniques (par exemple les aubages des moteurs Vulcain d'Ariane 5) ou le calcul de trajectoires de systèmes dynamiques commandés [1], il est nécessaire d'interpoler ou d'approcher des données discrétisées par des courbes préservant la forme de ces données. Cette étude fait l'objet de nombreuses publications [25], [37], [42], [66], [26], [39], [28], [14]. Par exemple, il a été envisagé cette propriété de préservation de forme par l'utilisation des courbes polynomiales, des courbes splines [20], [74], [41], [4], [36], [12], [15], des courbes rationnelles [40], [5],[20], [22], [38], [43], des courbes définies par l'utilisation des systèmes de Tchebychev de différents types [16], [59], [60] et les courbes issues d'algorithmes de subdivision [54], [67].
En particulier, les splines polynomiales sont à la base d'un grand nombre de procédés d'interpolation et d'approximation (de Boor [19], Farin [27], Schumaker [73], Goodman [35], Spath [75], [70]). Elles se prêtent bien au calcul sur ordinateur car leurs coefficients peuvent facilement être déterminés.
Les splines polynomiales les plus usitées, appelées splines L2, sont obtenues par minimisation de la norme
L2 de leur dérivée seconde ou d'une de leurs dérivées d'ordre supérieur. La norme L2 a été privilégiée car elle conduit à un problème de minimisation qui est linéaire. Cependant, les différents exemples montrent qu'elles ne préservent pas toujours la forme des données dans le cas d'une variation brusque des ordonnées des points d'interpolation. Différentes techniques ont été développées pour améliorer la préservation de forme de ces données : ajustement de la position des noeuds, ajout de noeuds, ajout de coefficients de tension (Nielson [64], [65] et Foley [31]).
Quelques investigations ont été menées sur l'interpolation ou l'approximation polynomiale en norme V
(1 ~ p ~ +oo et p =/= 2) : par exemple Fisher et Jerome [29] et [30], de Boor [18], Copley et Schumaker [10] et Pinckus [69].
Dans [29], [18] et [69], les auteurs ont étudié en détail dans le cas de l'espace de Sobolev wm,l (I) (avec I
intervalle fermé borné deR), une classe de splines L1 d'interpolation solutions d'un problème de minimisation
de la norme L1 de leur dérivée d'ordre n. Ce problème n'admet pas en général toujours de solutions. Par
contre, ils montrent qu'il existe une solution sous forme de splines polynomiales de degré n- 1, de classe
cn-
2 (I) à ce problème. Cette solution pour n=
2 coïncide avec l'interpolant linéaire classique. Ceci neprésente pas un grand intérêt pour le design géométrique.
Des travaux plus récents concernant les splines polynomiales en norme L1 ont été réalisés par Lavery et
ses collaborateurs. Dans [45], Lavery montre l'existence des fonctions LP-splines cubiques interpolantes C1
dans le plan. Ce sont des splines polynomiales par morceaux avec raccord C1 obtenues par minimisation
de la norme LP de leur dérivée seconde. Sur quelques exemples, il remarque que les splines cubiques L1
interpolantes C1, contrairement aux splines L2 ou L00, ont un bon comportement en termes d'oscillation et
de préservation de la forme des données dans le cas de changements brutaux d'ordonnées.
De plus, ces splines polynomiales cubiques ne semblent pas présenter d'oscillation lors de l'interpolation de points situés sur le graphe d'une fonction de type Heaviside. L'étude des oscillations des splines polynomiales n'a fait l'objet que de quelques publications. Dans [45], [46], [47], [48], [49], les auteurs dressent quelques constats expérimentaux sur ces oscillations. Dans le cas L2, Zhang et Martin [78] ont montré que pour
une répartition uniforme des noeuds, de pas h, la spline cubique L2 interpolante converge en norme V
(1
~
p<
+oo) en 0 (h~)
et qu'elle oscille au point de discontinuité de la fonction. De plus, lorsque h tend vers 0, l'amplitude maximale d'oscillation est infériegre à 4%. Cette amplitude décroît exponentiellement6 INTRODUCTION lorsque l'on s'éloigne de la discontinuité. Dans [72], Saff et Tashev, pour une classe de fonctions discontinues en x = 0, ont montré que la meilleure approximation en norme LP par des lignes polygonales avec 2n
+
1 noeuds répartis uniformément sur [-1, 1] présente un phénomène de Gibbs lorsque l'on fait tendre n vers +oo pour p>
1. De plus, ils ont établi que l'amplitude de l'oscillation est une fonction décroissante de pet qu'elle tend vers zéro quand p tend vers 1.Dans le cas de l'interpolation de Lagrange par des splines cubiques avec espacement uniforme des points, des oscillations se produisent pour des changements brusques de direction dans les données. Pour y remédier, Mazure propose une approche originale basée sur l'utilisation de matrices de connexions. Pour appliquer des effets de forme, elle propose un cadre théorique basé sur l'introduction des espaces de Chebychev généralisés [57] ou Quasi espaces de Chebychev généralisés [58] s'appuyant sur les splines sous tension [53] ou les splines polynomiales à degré variable [11], [12]. Elle envisage aussi la combinaison de ces deux méthodes pour atténuer de façon très sensible les oscillations tout en appliquant des effets de forme.
Créer des interpolants préservant la monotonie et/ou la convexité des données arbitraires sur un inter-valle borné est un problème important en géométrie de la CAO [20], [21], [22], [55], [24], [56]. Par exemple dans [62], [63], Merrien et Sablonnière utilisent les interpolants d'Hermite C1 définis sur [0, 1] par l'al-gorithme de subdivision introduit par Merrien [61], qui dépend de deux paramètres a et {3. Pour tout système {y0 , yb, Yb YD de données aux extrémités de l'intervalle, ils montrent l'existence de couples (a, {3),
où
f3
E [-1, 0] et a=
4(
1
~
{3), pour lesquels la construction d'interpolants monotones ou convexes est toujours possible. Ils décrivent de plus les deux algorithmes correspondants.Les splines L1 polynomiales nous ont séduit par l'aptitude qu'elles semblent avoir à préserver la forme
des données. Les courbes obtenues sont très proches de ce que l'on tracerait "naturellement à la main". C'est pourquoi, dans le chapitre 1, nous reprennons en les critiquants les contenus des articles de Lavery qui sont le point de départ de notre travail de thèse.
