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Sur la déduction de divers principes variationnels de la
théorie des collisions à partir d’un principe unique
T. Kahan, G. Rideau
To cite this version:
316.
SUR LA
DÉDUCTION
DE DIVERS PRINCIPES VARIATIONNELS DE LATHÉORIE
DES
COLLISIONS A PARTIR D’UNPRINCIPE UNIQUE
[1]
Par T. KAHAN
et
G. RIDEAU(Institut Henri Poincaré, Paris).
Sommaire. 2014 On établit que les diverses méthodes mises en
0153uvre par Hulthen, Schwinger, Kohn et d’autres auteurs découlent d’un principe variationnel très général, dont on montre les divers aspects. JOURNAL PHYSIQUE RADIUM. TOME
13,
JUIN
1952,
1. Introduction. -
L’impossibilité
où l’on setrouve habituellement de résoudre de manière
rigou-reuse les
équations
différentielles attachées à desproblèmes
dediffusions,
nucléaires ouautres,
a amené divers auteurs[2, 5]
à proposer des méthodes de résolutionapprochée
à l’aide deprin-cipes
variationnels,
d’aspect
et de maniement trèsdifférents. Ces
principes
s’appliquant
tous à desproblèmes
de mêmenature,
nous avons tenté de voir s’il n’existerait pas unprincipe
plus général
englobant
tous les autres à titre de casparticuliers.
C’est ainsi que nous sommes conduits à proposer le
principe qui
faitl’objet
de ce travail.2. Formulation du
principe général.
-Consi-dérons un
opérateur
linéaire Lsymétrique,
c’est-à-dire vérifiant la relation suivante :
quelles
que soient les fonctionsf
et g. Les solutions satisfaisant àrendent extrémale
l’expression
suivante(L ô
=6L) :
En
effet,
enposant
où
03A61
et03A62
sont deux solutions distinctes del’équa-tion
(2),
et en utilisant lapropriété
(1),
on vérifie le résultat annoncé.De
’même,
envisageons l’équation
avec secondmembrue :
L étant
toujours
unopérateur
linéairesymétrique,
possédant
un inverse et où les cpi sont des fonc-tions données. Onpeut
alors poseret les
03A6’i
vérifientl’équation
Elles rendront extrémale une
expression
dutype (3)
et en revenant aux
03A6i
initiaux,
on conclut queceux-ci rendront extrémale la
quantité
suivante :en omettant le terme constant.
Quand
on substitueà.W1 et B11’"2
dessolutions
exactes de(5), l’expression (8)
se réduit à
-f Tl ?2 dr et
l’onpeut
ainsi
uti-liser
(8)
pour le calculapproché
de cettequantité.
Généralement,
dansla
conduite descalculs,
il seracommode de transformer
(5)
en uneéquation
inté-grale,
cequi
va nous amener àreprésenter
L par unopérateur
intégral
dont le noyau serasymétrique
quand
L estsymétrique (1).
3.
Application
auxproblèmes
de diffusion.-L’équation
qui régit
unproblème
de diffusionpeut
se réduire à la forme ’suivante
[2] :
où le noyau K
(r, r’)
estgénéralement
un noyausymétrique
et où4)ï
représente
l’onde incidente. Nous ferons lechangement
de fonction inconnue :et
(9)
prend
alors la forme(1)
(1) Pour ces opérateurs, on utilisera la notation
qui signifie
327
En
appliquant
à03A6’1
leprincipe
variationnel relatif à(8)
et en revenant au03A61
initial,
nous obtenonsl’expression
suivante,
stationnaire vis-à-vis des solu-tions de(9) :
Quand
BIf 1
etqr 2
sontremplacées
par des solutions03A61
et
03A62
de(9),
elle a pour valeurl’expression
seule
quantité qui
ait un intérêtphysique
en théoriedes collisions où elle
représente l’amplitude
de diffusion[ci. (17)].
L’opérateur
L,
qui
apparaît
dans(11),
doit avoir,un inverse pour que les’ conclusions
précédentes
soientvalables;
on démontre facilementqu’il
en estbien ainsi
(ci.
appendice
I).
Nous allons
appliquer
la théoriegénérale
qui
précède
auxproblèmes
de collisions de laMéca-nique
quantique.
Dans ce cas, nous avons à consi-dérerl’équation
et la solution de celle-ci
qui
se réduit à l’ondeplane
eik1.r,
=k,
en l’absence dupotentiel
V(r)..
