I 159 Réseau interstellaire.
Raccorder les 8 étoiles situées aux sommets d’un cube d’un parsec de côté par un réseau de segments de longueur totale minimale sachant que des nœuds en dehors des sommets sont autorisés.
Solution de Michel Lafond
Si le cube a pour côté 1, le raccordement (en gras dans la figure ci-dessous), a pour longueur totale 196
, 6 1 3
3 .
En plus des 8 sommets du cube, il a 6 autres sommets A, B, C, D, E, F.
Il a trois plans de symétrie (les plans médians du cube).
Il est calculé pour que les arbres (A, B, C, D, E, F) et (B, A, O, y) soient des arbres plans de Steiner, c’est à dire dont tous les angles aux sommets mesurent 120 degrés. En effet, ces arbres sont connus pour minimiser les longueurs globales de raccordement dans le plan. [Voir à ce sujet le problème I 147].
Si on prend comme repère orthonormé (O, x, y, z) : A a pour coordonnées (
12 , 3 2 , 1 4
1 ) et B a pour coordonnées (
6 , 3 2 , 1 2
1 ).
La longueur totale est égale à 8 OA + 4 AB + BC = 3 3 1 3
1 3 6 4 3 3
8 3
O
A
B C
y
x F
D E
z