Dans le chapitre 2, nous prouvons pour un nombre suffisant de points d'interpolation, l'absence d'oscilla-tions pour les L1-splines cubiques interpolantes C1 dans le cas de points situés sur le graphe d'une fonction
de type Heaviside. Dans ce chapitre, contrairement à Lavery, nous déterminons avec exactitude les L1-splines
cubiques interpolantes C1 et la valeur de leurs dérivées aux points d'interpolation. Nous démontrons l'unicité
de la solution dans ce cas. Nous utilisons ces résultats à la fin du chapitre pour effectuer une comparaison entre les valeurs exactes obtenues avec nos calculs et les valeurs approchées obtenues par la méthode de résolution numérique proposée par Lavery pour laquelle nous ne disposons pas d'outils nous permettant d'évaluer ou de majorer l'erreur commise.
Le cas paramétrique n'ayant pas été étudié théoriquement par Lavery, nous proposons dans le chapitre 3 de définir les LP-splines polynomiales interpolantes C1 paramétriques (p;:::: 1) et d'en donner quelques propriétés. Nous nous intéressons aux splines L1 qui semblent sur nos exemples présenter de bons résultats
en terme de préservation de forme des données lors de changements brutaux de coordonnées. Nous étudions plus particulierement : les L1-splines cubiques interpolantes C1, les L1-splines cubiques interpolantes G1 et
les L1-splines quintiques interpolantes C2•
Nous proposons de plus une méthode originale, basée sur des repères locaux, permettant l'invariance des L1-splines polynomiales solutions lors de la rotation des points d'interpolation. Notre méthode est applicable
pour toute fonctionnelle de minimisation en norme L1. Ainsi la forme de la courbe dépend des repères choisis.
Cela nous permet d'introduire un paramètre de forme géométrique local. Comme nous l'a fait remarquer M-L Mazure, le paramètre angulaire local de chaque repère permet d'appliquer des effets de forme à la courbe.
L'importance du choix de la paramétrisation sur l'allure de la spline est un problème bien connu. Nous terminons avec des exemples qui illustrent l'influence de ce choix sur l'aptitude de la spline à préserver la rectitude ou la convexité des données.
Les programmes Mathematica utilisés pour nos différents exemples ont été placés en annexe A. Afin de ne pas surcharger la rédaction des chapitres 2 et 3 les détails des calculs pour établir les résultats annoncés ont été placés respectivement dans les annexes B et C.
Chapitre
1
Les L
1
-splines cubiques interpolantes
C
1
de
J.
E. Lavery
Sommaire
1.1 Fonctions LP-splines cubiques interpolantes C1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9
1.2 Fonctions L1-splines cubiques interpolantes C1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 12
1.3 L1-Splines cubiques interpolantes Cl, linéarité et convexité . . . 14
1.4 Splines cubiques paramétriques interpolantes C1 en dimension 2 et 3 . . . . . 14
Dans ce chapitre, nous donnons les résultats principaux obtenus par John E. Lavery dans [45), [47),[8) et [51) concernant le problème d'interpolation de points d'un espace affine par des L1-splines cubiques admettant
une régularité C1. Ces splines sont obtenues par minimisation de la norme L1 de leur dérivée seconde. Nous avons extrait de ces articles le point de départ du travail de thèse.
Dans [45), John E. Lavery définit les fonctions LP-splines cubiques interpolantes C1 (p:::: 1) dans le plan,
obtenues par minimisation de la norme V de leur dérivée seconde. Il y démontre leur existence. Sur des
exemples, il constate que dans le cas de données avec changement brutal d'ordonnées, les L1-splines cubiques interpolantes C1 donnent de bons résultats en matière de tension des courbes issues de la minimisation. En
effet, ces cubiques L1, contrairement aux cubiques L2 et L00
, ne semblent pas présenter d'oscillations dans le
cas où les points d'interpolation sont situés sur une fonction de type Heaviside. Nous démontrons au chapitre 2, pourquoi, dans le cas des L1-splines cubiques ce phénomène d'oscillations n'apparaît pas au voisinage du
point de discontinuité.
Il est démontré dans [45) que la solution au problème de minimisation de la norme L1 de la dérivée seconde n'est pas unique en général et que ce problème ne conduit pas à un système linéaire. Concernant la non unicité, il est proposé l'introduction d'un coefficient de pénalité dans la fonctionnelle à minimiser afin de sélectionner une L1-spline cubique interpolante C1 dont les vecteurs tangents aux points d'interpolation
soient les plus petits en norme. Pour ce qui est de la non linéarité, il est proposé une discrétisation de la fonctionnelle à minimiser par la méthode d'intégration numérique des points milieux de façon à rendre ce problème linéaire.
Dans les paragraphes 1.1 et 1.2, nous reprenons de l'article [45), la définition et les théorèmes d'existence des fonctions LP-splines cubiques interpolantes C1, l'écriture de la fonctionnelle à minimiser, le cas particulier
p = 1, l'exemple démontrant la non unicité de la spline interpolante et les solutions proposées par Lavery. Ces différents points feront l'objet d'une généralisation au cas paramétrique dans le chapitre 3.
Dans [47) qui traite plus particulièrement des surfaces, Lavery fournit l'algorithme de type point intérieur nommé "Primai Affine" ([76) et [77)). Cet algorithme est celui utilisé pour la minimisation de la discrétisée de la fonctionnelle à minimiser. Cet algorithme décrit à la fin du paragraphe 1.2 est celui que nous utiliserons pour les calculs dans le chapitre 3 de cette thèse.
Dans le paragraphe 1.3, nous reprenons les énoncés des deux théorèmes principaux de [8). Ils concernent l'aptitude pour les L1-splines cubiques interpolantes C1 à respecter sous certaines hypothèses la convexité et
la rectitude d'une partie des données. Nous verrons pourtant sur un exemple que globalement les L1-splines
cubiques interpolantes C1 ne conservent pas la monotonie, ni la convexité des données.
