CHAPITRE 2 DIMENSION

DIMENSION

Dans cette séance, on fixe un espace vectorielV surR.

2.1. Familles génératrices, familles libres

2.1.1. Définition. — Soient n∈Net (x_i)ⁿ_i=1 une famille denéléments deV. Soit f :Rⁿ →V l’application linéaire qui envoie(a₁, . . . , a_n)∈Rⁿ sura₁x₁+· · ·+a_nx_n. (a) On dit que (x_i)ⁿ_i=1 est une famille libre si l’application f est injective, ou de

façon équivalente,a1x1+· · ·+anxn=0entraînea1=· · ·=an= 0.

(b) On dit que(x_i)ⁿ_i=1est unefamille génératriceou queV estengendré par(x_i)ⁿ_i=1 si l’applicationfest surjective, ou de façon équivalente, tout élément deV s’écrit comme une combinaison linéaire de(xi)ⁿ_i=1.

(c) On dit que (xi)ⁿ_i=1 est unebase deV s’il est en même temps une famille géné- ratrice et une famille libre, ou de façon équivalente, tout élément de V s’écrit de manière unique sous la formea₁x₁+· · ·+a_nx_n avec(a₁, . . . , a_n)∈Rⁿ. On dit que V est un espace vectoriel de dimension finie surRs’il admet une famille génératrice formée par un nombre fini d’éléments deV.

2.1.2. Remarque. — SoientV un espace vectoriel surRet(xi)ⁿ_i=1une famille libre dansV. Alors les vecteurx₁, . . . , x_nsont distincts. En effet, siietjsont deux indices différents dans{1, . . . , n}tel quexi=xj, alors on axi+ (−1)xj = 0et donc la famille (xi)ⁿ_i=1 ne peut pas être libre.

2.1.3. Proposition. — Soient V un espace vectoriel sur R et (x_i)ⁿ_i=1 une famille génératrice deV, oùn∈N. Alors il existe un sous-ensembleI0 de{1, . . . , n} tel que (xi)_i∈I0 forme une base de V. En particulier, tout espace vectoriel de dimension finie sur Radmet une base.

8 CHAPITRE 2. DIMENSION

Démonstration. — Soit Θ l’ensemble des sous-ensembles I de {1, . . . , n} tels que (x_i)_i∈I forme une base de V. Cet ensemble est non vide car {1, . . . , n} ∈ Θ. On choisit un élément I0 deΘdont le cardinal est minimal. Montrons par absurde que la famille(xi)i∈I₀ est libre. Supposons qu’il existe(bi)i∈I₀ ∈R^I0 tel que tous lesbi ne sont pas nuls et queP

i∈I₀b_ix_i=0. Soiti₀∈I₀tel que b_i0 6= 0. On a alors

(2.1) x_i0 =− X

i∈I₀\{i₀}

b_i bi₀

x_i.

Soity un élément général deV, qui s’écrit comme y=X

i∈I0

aixi.

En utilisant (2.1) on peut réécrirey sous forme de

y= X

i∈I\{i0}

a_i−ai₀bi

b_i0

x_i.

Ainsi(xi)_i∈I0\{i0}forme aussi une famille génératrice deV, c’est-à-direI\ {i0} ∈Θ.

Cela contredit l’hypothèse quecard(I₀)est minimal. La famille(x_i)_i∈I0 est donc libre et génératrice, c’est-à-dire une base deV.

2.1.4. Définition. — Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur R. On ap- pelledimensiondeV le plus petit cardinal des familles génératrices deV, notédim(V).

La proposition 2.1.3 montre que toute famille génératrice de V de cardinal dim(V) est nécessairement une base.

2.1.5. Proposition. — SoitV un espace vectoriel de dimension finie sur R. Toute famille libre deV est contenue dans une base deV et toutes les bases deV ontdim(V) comme cardinal.

Démonstration. — Soit n la dimension de V. Soit (y_j)^m_j=1 une famille libre de V. Montrons que (yj)^m_j=1 est contenue dans une base de V de cardinal n. Par la pro- position 2.1.3 on obtient l’existence d’une base (xi)ⁿ_i=1 de V dont le cardinal est la dimension deV. On construit de façon récursive une base deV ayantncomme car- dinal et qui contient(y_j)^m_j=1. Quitte à faire des permutations, on peut supposer sans perte de généralité que

x₁=y₁, . . . , x_{`</sub>=y<sub>`} et que

{x1, . . . , xn} ∩ {y1, . . . , ym}={x1, . . . , x`}.

Si m=`, alors (yj)<sup>m</sup><sub>j=1</sub> est déjà contenue dans(xi)<sup>n</sup><sub>i=1</sub>; sinon on am > ` et on écrit y`+1 sous la forme

a1x1+· · ·+anxn =a1y1+· · ·+a`y`+a`+1x`+1+· · ·+anxn.

Comme(yj)^m_j=1est une famille libre, tous les coefficientsa`+1, . . . , anne sont pas nuls car sinon

a₁y₁+· · ·+a_{`</sub>y<sub>`}+ (−1)y`+1= 0.

