Leçon 6 Rapports et proportions

Leçon 6 Rapports et proportions

Activités

Dans votre classe:

a.

_Quel est le rapport entre le nombre de

filles

et celui des garçons ?

b.

Quel ^est le rapport entre le nombre de

filles

et le noimbre

total

d'élèves ?

c.

Quel ^est le rapport entre le nombre de garçons et le nombre total d'élèves ?

Le cours

l. Rapport

de

deux

grandeurs

Le rapport de deux grandeurs de même espèce est le nombre par lequel

il

faut multiplier la seconde pour obtenir la première.

Exemple

I

^:

Un

segment de droite

(AB)

a pour longueur

la _A

somme des longueurs des 3 segments de longueur CD.

Donc

_{AB =}

CDx3 e

AB

=3xCD

^.

9 u lc-?;e oui s'écrir:

Le

nombre 3 est le rapport des longueurs des segments

ln-\ u _lC-i;e qui s'écrit:

ABô

CD

on

voit de même

que

CD

=! 3AB3 rc o ? ::

^.

Exemple

2:lJnsegment l1Blupour

^longueur

la

C

D

-

_{somme de longueurs} des 4 segments

ayant ----+-t

eux même pour longueur un septième de la

longqeur r--.,,-1--ff

CD.

AB

B

Donc

AB

=-CD.

4 I 7

Le rapport des segmen

t" [nJ ^et ICD]est I ₇

^.

^on

^écrit

^, + _CD-1 ^:+

^.

^ CD7

De même

- AB 4. ⁼ -.

^{On.voit ainsi que :}

Le

rapport de deux grandeurs constitue

la

mesure de la

première grandeur

Iorsqu'on

prend

Ia seconde

pour unité.

Exemple :

Si AB

₌

I

mètre, on

obtient :

^CD

=f ^d.

rnetr".

3 Exemple 3 ^:

L'échelle d'un

plan _: ^{ou l:50 000}

est le rapport de la distance sur le

plan

et de 50000

la distance réelle correspondante exprimées avec la même

unité

signifie que

lcm srr

le plan représente

50000c2

dans la réalité.

Exemple 4 ^:

Cette année, un père ^a 45 ans et son

fils a

I

I

ans.

Mathématique C4-24

- Si

l'âge du frls est

I'unité,

l'âge de son père égale

a €

_O.

_celui

_{de son} fils. On

dit

ll

que le rapport d'âges de ce père et de son

fils est 3 ll ^{ou 45:ll}

^.

- Si

l'âge du père est

I'unité,

l'âge de son

fils

égale a

I

^O.

^celui

de son père. Le 45

rapport d'âges du

fils

et de son père est

I

₄₅

^ou

^I

^l:45.

Exemple 5 ^:

La

distance entre la Terre et le soteil est 149,6

millions

km et une année lumière égale

à 9500000 millions

km.

Le

rapport de distance de la Terre au soleil et d'une année lumière est

-!!?'-u- - =Él5x ^l0-s

d'années lumières

(unité

: une année lumière)

9s00000

Exemple 6 ^:

On considère la Terre pour unité de volume. Les volumes respectifs du Vénus, du Mars, du Jupiter et du Sature sont 0,91, 0,15

,

^{1317 et 762 .}

On a le rapport de

volumes

^:

- du Vénus et du

Jupite, ' , r3r7 ^o'nt =

13t700⁹¹ - du Mars et du Jupite,

,

^o'l

t

=

^I

^ r3t7

⁸⁷⁸⁰

-

du

Sature et du

Jupite, ' , r3t7 ⁷⁶² =254

^439. - de la Terre et du

Jupiter r

^t

1 ^l3l7

Exemple 7

:Le

rayon de la lune ^est de

3476km

Le rayon de la Terre est

de 6378388m

Le rayon du soleil est de

l39lOOOkm

On

a:

'

.

Le

rappor,t du volume de la lune par rapport à celui du soleil est de :

,

_'1391000'

³⁴⁶⁷ ;:

^{155 x lo-ro.}

-

Le

rapport du volume de la Terre par rapport à celui du soleil est de :

(6378'388)

'1391000'

³

=

946" lo-'0.

