8 qui, effectu´ee en partant de la gauche, donne rouge + jaune = rouge de fa¸con r´ep´et´ee, et nest rouge

Enonc´e n^oE531 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) rouge et jaune

Une r´epartition de couleurs qui satisfait les r`egles est : les multiples de 8 sont jaunes, les non-multiples de 8 sont rouges. Ainsi 2008 = 8×251 est jaune.

Il reste `a montrer qu’il ne peut en ˆetre autrement.

Un nombren non multiple de 8 peut ˆetre obtenu par l’addition (nmod 8) + 8 +. . .+ 8

qui, effectu´ee en partant de la gauche, donne rouge + jaune = rouge de fa¸con r´ep´et´ee, et nest rouge.

Supposons qu’il y ait au moins une puissance de 8 qui soit rouge, et soit 8^a la plus petite de ces puissances ; alors a >1 d’apr`es l’´enonc´e.

8^a−1 est jaune, 1 + 8^a−1 est rouge car 1 est rouge, multipliant par 8 on obtient 8 + 8^a jaune, alors que si 8^a est rouge, la somme 8 + 8^a est rouge : contradiction. Toutes les puissances de 8 sont jaunes.

Soitnun multiple de 8, il peut s’´ecriren=d×8^aavecdrouge (non multiple de 8), etnest jaune.

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2) vert, bleu et noir

Sans la pr´ecision sur 1492, on pourrait avoir en vert les nombres de la forme 3k+ 1 (k∈ Z), en bleu ceux de la forme 3k+ 2, en noir 0 et les multiples de 3.

1492 = 3×494 + 1 n’´etant pas vert, il faut trouver autre chose.

Soit aun nombre vert. Alorsa+a= 2aest bleu et 2a+ 2a= 4a est vert : si (3k+ 1)aest vert (ce qui est vrai pour k= 0), (3k+ 1)a+a= (3k+ 2)a est bleu, et (3k+ 2)a+ (2a) = (3k+ 4)a = (3(k+ 1) + 1)a est vert ; par r´ecurrence (3k+ 1)aest vert et (3k+ 2)aest bleu pour toutk >0.

L’oppos´e (−3k−1)a= (3(−1−k) + 2)aest bleu et (−3k−2)a= (3(−1− k) + 1)a est vert. On conclut que la multiplication par 3k+ 1 conserve la couleur verte, alors que la multiplication par 3k+ 2 la change en bleu.

Le mˆeme raisonnement vaudrait en ´echangeant vert et bleu pour la couleur de a.

Comme 1009 et 2008 sont de la forme 3k+ 1, 1009×2008 est vert comme 1009, et 2008 ne peut pas ˆetre bleu.

2008 peut-il ˆetre vert ? Si c’est le cas, 2008×658 sera vert, comme (−650)1009, alors que (−658)1009 est bleu. Additionnons `a partir de la gauche

2008×658 + (−650)1009 + (−658)1009,

(vert + vert) + bleu donne bleu + bleu, puis vert.

Mais 2008×658−1308×1009 = 1492. Comme 1492 n’est pas vert, 2008 ne peut pas ˆetre vert et est noir.

Un raisonnement analogue serait possible si 2008 ´etait remplac´e par tout autre nombre, premier avec 3027, qui serait vert (s’il est de la forme 3k+ 1) ou bleu (s’il est de la forme 3k+ 2) : si 1492 est noir et 1009 vert, les seuls entiers non noirs sont les multiples de 1009 non multiples de 3.

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