Dans [51), Lavery multiplie les propositions de fonctionnelles à minimiser afin de rendre si possible invariant la spline pour quelques rotations des points à interpoler. Nous reprenons dans le paragraphe 1.4, de façon exhaustive, la multitude des propositions de Lavery en terme de fonctionnelles à minimiser utilisant soit la norme L1, soit la norme L2, soit un mixage des normes L1 et L2• En effet, due à l'expression de la
norme L1, la minimisation est réalisée de façon séparée pour chacune des coordonnées. La position relative
des points par rapport aux axes influe donc beaucoup sur l'allure de la courbe résultat. Nous verrons sur des exemples que l'invariance par rotation des points à interpoler n'est pas acquise. Dans le chapitre 3 nous proposons une méthode de changement local de repère afin d'obtenir cette invariance par rotation.
1.1
Fonctions LP-splines cubiques interpolantes
C
1Dans ce paragraphe, nous donnons la définition et les théorèmes d'existence et d'unicité des fonctions LP-splines cubiques interpolantes C1.
10 CHAPITRE 1. LES L1-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 DE J. E. LA VERY Définition 1.1 Soit x1
<
x2< ... <
Xn une subdivision arbitraire, strictement monotone de l'intervalle[x
1 , xn] où pour chaque noeud Xi, une valeur Zi est imposée. On appelle LP -spline cubique interpolante C1toute fonction z (x) définie sur
[x1,
xn] à valeurs dans lR vérifiant : a) z (xi) = Zt pour i = 1, ... , n,b) z (x) est un polynôme de degré inférieur ou égal à trois sur l'intervalle [xt, Xi+l] pour i = 1, ... , n-1,
c) z est dérivable en chacun des noeuds Xi pour i
=
2, ... , n-1,d)
z
(x) est le résultat de la minimisation de1~n
1~:~
IP dx pour 1-5:
p<
oo (1.1.1)ou de max sup 1
d
2
~
1 si p = oo (1.1.2)1:<=; t:<=;n-1 x,:<=;x:<=;x,+1 dx
sur l'ensemble des fonctions polynomiales par morceaux sur
[x
1,xn]
qui vérifient a), b) etc).Traditionnellement, ce type de problème se résoud en prenant comme inconnues les dérivées aux noeuds, que nous noterons bt pour i = 1, ... , n.
Sur chaque intervalle [xt,Xt+l], la spline cubique peut s'écrire comme un polynôme de degré inférieur ou égal à trois vérifiant:
z
(xt) = Zi,z
(xi+l) = Zi+b~=(xi)=
bt et~=
(xi+l) = bi+l· On a alors:1 2 1 3
z
(x) = Zi +bi (x -Xi)+ hi (- (2bt +bi+!)+
3~zt) (x -Xi)+
ht (bt+
bt+l - 2~zi) (x -xi) ,[ J . , h A Zt+l - Zi
pour x E Xt, Xt+l et z = 1 , ... , n- 1 ou i = xi+l - Xt et uzt = ht .
La dérivée seconde en tout point de 1 'ouvert ]xi, Xi+l [, en faisant intervenir le point milieu Xt
+
~t,
s'écrit :d2
z
(bi+l- bi) 6 ( hi)dx2 (x)= hi
+
ht x - Xi-2
(bi+ bt+l-2~zi)· (1.1.3)X -Xt- ~
Pour 1 -5, p
<
oo en remplaçant (1.1.3) dans (1.1.1) et en posant t =---=---=-hi la fonctionnelle à
minimiser devient : 1xn 1
dd
2~
IP dx =Ï::
P
1_
1
1~
1
l(bi+l - bt)+
6t (bi+ bi+l -2~ztW
dt. X1 X i=l hi - 2(1.1.4)
x- x·- lh.
Pour p = oo en remplaçant (1.1.3) dans (1.1.2) et en posant
t
= ~i 2 la fonctionnelle à minimiser devient:max { h2 max (l2bi
+
bi+l-3~zil,
lbi+
2bt+l-3~zil)}
1:<=; t:<=;n-1 t (1.1.5)
Nous avons alors les résultats suivants :
Théorème 1.1 Pour tout p, p;:::: 1, il existe une LP -spline cubique interpolante C1. De plus si p E ]1, +oo[, elle est unique.
La démonstration de ce résultat se trouve en annexe C paragraphe C.1 où le théorème est démontré plus généralement dans le cas paramétrique. L'idée de la démonstration se base sur le fait que chacune des fonctionnelles (1.1.4) et (1.1.5), en tant que fonction de (bb ... , bn), est convexe, semi-continue inférieurement
et coercive. En utilisant ([6] corollaire III.20), il est démontré l'existence de la LP-spline cubique interpolante C1. De plus, pour 1
<
p<
oo la spline solution est unique car (1.1.4) est strictement convexe.Sur les exemples de le figure 1.1. ci-après, nous pouvons constater que pour des points donnés sur une fonction de type Heaviside, la L1-spline cubique interpolante C1, contrairement aux splines cubiques L2 et
L=, semble ne pas présenter d'oscillations. Cette constatation fera l'objet d'un travail original au chapitre 2.
L1-spline cubique interpolante C1
L2-spline cubique interpolante C1 L00-spline cubique interpolante C1
Fig.1.1. pour le même ensemble de points: { (i,
0)~=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
(i,1)~=
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
Pour calculer la L00-spline cubique interpolante C1 nous déterminons le n-uplet (b~, ... , bn) qui minimise la fonctionnelle :
Ce problème de rrùnimisation peut s'écrire sous la forme d'un programme linéaire [17], à résoudre par l'algorithme classique du simplexe :
min ( max
{hl
max (l2bi+
bi+l-3~zil,
lbi+
2bi+l-3~zil)})
(b}, ... ,bn)EJRn 1:5 ~:5n-l i={
=!