Onsait que cette solution vérifie
l’équation
inté-grale [3] .
et a la forme
asymptotique
où
f
(kl, k)
estl’amplitude
de diffusion dans la direction k de l’onde incidente suivantki,
dont
la valeur dans la direction- k2
est donnéepar
[4] :
Cette
expression
f (kl,
-k2)
est,
au facteur -4 03C0
près,
la valeur stationnaire(V. S.)
de laquantité
comme il résulte des formules de
(9)
à(13).
Laméthode
variationnelle
fondée sur laformule
(18),
est une des formes que
peut
prendre
leprincipe
variationnel défini par(8). L’appendice
IIcontient
lagénéralisation
de la méthode aux bosons et auxfermions. Nous montrerons maintenant comment
(8)
permet
d.’arriver auxméthodes
proposées
par Kohn.4. Méthode de Kohn
[5].
- A l’aide de la fonceztion 8
de Dirac,
onpeut
mettrel’opérateur
(V2
+k2)
sous
forme
d’opérateur
intégral
dont le noyau G(r, r’)
est évidemmentsymétrique.
Ceciétant, ,
l’équation
(14)
s’écritet en
posant
On obtient
alors,
pourles 03A6’1
(r),
l’équation
inté-grale
suivante :où l’on écrit
En écrivant le
principe
variationnel relatif aux4D’,,
on obtient une méthode de calculapproché
pour laquantité
si bien
qu’en
revenant aux (Dinitiaux,
l’amplitude
de diffusionf (ki,
-k2)
est,
au facteur4 7r
près,
valeur stationnaire de la
quantité
où l’on a utilisé
-Pour le calcul de la dernière
intégrale
de(23),
on utilise la formule de Green :
Wi
étant une fonction d’essai que l’on supposeraavoir la forme
asymptotique
Mémoire de Kohn
(loc.
cit.,
p. 1766)
pour retrouver exactement leprincipe
variationnelqu’il
aproposé.
Il y a lieu de remarquer que le
principe (18)
que nous proposons, bien que découlant de la mêmeméthode,
fournitnéanmoins
uneprécision
supé-rieure à celle obtenue par la méthode de
Kohn.
Eneffet,
enprenant
pour fonction d’essaisimple-ment
l’approximation
d’ordre zéro(onde plane),
leprincipe
de Kohn fournit lapremière
approxi-mation deBorn,
tandis quenotre principe
(18)
donne directementjusqu’à
la secondeapproxi-mation. ’
5. Méthodes relatives à
l’équation
radiale.-Nous allons maintenant déduire les méthodes rela-tives à
l’équation
radiale directement duprincipe
variationnelgénéral.
A ceteffets,
prenons pour lesfonctions
W1 et
W2 qui figurent
dansl’expression (18)
un
développement
de la formeoù
~n(r)
a la formeasymptotique
la direction
k,
étantprise
comme axe des z et ladirection
k2 ayant
pour coordonnéespolaires (0, o).
Nous aurons
également
à utiliser ledévelmeoppent
suivant
[7] :
ainsi que
l’expression
1
(0,
q)
étant les coordonnéespolaires
de r,(0’,
cp’)
celles de r’. Bien
entendu,
lepotentiel
V(r),
qui
vaintervenir,
nedépend
parhypothèse
que de ladis-tance à
l’origine.
Nousdonnons,
dansl’appendice
III,
le détail des calculs
qui
conduisent à mettre(18)
sous la forme
où l’on a
posé
Quand 03C81
etW 2
sont des solutions exactes03A61
et
03A62
del’équation
d’onde,
il est clair que An devientL"
(r),
solution del’équation
différentielle radiale relative à la valeur n du momentangulaire.
On obtiendra des
03C81
etl(f 2
différantpeu
des03A61
et
«P2
enprenant
dans(26)
desA,,
différant peu desLn
(r).
