Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 Probabilités Année universitaire 20142015
Fiche 1 Révisions de probabilités
Lois discrètes, conditionnement, indépendance
Exercice 1. On dispose de kboules etn urnes. Pour chaque boule, successivement, on choisit aléatoirement une urne selon la loi uniforme, et on y place la boule. Les choix successifs sont supposés indépendants (en particulier, une urne peut contenir plusieurs boules).
1. Quelle est la probabilité que la première urne soit vide ?
2. Quelle est la loi du nombre de boules placées dans la première urne ? 3. Quelle est l'espérance du nombre d'urnes vides ?
Exercice 2. On considère trois urnes, A,B etC. L'urne Acontient 2 boules blanches et 4 noires ; l'urne B, 8 blanches et 4 noires ; et l'urneC 1 blanche et 3 noires. On tire une boule de chacune des urnes.
Quelle est la probabilité que la boule tirée deAsoit blanche, si l'on sait que le tirage a livré 2 boules blanches exactement ?
Exercice 3. SoitX et Y des variables aléatoires indépendantes.
Quelle est la loi deX+Y siX et Y ont pour lois respectivesP(λ)et P(µ)?
Lois continues
Exercice 4. SoitX une variable aléatoire suivant une loi de densitéx7→ 12e−|x| surR.
1. Justier que cette fonction dénit bien une densité.
2. Calculer les quantités suivantes :P(X >0),P(X≥0), P(|X|> x),P(X > x),E[X],E[eX/2]. Exercice 5. SoitX une variable aléatoire de loi uniforme dans [0,1]. On pose
Z =1−X X . 1. Que vautP(X = 0)?Z est-elle bien dénie ?
2. Calculer la fonction de répartitionFZ deZ. Donner l'allure de sa courbe représentative surR.
3. La loi deZ a-t-elle une densité ? Si oui, la calculer.
4. Pour quelles valeurs du réelala variable aléatoire Za est-elle intégrable ? 5. Expliquez, si possible sans calcul, pourquoiZ et Z−1 ont même loi.
6. Pourn∈N, on pose
ψn=E[Z1]−∞,n[(Z)].
6.a) Calculerψn. Quelle est la limite de cette espérance quandn→ ∞?
6.b) Justier à nouveau cette limite sans calcul, à partir de la question 4 et d'un théorème du cours.
7. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme dans [0,1], et Zn = 1−XX n
n . Montrer que presque sûrement, à partir d'un certain rangn0,Zn< n2. Serait-ce vrai avecnau lieu den2?
Convergences
Exercice 6. Pourp∈]0,1[, soitXp une variable aléatoire de loi géométrique de paramètrep. 1. Montrer queXp converge en probabilité vers1quand p→1−.
2. Montrer queXpn converge presque sûrement vers1quandn→ ∞, sipn= 1−n12. 3. Déterminer la limite en loi de pXp lorsquep→0+.