rrùnt
(bl , ... ,bn,t)EJRn+l 1t
~ h~ max(l2b~+
bi+l-3~zil, lbi+
2bi+l-3~z~l) pour 1 ~ i ~ n -1 min t(bl , ... ,bn,t)EJRn+l
1
t ~
h:
l2b~+
b~+l- 3~z~l pour 1 ~ i ~ n-1l
t ~ h~ lbi
+
2bi+l-3~zil min t (bl , ... ,bn,t)EJRn+l 1t
~h:
(2b~+
b~+l - 3~z~)..:1
t
~h
(2b~+
bi+l-3~z,) pour 1 ~ i ~ n-1 l't
~h:
(b,+
2bi+l - 3~zi) -'1 t ~h;
(b,+
2b,+l - 3~z,)12 CHAPITRE 1. LES Ll-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 DE J. E. LAVERY
1.2 Fonctions L
1-splines cubiques interpolantes
0
1Dans ce paragraphe, nous reprenons de [45] l'introduction du coefficient de pénalité de la fonctionnelle
à minimiser et la linéarisation. Nous donnons aussi l'écriture matricielle du problème de minimisation et sa résolution par l'algorithme "Primai Affine" extrait de [47].
Nous notons par ble vecteur de composantes bt, les dérivées inconnues aux noeuds. La fonctionnelle à minimiser (1.1.4) peut alors s'écrire :
x
\d2
1n-1~~
E (b) =
1
n~
dx =L
1 l(bi+l- bt)+
6t (bi+ bi+l- 2D.zi)l dtxl dx i=l -, ou encore
n-1 l
E (b) =
~
1·~
1(
-1+
6t) bi+ (1+
6t) bt+l-12D.zttl dt (1.2.1)John E. Lavery remarque qu'il n'y a pas toujours unicité de la L1-spline cubique interpolante C1 (voir Fig.1.2. ci-dessous).
Fig.1.2. L1-splines cubiques interpolantes C1 avec b3
=
0 (à gauche} et b3=
1 (à droite)pour les points : (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 1) et (4, 2). Dans les deux cas E (b) =
i·
Aussi propose-t-il pour réduire l'ensemble des solutions, de transformer la fonctionnelle à minimiser E (b)
en lui additionnant un terme de "régularisation" qui sélectionnera une solution ayant la somme de ses dérivées n
premières la plus petite possible. Il considère alors la nouvelle fonctionnelle E (b)
+
€L
lbi 1 où le paramètrei=l
de régularisation € est un réel strictement positif. En utilisant le Lemme 2.1 du paragraphe 2.1 du chapitre
2 avec x= bi - D.zi et y= bt+l - D.zi, E (b) peut encore s'écrire :
E(b)
~
ï: {
sinon. (1.2.2)ou encore
(1.2.3)
n
Il vient de (1.2.2) et (1.2.3) que E (b)
+
€L
lbil n'est pas un problème linéaire. Lavery se propose alorst=l de discrétiser cette expression.
Pour cela, il partage l'intervalle d'intégration de (1.2.1) end intervalles égaux. Il obtient alors :
n n-ld-1 -~+J..:!i-1 n
E (b)
+
€~
lbtl=
~~l~+i
l(bt+l- bi)+ 6t (bi+ bi+l- 2D.zt)l dt+ €~
lbilPu~r la méthode numérique d'intégration par les points milieux, il obtient alors une forme discrétisée, notée E (b) ,qui s'écrit :
n-ld-111 (2. d+1) 1 n
ij'(b)
=~f;
d
(b•+I -bi) + 6 J-2d (bi + bi+l - 2Llzi) + €
~
lbi1·
. ( -4d + 6j + 3) ( -2d + 6j + 3) ( -6d + 12j + 6)
En posant pour J = 0, ... , d- 1: aJ =
,p
,
f3J = ,P , 'T/J = ,P ,puis a = (
~~
) (3 = (~~
) et 'Tl = (~~
)a~-1
' f3d.-1'T/d~l
'nous avons alors l'écriture matricielle :
ij'(b)
= liA. (bll b2, ... , bnf- clll où :A= a (3 0 0 0 ryllz1 0 a (3 0 0 ryllz2 0 0 0 € 0 a (3 etC= ryllzn-1 0 0 0 ' - v - - ' (n-l)d+n lignes et n colonnes (n-l)d+n lignes
et 1 colonne
i.e. la matrice A= (ai,Jh::;i::;d(n-l)+n et le vecteur C = (Cïh::;.::;d(n-l)+n sont définis par:
1::;J::;n pour 0 :::; i :::; d - 1 et pour 0 :::; j :::; n - 2 : -4d
+
6i+
3 aJd+i+l,J+l=
d2 , -2d+6i +3 aJd+•+l,J+2 = d2 , ( -6d+
12i+
6) Cjd+i+l=
d2 LlzJ+ll pour 1 :::; j :::; n a(n-l)d+J,j=
€,les autres coefficients étant nuls.
---Pour minimiser E (b) nous utilisons l' algorithme de type simplexe "Primal Affine" dont voici ci-dessous l'écriture tirée de
[47].
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)k = O,b = O,ro = O,kmax =?,p =? k=k+1
Pour i = 1, ... ,n di= 1-lro,l
Calculer la solution b1 de AT D 2 Ab1 =AT D 2C {b1 solution de min IIDAb1- DCII2 ) Si
lib-
bd<
p alors flag=
1, sinon flag=
0b
=
blSi k
<
kmax et flag = 0 alors (8), sinon STOP r =c-Ab p = D2r ( ( Pi -p, ) ) a= max max -l::;i::;n 1 - w,' 1+
ro, (0.666666) ro=ro+ p a aller en (2)L'entier k représente le nombre d'itérations de l'algorithme, kmax est le nombre maximal d'itérations
autorisées, ble vecteur des n dérivées premières aux points d'interpolation, ro un vecteur à n composantes,
flag est une variable de détection de fin de programme, D = diag(d1, ... ,dn) une matrice diagonale à n
termes et p une précision souhaitée.
14 CHAPITRE 1. LES L1-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 DE J. E. LA VERY
1.3 L
1-Splines cubiques interpolantes C
1,
linéarité et convexité
Dans cette section, nous reprenons de [8], les deux théorèmes sur l'aptitude des L1-splines cubiquesinterpolantes C1 à conserver la convexité et la rectitude d'une partie des données dans le cas où parmi les points à interpoler quatre points successifs ont une configuration donnée. Nous illustrons chacun de ces résultats par un exemple.
