J160 – Les beaux navires [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Vous avez trois armadas à installer successivement sur un champ de bataille navale, un carré 10x10 de 100 cases unitaires. Chaque navire est un rectangle identifié par sa largeur l et sa longueur L : il occupe l x L cases unitaires et peut être en contact avec le bord de la grille 10x10, mais deux navires ne peuvent pas se toucher, même par un coin.
Pour chacun des trois cas, dessinez la grille contenant tous les navires, ou prouvez qu’il est impossible de les placer dans la grille.
1- Deux 1x4, quatre 1x3, six 1x2, quatre 1x1, et deux 2x2.
2- Deux 1x4, quatre 1x3, six 1x2, six 1x1 et un 2x2.
3- Deux 1x4, quatre 1x3, six 1x2, et huit 1x1.
Solution proposée par Raymond Bloch
Comme deux navires doivent être séparés au moins par la distance 1, positionner des navires l x L sur une grille 10 x 10 d’aire 100 est équivalent à positionner des navires agrandis (l+1) x (L+1) sur une grille agrandie 11 x 11 d’aire 121.
1- L’aire agrandie des navires est : 2(2x5) + 4(2x4) +6(2x3) +4(2x2) +2(3x3) = 122. L’aire agrandie des navires dépasse l’aire agrandie de la grille 121 : il est donc impossible de placer ces navires sur la grille.
2- L’aire agrandie des navires est : 2(2x5) + 4(2x4) +6(2x3) +6(2x2) +1(3x3) = 121. L’aire agrandie des navires est égale à celle de la grille : la figure 1 montre en effet une disposition de tous ces navires dans la grille.
3- Par rapport au cas 2, on remplace le navire 2x2 par deux navires 1x1 : on remplace une aire égale à 4, par deux aires égales chacune à 1, et une aire agrandie égale à 9 par deux aires agrandies égales chacune à 4. On a donc diminué le niveau d’exigence sur ces deux critères par rapport à la disposition du cas 2 : pourtant tous vos essais seront vains, il semble impossible de placer ces navires.
Mais il faut le prouver. Une indication suggère d’où vient notre difficulté : sur la figure 1 ci- après,
il s’agit de remplacer le navire 2x2 par deux navires 1x1, mais on ne peut pas faire tenir les deux navires 1x1 dans le carré 2x2 ! Il faudrait au moins un rectangle 1x3 pour placer les deux carrés 1x1 sans qu’ils se touchent, mais il est impossible de le placer à l’intérieur d’un carré 2x2.
La clé du mystère : une affaire de parité. Les navires n’ont pas assez de côtés pairs. On ne peut pas remplir une ligne ou une colonne de 10 cases uniquement de côtés de navires impairs sans gaspiller des cases : 3,0,3,0/3,0,1,0,1,0/1,0,1,0,1,0,1,0 (où 0 représente une case vide) sont les seuls alignements de côtés impairs, et tous laissent 2 cases nécessitant un côté de longueur 2, pair.
Donc chaque ligne et chaque colonne emplie au maximum de la grille 10x10 - la grille en
comporte au moins 12 - a besoin d’un côté pair, mais il n’y en a que huit - deux de 4, et six de 2 -, contradiction : les navires du cas 3 ne peuvent pas être disposés sur la grille.