Sans perte de généralité, on peut supposer quea`+16= 0. Montrons que la famille (y1, . . . , y`+1, x`+2, . . . , xn) = (x1, . . . , x`, y`+1, x`+2, . . . , xn)

est génératrice (et donc forme une base de V). Soit z un élément général de V, qui s’écrit comme

z=b₁x₁+· · ·+b_nx_n. On a

x<sub>`+1</sub>= 1 a`+1

y_`+1− X

i∈{1,...,n}

i6=`+1

a_i a`+1

x_i,

et donc

z= b`+1

a`+1

y`+1+ X

i∈{1,...,n}

i6=`+1

bi−b`+1ai

a`+1

xi.

Si on itère cette procédure, on obtient enfin une base deV de cardinalnqui contient (y_j)^m_j=1. Le premier énoncé est donc démontré. Enfin, si(y_j)^m_j=1 est une base de V, on am6ncar(yj)^m_j=1 est contenue dans une base deV de cardinaln, etm>npar définition. On en déduit doncm=n.

2.1.6. Corollaire. — SoientV un espace vectoriel surR etW un sous-espace vec- toriel deV tel queW (V. Alors on adim(W)<dim(V).

Démonstration. — Soit(xi)^m_i=1une base deW. C’est une famille libre dansV. D’après la proposition 2.1.5,(x_i)^m_i=1est contenue dans une base deV. CommeW (V,(x_i)^m_i=1 n’est pas une famille génératrice deV et donc n’est pas une base deV. Donc on obtient m= dim(W)<dim(V).

2.1.7. Remarque. — (1) SoitV un espace vectoriel de dimension finie surR. Soit (xi)ⁿ_i=1 une famille de vecteurs dansV, oùn= dim(V). Si la famille(xi)ⁿ_i=1est libre ou génératrice, alors elle est nécessairement une base de V.

(2) Soitn∈N. Les vecteurs(e_i)ⁿ_i=1forme une base deRⁿ, appelée labase canonique deRⁿ. Ainsi la dimension de l’espace vectorielRⁿ est égale à n.

2.1.8. Théorème (théorème du rang). — SoientV etW deux espaces vectoriels de dimension finie surR, etf :V →W est une application linéaire. On a

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

En particulier, dans le cas oùV etW ont la même dimension,f est un isomorphisme si et seulement si elle est injective.

10 CHAPITRE 2. DIMENSION

Démonstration. — Soient(xi)^m_i=1une base deKer(f)et(yj)ⁿ_j=m+1une base deIm(f).

Pour toutj∈ {m+ 1, . . . , n}, on choisit un élémentx_j deV tel quef(x_j) =y_j. Mon- trons que les vecteursx1, . . . , xm, xm+1, . . . , xnforment une base deV. On commence par vérifier que la famille (xi)ⁿ_i=1 est libre. Soit(ai)ⁿ_i=1∈Rⁿ tel que

a₁x₁+· · ·+a_nx_n =0.

On a alors

0=f(a₁x₁+· · ·+a_nx_n) =a_m+1y_m+1+· · ·+a_ny_n.

Comme (yj)ⁿ_j=m+1 est une famille libre, on a am+1 =· · · =an = 0et donc a1x1+

· · ·+amxm= 0. Comme(xi)^m_i=1 est une famille libre dansV, on en déduita1=· · ·= a_m= 0.

Soientxun élément deV etysont image parf. On écritycommey=b_m+1y_m+1+

· · ·+bnyn. Soit

x⁰=x−b_m+1x_m+1+· · · −b_nx_n. On a

f(x⁰) =f(x)−bm+1f(xm+1)− · · · −bnf(xn) =y−

n

X

j=m+1

bjyj=0.

Ainsix⁰ appartient au noyau def. Donc il existe (bi)^m_i=1∈R^mtel que x⁰=b₁x₁+· · ·+b_mx_m.

Ainsi

x=x⁰+bm+1xm+1+· · ·+bnxn=

n

X

i=1

bixi.

Dans le cas oùdim(V) = dim(W), sif est injective, on adim(Ker(f)) = 0et ainsi dim(Im(f)) = dim(V) = dim(W). Donc on aIm(f) =W.

2.2. Formes linéaires

2.2.1. Définition. — Soit V un espace vectoriel surR. On appelle forme linéaire surV toute application linéaire de V dansR.

2.2.2. Proposition. — Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur R et (ei)ⁿ_i=1 une base de V. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, soit πi : V → R la forme linéaire qui envoie λ1e1+· · ·+λnen sur λi. Alors (πi)ⁿ_i=1 forme une base de L(V,R). En particulier, L(V,R)est de dimensionn.

Démonstration. — Soitϕ:V →Rune forme linéaire. Pour tout(λ1, . . . , λn)∈Rⁿ, on a

ϕ(λ₁e₁+· · ·+λ_ne_n) =

n

X

i=1

λ_iϕ(e_i) =

n

X

i=1

ϕ(e_i)π_i(λ₁e₁+· · ·+λ_ne_n).