Théorème 1.2 Soient quatre points consécutifs (xi, Yi), (xz+b Yz+l), (xi+z, Yz+2) et (x,+3, Yz+3) tels que
Y·±l-Y•
<
Y•+2-Y•±l<
Y•±a-Y•+2 alors sur l'intervalle [x·1 x· 2 ] l'arc de la courbe L1-spline cubique
Xt+l - X t - Xt+2 Xt+& - X,+3-Xt+2 1 ' 2
+ '
t+ Jinterpolante C1 se situe au dessous du segment [(xi+l,Yi+l),(xi+2,Yi+2)].
L'exemple ci-dessous (Fig.l.3) illustre le Théorème 1.2 : lorsque quatre points consécutifs forment un polygone convexe, par exemple P3P4P5P6 ou P6P1PsPg (resp. concave, par exemple P1P2P3P4 ou P5P6P7Ps), l'arc de la courbe L1-Spline cubique interpolante C1 se situe en dessous (resp. au dessus) du segment central.
Pa
Fig.1. 3. L 1-spline cubique interpolante C1.
Remarque 1.1 La suite des ordonnées des points Pz, P3, P4, P5 et P6 est décroissante mais la fonction L1-spline cubique interpolante C1 n'est pas monotone sur l'intervalle
[x
2
,x
6].Les fonctions L1-splines cubiques interpolantes C1 ne conservent donc pas la monotonie des données. De même, les points P3, P4, P5 et P6 forment un polygone convexe, mais la fonction L 1-spline cubique interpolante C1 n'est pas convexe sur l'intervalle [x3, x6].
Les fonctions L 1-splines cubiques interpolantes C1 ne conservent donc pas non plus la convexité des données.
Théorème 1.3 Soient quatre points consécutifs alignés (x.,y,), (xi+l,Yz+l), (xi+2,yi+2) et (x,+3,Yz+3), alors la L 1-spline cubique interpolante C1 est une fonction affine sur [xi+l,Xi+z].
L'exemple ci-dessous (Fig.l.4) illustre le Théorème 1.3.
Fig.1.4. L 1-spline cubique interpolante C1
1.4 Splines cubiques paramétriques interpolantes C
1en dimension
2
et 3
Dans cette section , nous reprenons de [51], la définition des splines cubiques paramétriques interpolantes en dimension 2 et 3, ainsi que la liste exhaustive des fonctionnelles à minimiser utilisant soit la norme L1 ,
tenter d'obtenir des résultats qui ne dépendent pas trop de la position des points par rapport aux axes. Il en profite pour comparer sur un exemple leur aptitude à conserver la forme des données. Pour chacune de ces fonctionnelles qui utilisent la norme L1, nous reprenons un exemple proposé par Lavery. De plus, nous
mettons en évidence, sur des exemples, au chapitre 3, la sensibilité du résultat aux rotations des points d'interpolation.
Définition 1.2 Soit u1
<
u 2< ... <
Un une partition arbitraire, strictement monotone de l'intervalle[u11 un] où pour chaque noeud Ui est imposé le couple de valeurs (xi, Yi) en dimension 2 (le triplet (x., Yt, zi) en dimension 3}. Nous appelons alors spline cubique paramétrique interpolante C1 toute fonction 'Y définie sur [u11 Un] à valeurs dans JR2 en dimension 2, 'Y (u) =(x (u), y (u)) (respectivement 'Y (u) =(x (u), y (u), z (u))
à valeurs dans JR3 en dimension 3) vérifiant :
a) 'Y (ui) =(xi, Yt) en dimension 2,
h
(ui) =(xi, Yi, Zt) en dimension 3} pour i = 1, ... , n. b} x (u) et y (u) en dimension 2 (respectivement x (u), y (u) et z (u) en dimension 3} sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 sur l'intervalle [ui, uiH], pour i = 1, ... , n-1.c) 'Y est dérivable en chacun des noeuds ut pour i
=
2, ... , n- 1.d} 'Y minimise sur l'ensemble des couples (respectivement des triplets) de fonctions polynomiales par morceaux sur
[u
1 , un] qui vérifient a), b) etc}, l'une des fonctionnelles précisées ci-après :1) L1-Spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes indépendantes
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation
rn
1 d2x 1 n 1 dx 1rn
1 d 2 1 n 1 dy 1 séparée delu
1 du2 du+ e~
du (ut) et delu
1du~
du+ e~
du (ui) où e est un petit nombrepositif. Cette fonctionnelle qui ne travaille que dans les directions des axes et les traite de façon séparée, nous donne des splines très sensibles aux rotations (voir chapitre 3 paragraphe 3.10.1).
Reprenons ci-dessous (Fig 1.5) l'exemple de [51] pour cette fonctionnelle.
Fig.1.5. L1-spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes indépendantes
pour les points des figures 1 à 12 de [51] avec une paramétrisation chordale.
2) L1-Spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes interactives
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation de
1~n
{
1~:~
1+
1~:~
+
~:;
1+
1~:~
-~:;
1+
1~;
1} du+et {
1~:
( ui) 1+
1~~
( ui) 1} oùe
est un petitnombre positif.
Cette fonctionnelle travaille simultanément dans quatre directions : celles des axes de coordonnées, avec
d2x d2y d2x d2y d2x d2y
du2 et du2 et celles de leurs deux bissectrices, avec du2
+
du2 et du2 - du2. Elle sera donc moins sensible à certaines rotations (voir chapitre 3 paragraphe 3.10.4).16 CHAPITRE 1. LES L1-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 DE J. E. LAVERY
Reprenons ci-dessous (Fig 1.6) l'exemple de [51] pour cette fonctionnelle.
Fig.1.6. L1-spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes interactives
pour les points des figures 1 à 12 de [51] avec paramétrisation chordale.
3) L1 j L2-Spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes interactives
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation de
t {
1~:~1
+
2c;:~)' +(~n'+ 1~:~1}
du+ct,
{I~>·)H~~
(u,)l}
oùc est"" petit nomb•epositif.