La variation desBFI
et03C82
ainsi obtenue
n’est pas la variation laplus générale,
mais c’est la seulequi importe
dans le cas de lasymétrie
sphé-rique
que nousenvisageons
ici. Lapremière
varia-,tion
de(30)
qui
résulte de cette variation radiale doit être nulleet,
par suitede
l’orthogonalité
despolynomes
deLegendre,
lapremière
variation decha-cune des
quantités
entre crochets de(30)
est nulle.Quand rn(r)
se confond avecGn
(r)
=Ln
(r),
cettequantité
entre crochets devientégale
à -e2iY1J ’k’) -
12 ik2
où 1)n est le
déphasage
habituel
remarquons
que la fonction Gn(r),
introduiteici,
diffère decelle,
que l’on trouve parexemple
dans MOTT etMASSEY,
Anomie
Collisions,
chap.
II etVII,
en cequ’elle
a laforme
asymptotique
e r "I " sin
kr
1t
+
nn ) ] .
. Donc,
formeasymptotique
k sin (k
r -n2
+
nn . Donc,l’expression
entre crochetsprovenant
de(30) :
fournit une méthode variationnelle de calcul
329
l’équation intégrale
. que doit vérifierGn
(r),
à savoir6. Méthode de
Schwinger. -
Nous allonsmontrer que la méthode de
Schwinger
se déduit denotre
principe (3)
en donnant une forme convenableà
l’équation
intégrale (32).
Pourcela,
introduisonsune nouvelle fonction
§n
(r)
reliée àGn
(r)
parCette nouvelle fonction vérifie alors
l’équation
intégrale
’d’où l’on tire
On
péut
alors écrire(34)
sous la formeaprès avoir,posé
On
symétrise
facilement le noyauprécédent
enposant
l’équation prend
la forme LHn = o, avecEn
appliquant
alors(3),
on conclut quel’expres-sion
a une valeur stationnaire pour les solutions exactes
du
problème
de diffusion.(40)
fournit la méthode de calculapprochée
decotg
nnproposée
par Schwin-ger[8].
Appendice
I. -Nous montrerons ici que
l’opé-rateur L de
(11) possède
effectivement un inverse.Posons pour
simplifier
l’écriture
On cherche un noyau G
(r, r’)
tel
que soit vérifiéel’équation
,car 8
(r
-r’)
est le noyau del’opérateur-unité.
(1.2)
fournitl’équation intégrale
suivante pour9
(r, r’) :
:La résolution en est
immédiate,
car enappe-lant Il
(r, r’)
le noyau résolvant relatif au noyau,ie 1
(r, r’),
il vientavec la forme bien connue, du noyau résolvant
Ceci montre l’existence d’un inverse à
gauche.
Mais G(r, r’)
est aussi bien inverse à droitepuisque
l’on vérified’après
la définition même du noyau résolvantAppendice
II. -Généralement,
l’équation
de diffusion(14)
est écrite dans lesystème
du centre degravité
de deuxparticules
semblables. On saitqu’alors
l’indiscernabilité desparticules
estrespon-sable de
phénomènes
d’échange
régis
par lastatis-tique
particulière
suivie par les deuxparticules,
phé-nomènes
qui
ont pour effet de modifier la valeur des sections efficaces obtenuequand
on ne tient pascompte
de cette indiscernabilité. Si le
vecteur
k1, qui
donne la direction des ondes incidentes estpris
pour axedes z et si 0
désigne l’angle
entrek,
et- k2,
laquantité
qu’il
est intéressant de connaître estf (9) ± f ( - o),
avec lesigne
+ ou lesigne
--suivant que l’on
considère
des bosons ou desfer-mions,
où l’on aposé
A,
partir
demaintenant,
nous noterons03A6+1(r)
la solution del’équation intégrale
suivante relative àune onde incidente suivant
k1 :
tandis que la solution relative à une onde incidente
suivant
-kl
sera notée03A6-1(r)
et satisfera àl’équa-tion
intégrale
Quand
lepotentiel
estuniquement
fonction de ladistance,
on vérifie facilementla
relation-Si l’on tient
compte
de lastatistique
(effet
d’échange),
la solution exacte duproblème
dediffu-sion
s’écritet il
s’agit
de tenircompte,
dans leprincipe (18),
de cet effetd’échange.
Reprenons
donc(18)
terme1 à terme. A la fonction d’essaï
W1(r),
que nousnotons à
partir
de maintenantTI (r),
associonsWi(r)
reliée à1Ft
parEn d’autres
termes,
lesfonctions
T+(r)
etW1(r)
sont des valeursapprochées
des solutions exactestbt(r)
et03A6-1(r).
On fait la même convention pour la fonction d’essaiW2 (r).
