H133. Les six problèmes du millénaire
En 2000, l’Institut Mathématique de Clay a lancé sept défis mathématiques réputés insurmontables qui ont été appelés les Problèmes du millénaire. La démonstration de l’un d’eux (la conjecture de Poincaré) a été faite en 2003 par Grigori Perelman et validée en 2006.
2008 mathématiciens se retrouvent en congrès pour faire le point sur les six problèmes restants. Quand deux d’entre eux se rencontrent, ils parlent toujours du même problème. Quand trois d’entre eux se rencontrent, est-il possible qu’il n’y ait jamais de conversation à trois sur un même problème, quelles que soient les trois personnes?
Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Problèmes_du_prix_du_millénaire
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Représentons le congrès par un graphe complet d’ordre aux arêtes colorées avec couleurs. Chaque
mathématicien est représenté par un sommet sur le graphe, une conversation à deux par une arête joignant deux sommets, et le problème dont cette conversation est l’objet par la couleur de cette arête.
Montrer qu’il existe nécessairement une conversation à trois sur un même problème revient à prouver l’existence d’un triangle monochrome dans le graphe.
Pour 1 et 3, la propriété est évidente car un graphe complet d’ordre 3 aux arêtes colorées avec 1 couleur est un triangle monochrome.
Il est également évident que si la propriété est vraie pour et , et si , alors elle est vraie pour et . Montrons que si la propriété est vraie pour et , alors elle est vraie pour ’ 1 et ’ 1 2.
Considérons un sommet du graphe complet d’ordre . On dénombre 1 1 1 arêtes issues de . En vertu du principe des tiroirs, si 1 1 arêtes sont colorées avec couleurs, alors au moins arêtes sont de la même couleur . Ces arêtes joignent à autres sommets du graphe. Ces autres sommets forment un sous-graphe complet d’ordre . Si ce sous-graphe contient une arête de couleur , alors est un triangle monochrome. Sinon le sous-graphe n’a que couleurs, et contient donc lui-même un triangle monochrome d’après l’hypothèse de récurrence.
On calcule alors les valeurs successives:
1 2 3 4 5 6 3 6 17 66 327 1958
Le résultat est donc vrai pour 6 et 1958, donc en particulier pour 6 et 2008.
Il existe donc nécessairement une conversation à trois sur un même problème pendant le congrès.
Nota : Nous avons en réalité redémontré ici un cas particulier du théorème de Ramsey.
Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_de_Ramsey
