Séminaire du 14 06 2018 labo math info La Réunion

Références

Convergence d’approximations pour des lois de

conservation hyperboliques stochastiques

scalaires

Sylvain Dotti

Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques de La Réunion

14 Juin 2018

Les conditions habituelles de l’espace probabilisé filtré

Soit T ∈ R+ ∗,

on considère dans tout cet exposé un espace probabilisé (Ω, F , P) muni d’une mesure de probabilité P complète, d’une filtration (Ft)_{t∈[0,T ]}

I complète i.e. F0 _{contient les ensembles de P-mesure nulle.} I continue à droite i.e. ∀t ∈ [0, T ], Ft =

\ s>t

Fs

On considère une suite (βk)_k∈N∗de mouvements browniens mutuellement indépendants, où chaque βk : Ω × [0, T ] → R est adapté à la filtration (Ft)_{t∈[0,T ]}.

On notera W (ω, t) =P

k∈N∗βk(ω, t)ek le processus de Wiener cylindrique associé à (βk)_k∈N∗ et à l’espace de Hilbert séparable H de base (ek)_k∈N∗.

Lois de conservation hyperboliques scalaires avec terme

source stochastique

Soit Td = Rd/Zd le tore de dimension d ∈ N∗,

I _{Φ : (x , ξ) ∈ T}d_{× R 7→ Φ (x, ξ) ∈ L2(H, R), où L}2(H, R) est l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt.

I A ∈ C2

(R; Rd_{) ayant ses dérivées à croissance au plus polynomiale,} On cherche les processus prévisibles u : Ω × [0, T ] → L1

Td
vérifiant I ∀p ∈ [1, +∞), ∃Cp∈ R+tel que E  sup t∈[0,T ] ku(ω, t)kp_Lp_(Td₎  ≤ Cp I du (ω, t, x ) = −divx(A (u (ω, t, x ))) dt + Φ (x , u (ω, t, x )) dW (ω, t) sous les hypothèses vérifiées ∀x , y ∈ Td, ξ, ζ ∈ R :

I kΦ (x , ξ) k2 L2(H,R)≤ D0 1 + |ξ| 2
I kΦ (x , ξ) − Φ (y , ζ) k2 L2(H,R)≤ D1 |x − y | 2_{+ |ξ − ζ|}γ
I u0∈ L∞ (Td)

Réflexions sur l’interprétation du terme source stochasique

Φ (x , u (ω, t, x )) dW (ω, t)

Un exemple : l’écoulement d’eau d’une rivière dont la topographie est mal connue crée une source d’incertitude dans la loi de conservation, qui peut être modélisée par un Φ (x , u (ω, t, x )) dW (ω, t), (voir [JXZ16]). Ce terme s’appelle couramment bruit multiplicatif gaussien.

On pourra consulter [SUQ;Xiu10;AA03] au sujet de la quantification de l’incertitude par des bruits gaussiens.

Le bruit gaussien ou bruit blanc gaussien est défini formellement comme la dérivée en temps d’un mouvement brownien. Hida le défini

rigoureusement comme la dérivée en temps du mouvement brownien au sens des distributions tempérées.

Citons [Hid82;K+80;Kuo92;Hid05;Kuo14] de Hida, Takenaka, Kubo, Kuo, pour une étude approfondie du bruit blanc selon l’école japonaise. L’école européenne a orienté sa recherche vers les formes faibles de solutions d’EDS ou d’EDPS.

Formulation cinétique des lois de conservation

hyperboliques scalaires avec terme source stochastique

Si ∀ϕ ∈ Cc∞ Td× Rξ
, le processus t 7→ R_Td_×R

ξϕ (x , ξ) 1u(x ,t,ω)>ξdxd ξ

est càdlàg, et s’il existe une mesure aléatoire

m : Ω → M+_b Td× [0, T ] × R
telle que Em Td× [0, T ] × R
< +∞, qui vérifie ∀ϕ ∈ C_c∞ _Td_{× R} ξ
, ∀t ∈ [0; T ], presque sûrement, Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) 1u(x ,t)>ξdxd ξ − Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) 1u0(x )>ξdxd ξ = Z t 0 Z Td×Rξ A0_{(ξ) .O}x(ϕ (x , ξ)) 1u(x ,t)>ξ dxd ξdr + Z t 0 Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) Φ (x , ξ) δu(x ,r )(d ξ) dxdW (r ) +1 2 Z t 0 Z Td×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) kΦ (x , ξ) k2L2(H,R)δu(x ,r )(d ξ) dxdr − Z Td×[0,t]×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) m (dx , dr , d ξ) alors u est une solution au problème de Cauchy de donnée initiale u0.

