Le nombre d’or

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Le nombre d’or

CAMBAKIDIS Alexandre

30 Juin 2017

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

1 Introduction

2 Propriétés générales du nombre d’or

3 Géométrie du nombre d’or

4 L’arithmétique du nombre d’or

CAMBAKIDIS Alexandre Le nombre d’or

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Introdution

Figure –Euclide (300 avant J.-C)

« Une droite est dite être coupée en Extrême et Moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au

plus petit. »

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Introdution

Figure –Euclide (300 avant J.-C)

« Une droite est dite être coupée en Extrême et Moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au

plus petit. »

CAMBAKIDIS Alexandre Le nombre d’or

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Figure– Léonardo Fibonacci (1175 - 1250) -Liber Abaci

Fn+2 =Fn+1+Fn,∀n∈N

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Figure– Léonardo Fibonacci (1175 - 1250) -Liber Abaci

F_n+2 =F_n+1+F_n,∀n∈N

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Propriétés générales

On considère le polynôme suivant : x²−x −1

Admet deux racines : x₁ = 1 +√

5

2 =ϕ x₂ = 1−√

5

2 =ψ

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Propriétés générales

On considère le polynôme suivant : x²−x −1

Admet deux racines : x₁ = 1 +√

5

2 =ϕ x₂ = 1−√

5

2 =ψ

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Propriétés générales

On considère le polynôme suivant : x²−x −1

Admet deux racines : x₁ = 1 +√

5

2 =ϕ x₂ = 1−√

5

2 =ψ

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Soient a, b deux réels positifs non nuls.

Si a

b = a+b

a alors a b =ϕ. Si a

b = b

a−b alors a

b =ϕ. Avec b<a−b <1.

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Soient a, b deux réels positifs non nuls.

Si a

b = a+b

a alors a b =ϕ.

Si a

b = b

a−b alors a

b =ϕ. Avec b<a−b <1.

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Soient a, b deux réels positifs non nuls.

Si a

b = a+b

a alors a b =ϕ.

Si a

b = b

a−b alors a

b =ϕ. Avec b<a−b <1.

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Le nombre d’or ϕ est irrationnel.

Soit A=

b ∈N,∃a ∈N, ϕ= a b

.

Soit b le plus petit élément deA. Donc ϕ= a

b = b a−b.

Or b >a−b >1. Contradiction.

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Le nombre d’or ϕ est irrationnel.

Soit A=

b ∈N,∃a ∈N, ϕ= a b

.

Soit b le plus petit élément deA. Donc ϕ= a

b = b a−b.

Or b >a−b >1. Contradiction.

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Le nombre d’or ϕ est irrationnel.

Soit A=

b ∈N,∃a ∈N, ϕ= a b

.

Soit b le plus petit élément deA. Donc ϕ= a

b = b a−b.

Or b >a−b >1. Contradiction.

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Triangles d’or et d’argent

Le triangle d’or possède deux angles de ^2π₅ et d’un angle ^π₅. Le triangle d’argent possède deux angles de ^π₅ et d’un angle de ^3π₅

A B

C

1

ϕ ϕ

A⁰ B⁰

C⁰

ϕ

1 1

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Triangles d’or et d’argent

Le triangle d’or possède deux angles de ^2π₅ et d’un angle ^π₅. Le triangle d’argent possède deux angles de ^π₅ et d’un angle de ^3π₅

A B

C

1

ϕ ϕ

A⁰ B⁰

C⁰

ϕ

1 1

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Il est possible de couper des triangles d’or et d’argent en deux autres triangles, l’un d’or et l’autre d’argent.

A B

D

a

b

C•

E• b

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Il est possible de couper des triangles d’or et d’argent en deux autres triangles, l’un d’or et l’autre d’argent.

A B

D

a

b C•

E• b

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

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Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

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Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C

O• C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

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Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

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Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

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Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Construction du pentagone régulier

Le pentagone est construit à partir des proportions d’or.

Soit a et b deux réels positifs tels que _b^a =ϕ.

A•

C O•

C⁰

P₃• P₄•

C⁰⁰

•P₂

•P₅

•P1

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Pentagramme

Soit ABCDE un pentagone régulier.