Il est donc nécessaire d’intro-duire lescombinaisons
2 (w,
1 (il + Wi)
Ji
v 2
(suivant
lastatistique adoptée)
dans une formulationvariationnelle devant tenir
compte
del’échange.
Puisque
nous avons à calculerf (0)
+1 (7! -
0),
nousaurons
respectivement
àajouter
ouretrancher
lesvaleurs de
(18)
relatives à +k2
et à-k2,
soientÉtant
donnée ladéfinition
des fonctionsW+(r)
etT-(r)*
on vérifie aisément la suited’égalités
La
quantité
1/ 2
(exp ik2.r+exp ik2.r)
repré-V2
sente l’onde incidente suivant la direction
k2 quand
on tient
compte
de lastatistique.
De même pour laquantité /1- (exp ik1. r + exp - ik1. r).
Donc,
fina-~2
331
ci-dessous,
directementapplicables,
soit auxbosons,
soit aux fermion :
Dans les formules
précédentes,
2+ et 2--rem-placent
lesquantités
et
représentent
les fonctions d’essaiqui
doivent être utilisées. On noteraqu’elles
sontassujetties
à la condition d’êtrepaires
dans le cas de lastatis-tique
de Bose et à la condition d’êtreimpaires
dans le cas de lastatistique
deFermi-Dirac.
Appendice
III. - Danscet
appendice,
nousallons établir en détail les calculs conduisant à la
formule ,(30).
Procédons terme à terme. Calcul du terme :Nous effectuons d’abord
l’intégration
surdr’
entenant
compte
du fait que4J1 (r)
nedépend
pasde
qui.
Cequi
donneEn utilisant
les, relations
d’orthogonalité
despoly-nomes de
Legendre [9],
il vientNous devons effectuer maintenant
l’intégration
sur dr. La
variable y
n’apparaîtra
que dans
03C82(r)
et ainsi en effectuant d’abordl’intégration
sur ?nous ferons
disparaître
les termes deqr2(r)
qui
contiennent cosmcp et il reste
Calcul du terme
W 1 (r)
V(r)
ne contenant pas cp, en effectuant d’abordl’intégration
sur ? on élimine les termes delV2(r)
qui
contiennent cosmo et il restePour le calcul des deux termes
restants,
on doitutiliser le
développement
bien connu[10] :
et en
employant
ledéveloppement
(29)
des’ poly-nomes deLegendre,
laquantité
eik2r
V(r) 03C81
(r)
drdevient,
après
élimination des termescontenant y
par
intégration
sur cp : ,Le calcul du
terme J r eik1rV(r)W2(r)dr
s’effectue de la mêmefaçon.
Là encore les termes contenant (pet
provenant
dudéveloppement
deT2(r)
s’éliminent parintégration
sur cp et l’utilisation des relationsd’orthogonalité
despolynomes
deLegendre
donnesi bien que
l’expression (18)
devient finalementManuscrit reçu le 22 février 1952.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] KAHAN T. et
RIDEAU G. 2014
C. R. Acad. Sc., 1951, 233, 849.[2] SCHWINGER J. - Conférences inédites, 1947. - BLATT
et JACKSON. 2014
Phys. Rev., 1949, 76, 21. - MOTT et
MASSEY. - The
Theory of Atomic Collisions, 2e édit.
(Oxford), p. 116 (3). - BROGLIE L. DE. - De la
Mécanique ondulatoire à la théorie du noyau (Her-mann), t. III, p. 35 (55).
[3] BROGLIE L. DE. - Loc. cit.,
p. 35 (54). 2014 MOTT et
MASSEY. - Loc.
Cit., p. 114. [4] MOTT et MASSEY. - Loc.
cit., p. 114 (30).
[5] HULTHÉN. 2014 Xe Congrès des Mathématiciens scandi-naves, Copenhague, 1946. -
KOHN, Phys. Rev., 1948, 74, 1763.
[6]
MOTT et MASSEY. 2014 Loc. cit., p. 23.[7] MOTT et SNEDDON. 2014 Wave Mechanics and its Appli-cations (Oxford), 1948, p. 386.
[8] Cf. par exemple, BLATT et JACKSON. - Loc.
cit., p. 21.
-J. SCHWINGER. 2014 Loc. cit.
[9] VALIRON. - Théorie des fonctions
(Masson), p. 207.
[10] BROGLIE L. DE. - Loc.