Solution cinétique généralisée

Suivant Perthame [Per02], nous définissons une solution cinétique généralisée f (x , t, ξ, ω) pour laquelle l’unicité sera prouvée :

I f : Ω × [0, T ] → L∞ Td× R; [0, 1]
prévisible I ∀R > 0, f ∈ L1

Td× [0, T ] × [−R, R] × Ω
I ∀t ∈ [0, T ], p.s., ∃ une mesure de Young νt,ω

sur Td_{× R telle que} pour presque tout x∈ Td, f (x , t, ξ, ω) = ν_xt,ω(ξ, +∞)

I ∀ϕ ∈ C∞ c Td× Rξ
, presque sûrement, t 7→R Td×Rξf (x , t, ξ, ω) ϕ (x , ξ) dxd ξ est càdlàg I ∀p ∈ [1, +∞), ∃Cp∈ R+: E  sup t∈[0,T ] Z Td Z R |ξ|p_νt,ω x (d ξ)dx  ≤ Cp I on a le dernier item de la solution cinétique en remplaçant 1u(x ,t)>ξ

par f (x , t, ξ, ω), δu(x ,r )(d ξ) par νxt,ω(d ξ), la donnée initiale 1u0(x )>ξ par f (x , 0, ξ) = ν0

Unicité de la solution cinétique

Grâce à une technique de dédoublement des variables inventée par Kruzkhov [Kru70] et utilisée par Debussche et Vovelle [DV10] pour les solutions cinétiques généralisées, nous obtenons :

I Si f est une solution cinétique généralisée de condition initiale 1u0>ξ avec u0∈ L∞(Td), alors il existe une solution cinétique u de condition initiale u0telle que f (x , t, ξ) = 1u(x ,t)>ξ presque sûrement et pour presque tout (x , t, ξ) ∈ Td× [0, T ] × R.

Sous les hypothèses de la définition de solution cinétique,

I Si u1, u2 sont deux solutions cinétiques, de conditions initiales u1,0, u2,0∈ L∞(Td), alors ∀t ∈ [0, T ],

Eku1(t) − u2(t) kL1_(Td₎≤ ku_1,0− u_2,0k_L1_(Td₎,

I Il existe au plus une solution cinétique u. Si elle existe, presque sûrement u ∈ C [0, T ]; L1 Td

Une suite de solutions généralisées approchées

a ses termes (fn₎

n∈N qui ne diffèrent d’une solution cinétique généralisée que par l’égalité du sixième item auquel il faut ajouter un terme d’erreur εn ϕ: [0, T ] × Ω → R dépendant de ϕ ∈ Cc∞(Td× R) : Z Td×Rξ fn(x , t, ξ, ω) × ϕ (x , ξ) dxd ξ − Z Td×Rξ fn(x , 0, ξ) × ϕ (x , ξ) dxd ξ = Z t 0 Z Td×Rξ A0_{(ξ) .O}x(ϕ (x , ξ)) fn(x , t, ξ, ω)dxd ξdr + Z t 0 Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) Φ (x , ξ) νx ,t,ωn (d ξ)dxdW (r ) +1 2 Z t 0 Z Td×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) kΦ (x , ξ) k2L2(H,R)ν n x ,t,ω(d ξ)dxdr − mn ω(∂ξϕ (x , ξ)) [0, t] + εnϕ(t, ω) où εn

ϕest un processus adapté, presque sûrement continu vérifiant lim

n→+∞_{t∈[0,T ]}sup 

εn_ϕ(t, ω)

Conditions d’existence d’une solution cinétique généralisée

faible au sens des probabilistes I

Soit (fn_{) une suite de solutions cinétiques approchées telles que}

I lim n→+∞f n_{(x , 0, ξ) = 1} u0(x )>ξ dans L ∞ Td× R
faible-∗, I ∀p ∈ [1; +∞), ∃Cp> 0 indépendante de n telle que