4) L2-Spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes indépendantes
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation séparée de
1~n
(
~:~)
2
du et de
l~n
(
~:~)
2du.
5) L2-Spline cubique basée sur la dérivée seconde à composantes interactives
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation de
1~n
(
~:~)
2+ (
~:~)
2
du+ ê
~
{1
~:
(ui)l
+
1
~~
(ui)l}
où ê est un petit nombre positif.6) P-Spline cubique basée sur la dérivée première à composantes indépendantes
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation n-1
1
u,+l
1 d 1n
1 d 1 n - l1u•+l
1 d 1n
1 d 1séparéede~~'
u,d:-~xt du+ê~
d:(ut)etde~~'
u,d~-~Yi du+ê~ d~(ui)
oÙêest un petit nombre positif.
Cette fonctionnelle qui ne travaille que dans les directions des axes et les traite de façon séparée, nous donne des splines très sensibles aux rotations (voir chapitre 3 paragraphe 3.10.3).
Fig.1. 7. L1-spline cubique basée sur la dérivée première à composantes indépendantes
pour les points des figures 1 à 12 de [51] avec pammétrisation chordale.
7) L1-Spline cubique basée sur la dérivée première à composantes interactives
n-1 u,+1
d -
D.x~+
d -
D.x~+
d -
D.yi n d dC'est une sp{linel
~~bique
plaraml d:triqueinte~~olante
Cl1 }de la définition 1.2, obtenue par minimisationde
'f,
~.1.
+
1
~:-
Llx,~ ~!
+
Ll+
1
~~ ~
Lly;l
du+ o'f,
{1
d:(u,)H
d~
(u,)l}
où o est un petit nombre positif.Cette fonctionnelle travaille simultanément dans quatre directions : celles des axes de coordonnées, avec
dx dy dx dy dx dy
du - D.xi et du - D.yi et celles de leurs bissectrices, avec du - D.xi
+
du - D.yi et du - D.xi - du+
b. yi.Elle sera donc moins sensible à certaines rotations (voir chapitre 3 paragraphe 3.10.2). Reprenons ci-dessous (Fig 1.8) l'exemple de [51 J pour cette fonctionnelle.
Fig.1.8. L1-spline cubique basée sur la dérivée première à composantes interactives pour les points des figures 1 à 12 de [51] avec paramétrisation chordale.
18 CHAPITRE 1. LES L1-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 DE J. E. LAVERY
8) L1 j L2-Spline cubique basée sur la dérivée première à composantes interactives
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation de
où € est un petit nombre positif.
9) L2-Spline cubique basée sur la dérivée première à composantes indépendantes
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation séparée de
~
t
i~'+
1 ( : : -~Xi)
2du
et de~ ~. i~'+
1 (:~
-~y.)
2du.
10) L2-Spline cubique basée sur la dérivée première à composantes interactives
C'est une spline cubique paramétrique interpolante C1 de la définition 1.2, obtenue par minimisation
de};~. L~•+l
(::-
~xir
+
(:~- ~Yirdu+e~
{\::
(u,)\
+
\:~
(ui)\}
oùe
est un petit nombre positif.Pour la dimension 3, les définitions sont analogues mais font intervenir une composante de plus.
Nous reprendrons les figures de cette section au chapitre 3 pour constater qu'elles ne sont pas invariantes par rotation des points à interpoler et pour y appliquer notre méthode d'invariance.
Chapitre 2
L
1
-Splines cubiques interpolantes
C
1
et fonctions de type Heaviside
Sommaire
2.1 Configurations de base . . . 23
201.1 Cas de deux points distincts 0 . . 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 23
201.2 Cas de trois points distincts alignés, une des tangentes étant imposée 0 25 201.3 Cas de trois points distincts quelconques 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 2.2 Configuration de points de type Saff et Tashev ou Zhang et Martin . . . 29 20201 Cas den points distincts parmi lesquels n-1 points consécutifs sont alignés (n
>
3) 2920202 Cas d'un ensemble den points distincts dont n -1 sont situés sur deux demi-droites parallèles 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . 30
2.3 Configuration de type Heaviside 32
20301 Cas de quatre points, dont deux sur chacune des demi-droites du graphe de 8. 32 2.3.2 Ajoutons un point sur une des deux demi-droites du cas précédent . . . 37 2.3.3 Cas de deux ensembles de trois points appartenant respectivement à chacune des
demi-droites du graphe de
e .
0 . . 0 . . 0 . 0 0 . . 0 . . . 0 0 . 0 0 . . 0 0 . 412.3.4 Configuration de points de type Heaviside 45
2.3.5 Convergence en norme LP . . . . 46 2.4 Evaluation sur des exemples de la méthode numérique de résolution 46
2.5 Conclusion 48
Dans ce chapitre, nous nous intéressons au comportement des L1-splines cubiques interpolantes C1
définies au chapitre 1 dans le cas de points situés sur le graphe d'une fonction de type Heaviside. Nous appelons fonction de type Heaviside, toute fonction 8 :IR-> IR définie par :
e
(x) __ { ex+ ex+
d1 d2 ailleurs p_our xE ]-oo,O[ où e, d1 et d2 sont des réels donnés vérifiant d1 < d 2· I ci, a 1discontinuité est en x
=
0, mais tous les résultats de ce chapitre restent vrais même pour un autre choix d'abscisse du point de discontinuité de la fonction.Rappelons qu'au voisinage d'un point de discontinuité de première espèce (saut de discontinuité fini de la fonction) d'une fonction C1 par morceaux, les sommes partielles de sa série de Fourier présentent un
dépassement et des oscillations. Cet effet est appelé classiquement phénomène de Gibbs [34]. Nous constatons un phénomène tout à fait comparable visuellement dans le cas de LP-splines cubiques interpolantes C1 (voir
Fig.2.1 ci-dessous). C'est pourquoi, nous appellerons ce phénomène d'oscillation au voisinage d'un point de discontinuité, phénomène de Gibbs.
En effet, Zhang et Martin dans [78] ont montré que pour une répartition uniforme de pas h de points
ap-{
0 si -1
<x<
0partenant au graphe d'une fonction de type g
(x)=
!