AinsiL(V,R)est engendré par(πi)ⁿ_i=1. Il reste à montrer que la famille(πi)ⁿ_i=1 est libre. Soit(a₁, . . . , a_n)un élément deRⁿtel quea₁π₁+· · ·+a_nπ_nsoit la forme linéaire nulle. Si on applique cette forme linéaire àei on obtientai= 0.

2.3. Droites et plans

2.3.1. Définition. — On appelledroite tout espace vectoriel de dimension1surR. Toute droite est engendré par un vecteur non nul.

Soit V un espace vectoriel sur R. On dit que deux éléments x et y de V sont colinéaire s’il existe (a, b)∈R²\ {(0,0)}tel que ax+by=0.

2.3.2. Proposition. — SoitV un espace vectoriel surR. Deux éléments xet y de V sont colinéaire si et seulement s’il existe une droites dans V qui contient{x, y}.

Démonstration. — “⇐=” : Soit z un élément non nul de V tel que la droite Rz contient {x, y}. Il existe alors des nombres réels λ et µ tel que x= λz et y = µz.

Si (λ, µ) = (0,0), alors on ax =y = 0et donc x+y =0. Si (λ, µ)6= (0,0), alors (a, b) = (−µ, λ)appartient àR²\ {(0,0)}et

ax+by=−µx+λy=−µλz+λµz=0.

“⇐=” : On suppose que(a, b)∈R²\ {(0,0)} est tel que ax+by =0. Sans perte de généralité, on peut supposer que a6= 0 et donc x=−_a^by. Si y = 0alors x=0 aussi et{x, y}est contenu dans n’import quelle droite dansV. Siyest non nul, alors {x, y}est contenu dans la droite engendré pary.

2.3.3. Définition. — On appelle plan tout espace vectoriel de dimension 2sur R. Tout plan est engendré par deux vecteurs qui sont non colinéaire.

2.3.4. Exemple. — Soitϕ une forme linéaire non nul sur R³. L’application ϕest surjective et la dimension de son image est1. D’après le théorème 2.1.8, le noyau de ϕest de dimension2et donc est un plan dansR³.

2.4. supplémentaire

2.4.1. Définition. — SoientV un espace vectoriel surR,EetF deux sous-espaces vectoriels deV. On dit queEetF sontsupplémentaires l’un à l’autresi tout élément xdeV s’écrit de façon unique commexE+xF, oùxE∈E et xF ∈F.

2.4.2. Proposition. — Soient V un espace vectoriel sur R, E et F deux sous- espaces vectoriels deV. Les sous-espaces vectorielsE etF sont supplémentaires l’un à l’autre si et seulement si E∩F ={0} etE+F :={x+y|(x, y)∈E×F}=V.

12 CHAPITRE 2. DIMENSION

Démonstration. — “=⇒” : Soitx∈E∩F. On a x=x+0=0+x.

Par l’unicité de l’écriture dexcomme la somme d’un vecteur dansEet d’un vecteur dansF, on obtientx=0. En outre, par définition on aE+F =V.

“⇐=” : Il suffit de montrer l’unicité. Soit xun élément deV, qui s’écrit comme x=xE+xF =x⁰_E+x⁰_F,

où{xE, x⁰_E} ⊂E et {xF, x⁰_F} ⊂F. On a alors xE−x⁰_E =x⁰_F−xF ∈E∩F ={0}, d’oùxE=x⁰_E et xF =x⁰_F.

2.4.3. Proposition. — Soient V un espace vectoriel sur R, E et F deux sous- espaces vectoriels deV qui sont supplémentaires l’un à l’autre.

(1) L’applicationpdeV dansF qui envoie x∈V sur xF est linéaire.

(2) Pour toutx∈F on a p(x) =x. En particulier, l’applicationpest surjective.

(3) On ap◦p=p.

(4) Le noyau depestE.

(5) On adim(V) = dim(E) + dim(F).

Démonstration. — (1) Soient xet ydes éléments deV,(a, b)∈R². On a ax+by=a(x_E+x_F) +b(y_E+y_F) = (ax_E+by_E) + (ax_F +by_F), d’oùp(ax+by) =ax_F+by_F =ap(x) +bp(y).

(2) Par la décompositionx=0+x, on obtientp(x) =xquandx∈F.

(3) Par définition, pour toutx∈V on ap(x)∈F. D’après (2), on obtientp(x) =x.

(4) Tout x∈E se décompose commex=x+0, d’oùp(x) =0. Réciproquement, six∈V est tel quep(x) =0, alorsx=x−p(x)∈E.

(5) résulte du théorème 2.1.8.

2.4.4. Définition. — Avec les notation de la proposition 2.4.3, l’applicationps’ap- pelle laprojectiondansFle long deE. L’applications= 2p−Ids’appelle lasymétrique par rapport àF le long deE.

2.4.5. Remarque. — On garde les notation de la proposition 2.4.3. On désigne par s= 2p−Idla symétrique par rapport àF le long deE.

(1) Pour toutz∈F, on a s(z) = 2p(z)−z= 2z−z=z.

(2) Pour touty∈E, on as(y) = 2p(y)−y=−y.

(3) Pour toutx∈V, on as(x) =s(xE+xF) =−xE+xF et doncs(s(x)) =x.