Mathématique C4-25

Exemple 8 : Pour repiquer une rizière ^:

-

Thao Kham met 6h, Nang Ly met 3h et Thao Sy met 4h.

l.

Combien

faudrait-il

de temps si Thao

Kham

et Thao Sy repiquaient ensemble ?

2. Combien

faudrait-il

de temps si ces

tr

is personnes repiquaient ensemble ?

Solution:

Méthode

l.

Considérons cette

rizière

pour unité, on a ^:

l.

Pendant

lh:

- Thao Kham a

repiqué '64 - tl

^de rizière et Thao Sy a repiqué

a

- Ces deux personnes ont repiqué ensemble :

I I 4+6 l0

⁵

-+-- 64 6x4 24 - =---

¹²

^denzlere

Donc le temps met par ces deux personnes est

:

I

:

+ : 2

_{= 2,4h}

_=2h24'

l2

2. Pendant

lh:

I _. ^l

- Thao Kham a

repiqué '6 ;

^{de rizière, Nang}

^Ly 7

^etThao

^Sy ;

-

Ces ffois personnes ont repiqué ensemble :

3 ^{-- -^'--} -J 4' I I I 3x 4+6x4+6x3 54

³

-J-_J--

6346x3x4724

-

::-- =:

^{de rizière}

Donc le temps met par ces trois personnes est :

1=-:-:Ih20' t4 '- 3

3

4

Méthode

2.

_r

Considérons : une rizière pour unité,

/

^{le temps cher-ché,} on a ^:

l.

Pendant

lh:

-

Thao Kham a

repiqué

]

^A"

^,irier.

^{et Thao Sy a repiqué}

¹

^.

-

Ces deux personnes ont repiqué ensemble

' I 64 ^{* 1}

On obtient

l'équation

' tl '4 ^* _{l), 6'} ^=r.

l0 -- t- ^{I ou l0r} =24=t--'

²⁴

=2h24',

24 l0

Mathématique C4-26

2. Pendant

lh:

- Thao Kham a

repiqué ' 6 I

^{, Nung}

^r-y '3 | _"t

^Thao

^Sy l.

₄

I I I 3x4+6x4+6x3

= Ces trois personnes ont repiqué ensemble

: _- +: *;

=

6 3 4 6x3x4 on

obtient

l'équation' (; -

J *

|lt

⁼

^t.

54724 -'t-1.+t:

72543

Conclusion:

Le

temps mis

par

une équipe d'ouvriers

pour

elfectuer

un travail

donné est inversement

proportionnel au

nombre

ouvriers

de l'équipe.

Exemple : Un travail est effectué par une équipe de 3 ouvriers.

On supposons que :

. a

est le temps mis par le premier ouvrier ;

. b

est le temps mis par le deuxième ouvrier _;

. c

^{est le} temps mis par le troisième

ouwier

;

On ontient donc ^:

o

Le temps mis par une équipe de 2

ouwiers

est :

1_

lab

"lla+b' -+- ab

o

Le temps mis par une équipe de 3 ouvriers est ^:

7

^abc

"-l I l-bc+ac+ab'

;*, o*;

Exemple 9 :

Le premier

et

le second robinet peuvent

remplir

un réservoir respectivement

en 30mn.et

20

mn.

Le troisième

faut

40

mn

pour vider ce réservoir.

Combien

faudrait-il

de temps pour

remplir

ce réservoir si les

trois

robinets

'

_{boulàient ehsemble ?}

Solution:

D'aprèslaformule t= , jJ ⁼ br#ib

;- i-;

On

obtient t 1= ,- 1,

. -

^abc

t-*1-1 bc+ac-ab' ctbc

| 24000 240

¹²⁰

j--

-l l!frn

I I I

800

+1200-600 t4 7

^'

30 20

⁴⁰

Mathématiqte C4-27

7.

2.

Proportions Définition

On appelle

proportion

l'égalité de deux rapports ou plus.

Les nombres

A,

_{B ,}

C

sont en

proportion

aux nombres

3,4,5

, on écrit ^: A:

B:C :3:4:5 _{sisnifie 4}

₌

₂ :9

J4s

Propriété

Les nombres

A, B, C

^{sont en} proportion aux nombres

3,4,5

^:

. A B C A B C

t-a

^A+B+C

l. -=-

- ---

5453453+5+7

n A3A3B 4 A

³

' -=_ -=_ -=- :-

B 4' c s' c 5' A+B+c 3+5+7

^.

