Chapitre VII Energie électrostatique

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partie

Chapitre VII Energie électrostatique

I. Définition

L’énergie électrostatique W d’un système de charges, supposées initialement éloignées les unes des autres, correspond au travail qu’il faut fournir pour amener ces charges à leurs positions finales.

II. Energie d’une charge ponctuelle placée dans un champ E

Pour une charge q se déplaçant de A à B dans le champ E, le travail de la force électrostatique est :

III. Energie d’un système de charges ponctuelles

Chacune des charges est soumise à l’action du champ électrostatique créé par les autres charges. Initialement toutes les charges étaient éloignés les unes des autres et à l’infini :

- On amène q₁ de l’infini à A₁ : W₁=0 car E=0,

- On amène q₂ de l’infini à A₂ : En A₂ le potentiel V₂ créé par q₁ est :

, l’énergie potentielle de q1 est donc :

- q₁ en A₁, q₂ en A₂, on amène q₃ de l’infini à A₃ : En A₃ le potentiel sera :

23 0 2 13

0 1

3

4 r

q r

4 V q

+ πε

= πε

23 0

3 2 13

0 3 1 3

3

4 r

q . q r

4 q . V q

.

q + πε

= πε

WAB = q (VA - VB) = qV

12 1 0

2

r

q 4

V 1

= πε

12 0

2 1 2

2

4 . r

q . V q

.

q = πε

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof . R.Tadili

L’énergie totale sera : ⁱ

i i

j

i j

ij 0

j

i

q . V

2 1 r

4 q . q 2

W 1 ∑ ∑ = ∑

= πε

≠

Le terme ½ provient du fait que dans l’interaction entre q_i et q_j est comptée 2fois.

IV. Energie d’une distribution continue de charges

On se ramène à un ensemble de charges ponctuelles en divisant la charge totale en dq :

Distribution volumique :

^{W = 1} ₂ ∫∫∫ ^{ρ . V . d τ}

Distribution surfacique :

= ∫∫ σ

. V . ds 2

W 1

Distribution linéïque :

= ∫ λ

c

dl . V 2 .

W 1

V. Energie d’un système de conducteurs chargés en équilibre électrostatique

Cas d’un seul conducteur

La charge portée par un conducteur est surfacique, caractérisée par sa densité σ. On a : = ∫∫ σ_S

. V . ds

2

W 1

charges sont au même potentiel V , donc : = ∫∫_Sσ =

Q V , 2

dS 1 .

2 V W 1

Or Q = C.V, donc :

C

² Q 2

² 1 V . 2 C V 1 . 2 Q

W = 1 = =

Cas d’un système de n conducteurs

Chaque conducteur porte l’énergie : i

Q

. V

2

W = 1

Pour n conducteurs l’énergie totale sera : i i i

V . 2 Q

W = 1 ∑

VI. Energie d’un condensateur chargé

L’énergie d’un condensateur dont les charges des armatures sont

respectivement +Q et –Q et sont aux potentiels V₁ et V₂, à pour expressions :

( ) ( )

C

² Q 2

² 1 V V . 2 C V 1

V . 2 Q

W = 1

−

=

−

=

Localisation de l’énergie électrostatique

L’énergie électrostatique provient de la force électrostatique donc du champ électrostatique. L’énergie électrostatique est donc localisée dans l’espace ou existe le champ électrostatique c'est-à-dire entre les armatures du

condensateur (et non sur les armatures ou le champ est nul).

Exemple : condensateur plan Dans ce cas on a :

e V E = V¹ − ²

L’énergie est localisée entre les armatures c.à.d dans le volume : V = S.e

( ) ^v

2

² e E

2 S

²

² E e

² e E

S 2

² 1 V V 2 C W 1 e ,

C S

Puisque

ε = ε =

=

− ε =

=

On définit la densité d’énergie par :

2 E d

dW ε

² τ =

A partir de la densité d’énergie on peut calculer l’énergie W par :

⁼ ∫∫∫ ^{ε τ}

espace

0

E d

2

W 1 ²