A B

C D

E

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Pentagramme

Soit ABCDE un pentagone régulier.

A B

C D

E

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Pentagramme

Soit ABCDE un pentagone régulier.

A B

C D

E

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Pentagramme

Soit ABCDE un pentagone régulier.

A B

C D

E

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Trigonométrie

Considérons un triangle d’argent de base ϕ.

A B

C

1 1

I ^ϕ₂

ϕ 2

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Trigonométrie

Considérons un triangle d’argent de base ϕ.

A B

C

1 1

I ^ϕ₂

ϕ 2

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Trigonométrie

Considérons un triangle d’argent de base ϕ.

A B

C

1 1

I

ϕ 2 ϕ

2

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Trigonométrie

Considérons un triangle d’argent de base ϕ.

A B

C

1 1

I ^ϕ₂

ϕ 2

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Rectangle d’or

ABCD est un rectangle d’or.

A B

D C

1

ϕ

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Rectangle d’or

ABCD est un rectangle d’or.

A B

D C

1

ϕ

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

On peut découper un rectangle d’or en un autre rectangle d’or plus petit.

A B

D C

b

a E•

F•

b a−b

b

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

On peut découper un rectangle d’or en un autre rectangle d’or plus petit.

A B

D C

b

a

E•

F•

b a−b

b

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On peut découper un rectangle d’or en un autre rectangle d’or plus petit.

A B

D C

b

a E•

F•

b a−b

b

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Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Spirale d’or obtenu par une succession de quarts de cercle dont le rayon est égal au côté de chacun des carrés suite au

découpage d’un rectangle d’or.

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

L’arithmétique du nombre d’or

Suite des Fibonacci définies par récurrence par : F_n+2 =F_n+1+F_n

Les suites (ϕⁿ) et (ψⁿ) sont des suites de Fibonacci. Les suites de Fibonacci forment un espace vectoriel engendré

par (ϕⁿ) et (ψⁿ).

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L’arithmétique du nombre d’or

Suite des Fibonacci définies par récurrence par : F_n+2 =F_n+1+F_n

Les suites (ϕⁿ) et (ψⁿ) sont des suites de Fibonacci. Les suites de Fibonacci forment un espace vectoriel engendré

par (ϕⁿ) et (ψⁿ).

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L’arithmétique du nombre d’or

Suite des Fibonacci définies par récurrence par : F_n+2 =F_n+1+F_n

Les suites (ϕⁿ) et (ψⁿ) sont des suites de Fibonacci.

Les suites de Fibonacci forment un espace vectoriel engendré par (ϕⁿ) et (ψⁿ).

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L’arithmétique du nombre d’or

Suite des Fibonacci définies par récurrence par : F_n+2 =F_n+1+F_n

Les suites (ϕⁿ) et (ψⁿ) sont des suites de Fibonacci.

Les suites de Fibonacci forment un espace vectoriel engendré par (ϕⁿ) et (ψⁿ).

Introduction Propriétés générales du nombre d’or Géométrie du nombre d’or L’arithmétique du nombre d’or

Soit la suite de Fibonacci définie par F₀ = 0 et F₁ = 1.

Alors F_n= ^√1

5(ϕⁿ+ψⁿ)

On a ψ =−1

ϕ donc, F_n ' ϕⁿ

√5.

Par récurrence on peut encore démontrer que lim

x→+∞

F_n+1 F_n =ϕ

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Soit la suite de Fibonacci définie par F₀ = 0 et F₁ = 1.

Alors F_n= ^√1

5(ϕⁿ+ψⁿ)

On a ψ =−1

ϕ donc, F_n ' ϕⁿ

√5.

Par récurrence on peut encore démontrer que lim

x→+∞

F_n+1 F_n =ϕ

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Soit la suite de Fibonacci définie par F₀ = 0 et F₁ = 1.

Alors F_n= ^√1

5(ϕⁿ+ψⁿ)

On a ψ =−1

ϕ donc, F_n ' ϕⁿ

√5.

Par récurrence on peut encore démontrer que lim

x→+∞

F_n+1 F_n =ϕ

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