E sup t∈[0,T ] Z Td Z R |ξ|p_{d ν}n ω,x ,t(ξ) dx ! ≤ Cp

I _{E m}n _Td_{× [0, T ] × R}

≤ M où M > 0 est indépendante de n,

I lim

R→+∞E m n

Td× [0, T ] ×] − R; R[c

= 0 uniformément en n, alors il existe

Conditions d’existence d’une solution cinétique généralisée

faible au sens des probabilistes II

I une base stochastique ˜Ω, ˜F , ˜P, F˜t

t∈[0,T ], ˜W 

i.e. le processus de Wiener cylindrique ˜W est adapté à la filtration F˜t

t∈[0,T ], les vecteurs aléatoires ˜W (t) − ˜W (s) sont indépendants de ˜Fs quels que soient T ≥ t ≥ s ≥ 0,

I des mesures aléatoires ˜mn_{, ˜m : ˜Ω → M}+ b T

d_{× [0, T ] × R
,}

I des mesures de Young aléatoires ˜νn_{, ˜ν : ˜Ω → Y}1

Td× [0, T ] × R
, telles que

I ( ˜mn_{, ˜ν}n_{) a la même loi de probabilité que (m}n_{, ν}n_{) , ∀n ∈ N}∗_, I _{P-presque sûrement, il existe une sous-suite de ( ˜}˜ mn, ˜νn) qui converge

vers ( ˜m, ˜ν) dans M+_b Td× [0, T ] × R
× Y1 Td× [0, T ] × R
, I ˜f définie par ˜f (x , t, ξ, ˜ω) = ˜νx ,t, ˜ω(ξ, +∞) est une solution cinétique

Conditions d’existence d’une solution cinétique forte au

sens des probabilistes

L’existence d’une suite (fn_{) de solutions cinétiques approchées vérifiant} les quatre hypothèses précédentes, permet d’obtenir grâce à la méthode de Gyöngy et Krylov [GK96] :

I L’existence d’une solution cinétique u de condition initiale u0 I La convergence ∀p ∈ [1; +∞) de la suite de terme général

un(x , t, ω) = Z R ξν_{x ,t,ω}n (d ξ) = Z R (fn(x , t, ξ, ω) − 1ξ>0) d ξ

vers la solution cinétique u dans Lp

(Td_{× [0, T ] × Ω)} I La convergence ∀p ∈ [1; +∞) d’une sous-suite (unk_{(., t, ω))}

k∈N∗ vers u(., t, ω) dans Lp_(Td), ∀t ∈ [0, T ], presque sûrement.

Bibliographie I

Armando Arciniega et Edward Allen.« Rounding error in numerical solution of stochastic differential equations ». In : (2003) (cf. p.4).

Arnaud Debussche et Julien Vovelle.« Scalar conservation laws with stochastic forcing ». In :

Journal of Functional Analysis 259.4 (2010), p. 1014–1042 (cf. p.7).

István Gyöngy et Nicolai Krylov.« Existence of strong solutions for Itô’s stochastic equations via approximations ». In : Probability theory and related fields 105.2 (1996), p. 143–158 (cf. p.11).

Takeyuki Hida.« White noise analysis and its applications ». In : North-Holland Mathematics Studies. T. 74. Elsevier, 1982, p. 43–48 (cf. p.4).

Takeyuki Hida.Stochastic Analysis : Classical And Quantum : Perspectives Of White Noise Theory.

World Scientific, 2005 (cf. p.4).

Shi Jin, Dongbin Xiu et Xueyu Zhu.« A well-balanced stochastic Galerkin method for scalar hyperbolic balance laws with random inputs ». In : Journal of Scientific Computing 67.3 (2016), p. 1198–1218 (cf. p.4).

Stanislav N Kružkov.« First order quasilinear equations in several independent variables ». In :

Mathematics of the USSR-Sbornik 10.2 (1970), p. 217 (cf. p.7).

Izumi Kubo, Shigeo Takenaka et al.« Calculus on Gaussian white noise, I ». In : Proceedings of the

Bibliographie II

Hui-Hsiung Kuo.« Lectures on white noise analysis ». In : Soochow J. Math 18.3 (1992), p. 229–300 (cf. p.4).

Hui-Hsiung Kuo.« The Itô calculus and white noise theory : A brief survey toward general stochastic integration ». In : Communications on Stochastic Analysis 8.1 (2014), p. 8 (cf. p.4).

Benoît Perthame.Kinetic formulation of conservation laws. T. 21. Oxford University Press, 2002 (cf. p.6).

Charles SUQUET.Théoreme limite central. url :

http://math.univ- lille1.fr/~suquet/Polys/TLC.pdf(cf. p.4).

Dongbin Xiu.Numerical methods for stochastic computations : a spectral method approach.