Exemple l:

Partageons une somme de 45 000

kips

en parties proportionnelles à 3, 5 et

Solution:

Il s'agit

de

houver trois

nombres

r, y, z

tels que :

x: y

^:

z=3:5:7 signifie : 3 57

⁼

^{+ =1}

Lapropriété l permetd'écrire , :=+='-= I* ^y-*1=

^otro-oo

₌₃₀₀₀ 3s7 3+5+7

¹⁵

On obtient donc ^:

x-45ooo=3ooo+x:9ooo

3-

¹⁵

Y 515 _{-45000 =3000} + ^v-15

^ooo

z -45ooo =3ooo ).2 =21 ooo

^r

7t5

Exemple 2:Partageons 2409 en troiÈ parties proportionnelles aux nombr-es

-. I et -. 2'3 ll

Solution:

Il s'agit.detrouver' trois

nombres

x, y, z

tels que ^:

llxyz

x: y

i z =

t,r:- ^{slgruile T =T=T}

23

La propriété

I

permet

d'écrire

^:

* _! _Z_x+y+z _ ^{2409 _6x24O9} _:6x219 I I I 1,,,1 3+6+2 ^1l

t 3 1-'-t

⁶

On obtient donc :

. : I2 :6x219+2x=6x219 et ,-6x2I9 =657

2

. ^Y t' -6x219=v=1314

Mathématiqte C4-28

. 1=61219+32=6x219 et ,-6x219 ₌₄₃₈ l?

3

Exemple

3

: Former en

proportion

le volume de la lune par rapport à

celui

de la Terre, à celui du soleil.

Solution:

- La propriété 2 permet

d'écrire

^:

-=

^tss

^{t lo} tl^o

^{= 1ss}

l

l0lxt0-10 +t

946xlo-10 '946xlo-lq

=946 ^a.

l55x10-10 +946x10-10 +t

I

lOtxt0-10 +t

I _tolo

=

On a

donc':

155

xl0-to :946x

l0-10 : I ₌ 155

:946:l}to.

Exemple

4:Laproportion

entre les superficies du Laos, de la Thailande, du Vietnam et du

Cambodge:

236800 : 514000

:329556:

181035

=l:2,17 :1,39:0,76.

Mathématique C4-29

Exercices

I.

Trouver la valeur des rapports suivants ^:

l. 8cm :3m. 2. l2kml

h : 40kml

h. 3. l2kml

h :

lÙml

sæ,.

4.

2

pence;$I2. 5.

$5,50 ^:

$125. ^6.

^{30 pièces}

^{par lF.}

7. lom:lkm 8.

4cm2 '.l0mm2

. 9. lg lkg.

10.

I acre:l

hecnre.

(lacre:4}47 m2, lhectare=10000n2).

II. Rapports

l.

^On

^tire

au hasard une carte dans un jeu _{de 52 cartes.}

Quelle ^est la probabilité

d'obtenir

un cæur ?

2. ^En

1988 , dans un pays

il y

a 3 913 000 naissances par rapport à246

millions populations.

Combien

y a-t-il

de naissances par rapport à

I

000 populations ?

3.

^En

1988,

dansunpays

lly a2171

000 mortalités

parrapport

à1246

millions

populations. Combien y

a-t-il

de mortalités par rapport à

I

000 000 populations ?

- 4.

Un

robinet

coule

l2l lmn.

Combien faudrait-il de temps pour remplir un récipient de 3901?-

5.

^Pour

obtenir lkg

de farine,

il faut Ilkg

^{de À2.}

Combien

faudrait-il deriz

pour obtenir 3kg de

farine

?

6.

^Compléter les pointillés.

lcm:O,3937

inch

; ^I

^inch

=KK

^cm

I foot:0,3048 m; ^I m:KK

_-feet

I m:1,0936 yards; I yard:KK

^m

I km:O,621 mile; ^I mile:KK ^km

I gram

^:O,O3527

ounce; I ounce:K K q I kg:),2g46pounds; I pound:KK

frg

I gallon:3,7854lliters ; ^{I liter} =KK ^gallon I hectare:2,470966 acres; I acre=KK

ha

I

hectare

:10000 m2; .