,
la L2-spline cubique interpolante1si0<x~1
converge en norme LP (1
~
p < +oo) en 0 (ht).
Cette spline admet de plus des oscillations résiduelles au voisinage de la discontinuité lorsque h tend vers 0 d'amplitudes maximales inférieures à 4% de la différenced'ordonnée des points. Cette amplitude décroit exponentiellement lorsque la courbe s'écarte de cette discon-tinuité.
L1-spline cubique interpolante C1
L2-spline cubique interpolante C1 L00-spline cubique interpolante C1
Fig.2.1. pour l'ensemble de points: { (i,O)t=O,l, 2,3 ,4 , (i, 1)i=5,6,7,8,9}, les abcisses étant uniformément réparties.
Par ailleurs, Saff et Tashev dans [72] ont montré que, pour une classe de fonctions g ayant une discontinuité en x = 0, la meilleure approximation en norme LP par des fonctions affines par morceaux avec les noeuds
22CHAPITRE 2. L1-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 ET FONCTIONS DE TYPE HEAVISIDE
montrent que l'amplitude de l'oscillation est une fonction décroissante de pet qu'elle tend vers zero quand
p tend vers un.
Nous démontrons dans ce chapitre pourquoi à partir d'un nombre suffisant de points d'interpolation, ce phénomène de Gibbs disparaît pour les L1-splines cubiques interpolantes C1 contrairement aux L2
-splines et L00-splines où ce phénomène persiste (voir Fig.2.1 ci-dessus). Ce résultat est indépendant de l'espacement entre les points (voir l'exemple ci-après Fig.2.2). Nous démontrons de plus que dans ce cas, il y a toujours unicité de la solution L1-spline cubique interpolante C1, contrairement au cas général (voir chapitre
1 paragraphe 1.2). Ce travail original fait l'objet d'une publication à paraître dans Numerical Algorithms.
L1-spline cubique interpolante C1
L2-spline cubique interpolante C1 L00
-spline cubique interpolante C1 Fig.2.2. pour les points : (0, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 1), (8, 1) et (8.5, 1).
Par (1.2.1) du paragraphe 1.2 du chapitre 1, nous savons que"'(, la L1-spline cubique interpolante C1 des
points du plan {(xi, Yi)t=l, ... ,n}avec x1
< ... <
Xn, est obtenue par la minimisation de :où les inconnues sont les bi=
~:
(xt) pour i E {1, ... , n}.Pour minimiser cette somme d'intégrales nous procédons par étapes.
Nous nous proposons dans le paragraphe 1 de ce chapitre d'étudier d'abord le cas de deux points d'in-terpolation (xi, Yt) et (xi+b Yt+I) afin d'établir une relation liant bi et bi+l lors de la minimisation d'une intégrale de la forme:
1!
\(bi+l- bi)+ 6t (bt+
bi+1 - 2 Yi+l- Yi)\ dt où l'un des paramètres bt ou bi+1-!
Xi+l- Xtest fixé (cf. Lemme 2.1).
Puis dans le cas de trois points distincts algnés, nous étudions la minimisation de la somme de deux de ces intégrales, où une tangente en l'un des points est imposée (cf. Lemme 2.2). Nous montrons dans ce cas
l'existence d'une unique L1-spline cubique interpolante C1 . Nous étudions pour terminer le cas de trois points
non alignés, où nous montrons l'existence d'une infinité de L1-splines cubiques interpolantes C1 solutions.
Les théorèmes principaux de ce chapitre sont obtenus en combinant les divers résultats de ce paragraphe. Dans le paragraphe 2, nous étudions le cas où nous ajoutons un point d'interpolation entre deux points quelconques parmi les trois points non alignés. Cette configuration permet de reprendre ensuite celle envisagée par Zhang et Martin ou Saff et Tashev.
Etant donné quatre points appartenant à
e
où deux points sont situés à gauche de la discontinuité et deuxà droite, nous montrons alors dans le paragraphe 3 qu'il existe une unique L1-spline cubique interpolante C1 .
Cette spline présente des oscillations. De plus, nous montrons qu'en ajoutant un point quelconque distinct de ces précédents points sur l'une des demi-droites de 8 l'oscillation disparaît sur cette dernière. Nous concluons alors ce paragraphe par un résultat essentiel de ce chapitre :
Soit 8 une fonction de type Heaviside et six points d'interpolation (au moins) sur le graphe de 8 dont trois au moins, sont situés à gauche de la discontinuité et trois au moins, sont situés à droite. Alors, il existe une unique L1-spline cubique C1 interpolant ces données. Cette spline coïncide avec la fonction 8, sauf dans l'intervalle contenant la discontinité où elle admet pour tangentes à ses extrémités les deux demi-droites du graphe de la fonction
e.
Cette L1-spline cubique interpolante C1 ne présente donc pas de phénomène de Gibbs au voisinage du
point de discontinuité. De plus, si h représente le pas entre les points immédiatement situés de part et d'autre de la discontinuité, alors, la L1-spline cubique interpolante C1 converge en norme LP (1 :::; p
<
+oo)en 0
(hi )
vers la fonctione.
Au paragraphe 4, nous donnons des exemples où nous évaluons l'erreur de l'algorithme Primai Affine sur des cas de figures où les résultats des paragraphes précédents nous permettent de calculer de manière exacte la solution.
Ce chapitre fait l'objet d'un article [3] paru dans Numerical Algorithms en 2007.
Pour ne pas surcharger la rédaction de ce chapitre, les détails des calculs pour établir les résultats énnoncés ont été placés en annexe B.
Enfin, rappelons que dans tout ce chapitre, 'Y désigne la L1-spline cubique interpolante C1 des points
(x,,
y,)
1
~i~n
et pour i = 1, ... ,n,
bi désigne la dérivée de 'Y au pointx,
(i.e. b, =~:(xi)).
