On est souvent tenté d'utiliser la calculatrice pour effectuer des opérations basiques. L'outil est effectivement utile mais son utilisation systématique est une erreur et peut conduire à un manque de maîtrise des techniques calculatoires, rendant difficile la progression dans les problèmes, quelle que soit la capacité à raisonner. Maîtriser le calcul numérique est indispensable à plusieurs points de vue :
- pratiquer le calcul permet d'élaborer des stratégies personnelles qui mettent en jeu l'initiative, le raisonnement et les connaissances sur la numération et les propriétés des opérations ;
- c'est une aide à la conceptualisation. Lorsque le traitement des calculs ne présente pas de difficulté pour un élève, il peut concentrer son attention sur la notion nouvelle abordée sans avoir à se focaliser sur les calculs intermédiaires qui accompagnent la mise en place de la notion ;
- cela est une grande aide à la résolution de problèmes, l'élève ayant une bonne maîtrise des nombres étant capable de trouver rapidement des écritures simplifiées aidant à la lisibilité ;
- pratiquer le calcul aide aussi au développement de la mémoire ;
- le développement du calcul approché, utile dans la vie courante, permet d'anticiper un ordre de grandeur et d'éviter d'accepter des résultats aberrants ;
- et cela permet de ne pas être dépendant de la calculatrice... Un élève qui maîtrise le calcul numérique saura de toute façon mieux utiliser sa machine qu'un élève qui ne s'appuie que sur elle !
Les exercices qui suivent peuvent (et doivent) être faits sans calculatrice, ce qui n'empêche pas d'utiliser cette dernière pour vérifier les résultats.
Par la suite, poursuivez cette pratique et n'utilisez votre calculatrice que lorsque cela est utile ! Aucun rappel sur les techniques opératoires ou sur les nombres ne sera fait en classe de première S. I. Calculer avec des fractions
Définitions : une fraction est écrite sous la forme a
b où a est un entier relatif et b un entier non nul. Un nombre qui peut être écrit sous la forme d'une fraction est un nombre rationnel.
Rappel des règles de calcul : a. Simplifier une fraction : ka
kb= a b
b. Mettre au même dénominateur deux fractions pour les additionner : a b+ c d= ad bd+ bc bd= ad +bc bd c. Multiplier deux fractions : a
b× c d=
ac bd
d. Prendre l'inverse d'une fraction et diviser deux fractions : 1 a b =b a ; a b c d =a b× d c= ad bc ; a b c= a b× 1 c= a bc ; a b c =a×c b= ac b
Exercice 1 : Écrire sous forme de fractions irréductibles les nombres suivants (Attention aux priorités de calcul ! Penser à simplifier avant de calculer, en utilisant les critères de divisibilité et/ou la décomposition en produit de facteurs premiers.) :
A=4×3+8 4 B= 1 0,25 C= 432 192 D= 4 9− 2×13+1 13−1 E= 1−4×7 6
(
1−1 6)
2 F= 1−1 3 6 × 9 4− 1 5 Calcul numériqueExercice 2 : a et b désignant des nombres entiers non nuls, écrire les nombres suivants sous la forme d'une fraction, aussi simple que possible.
A=1 3+ a 5 B= 1 3+ 5 a−1 C= 3 2 a× 10 3 b D= a 2×
(
1− 1 a)
E= 1 ab−a×(
b 2− 1 b)
F= 3√
2 1+√
3× 4√
18 1−√
3 Il est possible de vérifier les résultats avec lelogiciel Xcas :
Exercice 3 : Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions définies par les expressions suivantes : f (x )= 1 2 x−4 g ( x)= 2 x−3 5 x +4 h( x)= x +3 x2−9 k ( x)= 1 x−3 II. Calculer avec des racines carrées
Définition : la racine carrée du nombre positif a est le nombre positif dont le carré est a . Pour tout a ∈ ℝ+,
{
√
a⩾0 (√
a)2=a Rappel des règles de calcul :a. Important : la définition de la racine carrée d'un nombre étant liée à la multiplication (par le carré), aucune règle de calcul n'existe avec l'addition !
b. Multiplier deux racines carrées : a et b étant positifs,
√
a×√
b=√
ab c. Diviser deux racines carrées : a étant positif et b strictement positif,√
a√
b=√
a bd.
√
ab existe dès que a et b sont de même signe (tous les deux positifs ou tous les deux négatifs...) Si a est positif,√
a2=aSi a est négatif,
√
a2=−a ( −a désigne l'opposé de a et est ici positif ! Exemple :√
(−3)2=3 ) Exercice 4 : Simplifier les écritures suivantes :
A=
√
28×√
35 B=(4√
3−5)(2√
2−√
3) C=(7+3√
5)2 D=3√
5×5√
2×2√
15 E=√
200 F=(2√
5)3 G=√
√
1 H=√
1−√
25 I=(√
3)6 J=√
100 000 000Exercice 5 : Écrire sans racine carrée au dénominateur : A=6+2
√
3√
3 B= 7 2√
7 C= 5 1+√
2 D=√
5+2√
3 5√
3−√
5Exercice 6 : Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions définies par les expressions suivantes : f (x )=
√
x g ( x)=√
−x h( x)=√
2 x−5 k ( x)=√
−3 x +4 x l (x )=√
2 x−4√
−3 x+9 k ( x)=√
2 x−4−3 x +9 . Les fonctions l et k sont-elles égales ? III. Calculer avec des puissances
Exercice 7 : Simplifier les écritures suivantes : A=213×14−3 B=235×0,536 C=b 2 a3× a2 b3× b a D= 5n−2 5n+ 2 E= (a−2b)4×(−a2b)−1 (−ab−1 )−3