^L

^acre=KK

^m2

7.

^{Sur le}

^plan,

¹

^cni

repiésente

150km

dans la réalité.

a.

_Quelle est la distance réelle en km entre deux

villes A

et B de

3,2 cm

^?

b.

Une voiture part de

A

vers

B

à la vitesse moyenne

50kmlh.

À

quelle heure doit-elle

partir

de A pour

arriver

à B à 17h00 ?

c.

Si cette voiture consomme

l2kmll.

_Quelle est la somme.à payer sachant qu'un

litre

d'essence coûte 8000 kops ?

8. Une

ancienne photocopieuse

travaille

20 pages

par

minute ne

nouvelle 80

pages par minutes.

a.

Pour photocopier 800 pages, combien

faudrait-il

de temps mis par I'ancienne machine ? et la nouvelle machine ?

b.

Combien faudrait-il de temps si ^ces deux machines travaillent ensemble ?

Mathématique C4-30

9.

^Un canot descend puis remonte en même durée un fleuve sur des longueurs respectives 20km et

l0

km ^.

a.

Quelle est la vitesse de ce canot en eaux tranquiles si la vitesse du courant d'eau est

de2

km/ h?

b.

_{Quel est} ^le temps mis pour remonter sur une longueur

de

16 km ?

c.

_{Quel est} le temps mis pour descendre 8

km,

remonter 8

km

avec un arrêt de

l5min

?

10.

Le premier

et

le second robinet peuvent remplir un réservoir respectivement

en

20mn et 15

mn. Le

troisième faut 5

mn

pour vider ce réservoir. Combien

faudrait-il

de temps pour vider ce réservoir si les trois robinets coulaient ensemble ?

I

l.

La vitesse du vent est de 5 km/ h .

Un

cycliste parcourt vers le sens contraire du vent et retourne en même durée sur des distances respectives 5

km et

L5km.

Avec la même vitesse, combien

faudrait-il

de temps pour parcourir une distance de

I5km

vers

le

sens contraire du vent. si la vitesse du vent est de 4kml

h

^?

Mathématique C4-31

ru. Proportions.

l.

Partager 246 en trois parties proportionnelles

à 1j:2:3 _!

^.

2.

Partager une somme de 15 000

kips

en trois parties proportionnelles

à :,:,:

3.

^Le périmètre d'un triangle est

de

3600m. ^Ses

trois

"ote.

^.ont p.oportio2rn 3tr6^

,,

4 et 5.

Calculer la longueur de chaque côté de ce triangles.

4.

Une somme de

l3

F compose des pièces de

l0

centimes et de 5 centimes.

.

Sachant que le nombre de pièces

de

10 centimes et

celui

de pièces de 5 centimes sont

égaux,

calculer le nombre

total

de

pièces.

5.

^{Partager 21} 000 kips en deux paries dont la première est égale

uu* I .

_{de la deuxième.}

4

6.

^Partager

l2kg

de fruits en parties proportionnelles à

45,48

et42.

7

.

^L'àge

^d'une

grand-mère est égal au double de

celui

de sa

fille

et quatre

fois

de celui de sa

petite fille.

La sornme des âges de ces trois personnes est

9l

ans.

Trouver

l'âge de chacun.

- 8.

^{Partager une somme de 14 000}

^kips

^{aux trois}

^filles

^{et un garçon de façon que la part}

^de

^"

la

frlle soit

égale au double de la part du garçon.

9. À

une banque, Nang Pa a placé une somme de 400 000 kips pendant 9

mois

et Nang Pou a

placé

300 000 kips pendant 8 mois. Elles ont

rapporté

une somme de 25 000 kips de plus.

Quelle est la part de chacune ?

10. Si x:y:3]:2!

^et

jtz=ll,zi.Calculer x:y:2.

I

1.

Un

travail

e_st effectué par une équipe de 5 ouvriers en 2h.

Combien

faudrait-il

de temps pour une équipe de 12 ouvriers pour effectuer ce même travail ?

Mathématique C4-32