2.1
Configurations de base
2.1.1
Cas de deux points distincts
Dans le cas de deux points Pi, Pt+b la fonctionnelle à minimiser s'écrit :
Si nous posons x = bi - Yt+l -Yi et y= b,+1 - Yi+l -Yi, l'intégrale Xt+l -x, Xt+l - X ,
1:
l(b,+l- b,) + 6t (bi+ bt+l- 2 Y•+l =Yi.)/ dt devient alors S(x, y)=1:
i(Y- x)+ 6t (x+ y)l dt.- 2 Xt+l X, _
2
En visualisant la surface z = S(x, y) et ses lignes de niveau (Fig 2.3 ci-après), nous pouvons supposer que pour tout y E ~fixé, il existe x0 E ~tel que S (x0 , y)= minS (x, y). De même que pour tout xE~ fixé,
xE IR
il existe Yo E ~tel que S(x,y0 ) = minS(x,y). Et enfin que S(x,y) admet un minimum sur ~2•
24CHAPITRE 2. L1-SPLINES CUBIQUES INTERPOLANTES C1 ET FONCTIONS DE TYPE HEAVISIDE
y
z
x
Fig.2.3. La surface
z
=
S(x, y) et ses lignes de niveau.Nous allons maintenant donner un cadre théorique à ces observations expérimentales : 1
Lemme 2.1 La fonctionS (x, y)=
1:
I(Y-x)+ 6t (x+ y)l dt est continue et convexe sur JR.2•2
{
IY- xl si IY- xl ;:::: 3lx +YI ,
Elle vérifie : S (x, y)= 3
l
l
(y- x)2 . .2
x + y + 6lx + YI sznon.De plus : 1)
~JflS
(x, y)= 2(~-l)
IYI est obtenu pour x= ( 2Po)
y.2)
~JflS
(x, y)= 2(~-l)
lxi
est obtenu pour y= ( 2~)
x.3) min S (x, y) = 0 est obtenu pour x= y= O. (x,y)EIR2
Nous avons volontairement écrit un lemme exhaustif, mais les résultats essentiels pour la suite sont 1) et
2). Ils nous donnent dans le cas de deux points, lorsqu'une dérivée en l'un quelconque des deux points P, ou
P,+l est fixée, la valeur de la dérivée au second point qui minimise notre fonctionnelle. Démonstration. Les calculs détaillés se trouvent en annexe B paragraphe B.l. La continuité et la convexité de S (x, y) sont immédiates.
D'après le Lemme B.1 du paragraphe B.1 de l'annexe B, si nous considérons la fonction affine f (t) = at+b,
!
!
1 b2si f (
-~)
· f(~)
;:::: 0 il vientl!
If (t)l dt= lbl, sinonl!
If (t)l dt= 4lal +~·
{
ly-xl
Ils'ensuitpoura=6(x+y)etb=y-xqueS(x,y)= 3l l (y-x)2
2
x + y + 6lx + YI sinon.si IY- xl ;:::: 3lx +YI ,
Pour y ::::; 0 donné, les calculs nous donnent :
x -()()
-~y
-2y+oo
S (x, y) -2(x+y)-6(x+y) 3 (y- x)"' 1 x-y 1
3 (y-x)"'
2
(x+ y)+ 6 (x+ y) dS (x,y)- 10 (x+ y)"'- (2y)"' 1 1 1 10 (x+ y)"'- (2y)"'
Nous en déduisons :
-00 ( 2-IW) y l -2y +oo
x {ïQ -2y
dS (x, y)
- 0 + 1 + 1 +
dx
s
(·,y) '\, J2yJ (4-lJ
/
En substituant -x à x et -y à y dans S (x, y), nous obtenons que pour tout y réel donné,
~~S(x,y)
= 2(~-I)
JyJ pour x=(
2~)
y.En changeant la variable d'intégration tenu= -t, nous montrons que S(x,y) = S(y,x).
Nous avons ainsi pour tout x réel donné,
~J~S(x,y)
= 2(~-I)
JxJ pour y=eJtr)
x .Si Jx + yJ
i=
0 alors S (x, y)> 0, sinon S (x, y)= Jy- xJ.Ainsi min S (x, y)= 0 est obtenu pour x= y= 0 . •
(x,y)ElR2
2.1.2 Cas de trois points distincts alignés, une des tangentes étant imposée
Considérons trois points distincts alignés (x1, y1), (x2, Y2) et (x3, Y2) avec x1
<
X2<
X3. En fixant une des tangentes aux extrémités, nous démontrons dans le Lemme 2.2 ci-dessous qu'il existe une unique L1-splinecubique interpolante C1. Les 2 autres tangentes sont alors orientées dans la direction de l'alignement des
points (voir Fig 2.4).
Fig.2.4. L1-splines cubiques interpolantes C1 pour les points : (0, 0), (2, 1) et (3, 1.5). A gauche la spline est obtenue en imposant b1 = 2 et à droite elle est obtenue en imposant b3 = 2. Dans ce cas, la fonctionnelle à minimiser est :
1
~
1 (b2 - bl) + 6t bl ( + b2 - 2 Y2 - YI ) 1 dt+~~
1 (b3 - b2) + 6t b2 ( + b3 - 2 Y3 - Y2) 1 dt.-~ X2- Xl -~ X3 - X2
E n posan t h
=
Y2 - YI=
Y3 - Y2,
nous avons a ors a mm1m1ser : 1 , · · ·X2- Xl X3- X2
1 1
j_:
j(b2-bl) + 6t (b1 + b2-2h)J dt+/_: j(b3-b2) + 6t (b2 + b3-2h)J dt, où l'un des trois réels b1, b2ou b3 est fixé. Le résultat s'énonce ainsi :
Lemme 2.2 Soit la fonction F : IR3 --+ IR définie par :
1 1
F (b1, b2, b3) = /_: j(b2- b1) + 6t (b1 + b2-2h)J dt+/_: j(b3-b2) + 6t (b2 + b3-2h)J dt. Alors :
i) Yb1 E IR, min F (b1, b2, b3) =
-3 5
Jb1 - hJ avec b2 = b3 = h . (b2,ba)ER.2
ii) Yb3 E IR, min F (b1, b2, b3) =
-3 5
jb3 - hJ avec b1 = b2 = h . (b1 ,b2)ElR2
iii)Yb2EIR, min F(bl,b2,b3)=4(0j-1)Jb2-hJ, avec
