D’abord un petit travail de recherche, pour attribuer un nombre à un nom :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A)

(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I)

(A) Un nombre que j’aime ...

(B) Une puissance cinquième (C) Un cube

(D) Un carré

(E) Le pdc est un cube (F) Un nombre premier (G) La sdc est un carré

(H) La sdc est pilepoil une moitié (I) Une constante

Les constantes utilisées sont les nombres dits d’Archimède, de Laplace, de Mills, de Neper, et un autre en métal précieux.

On ignore le zéro initial pour celles < 1, et toutes sont classiquement arrondies sur le 9^ème chiffre.

sdc = somme des chiffres pdc = produit des chiffres

(a) Un carré

(b) Un carré dont la racine finit comme commence une constante

(c) Encore un carré (d) Une constante (e) Et toujours un carré

(f) Nombre premier dont le pdc est un cube (g) Une constante

(h) Une constante (i) Le pdc est un cube

D’abord un petit travail de recherche, pour attribuer un nombre à un nom :

Nom Valeur grille

Archimède 3.14159 26535 89793 314 159 265

Laplace 0.66274 34193 662 743 419

Mills 1.30637 78838 6308 130 637 788

Neper 2.71828 18284 59045 271 828 183

en métal précieux =

le nombre d’or 1,61803 39887 49894 161 803 399

Puis, après avoir identifié , par la définition « un nombre que j’aime... » on trouve (A).

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5

(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I)

Puis e et la constante de Laplace (qui seules commence par un 2 et un 6) en (g) et (h).

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5

(B) 7 6

(C) 1 2

(D) 8 7

(E) 2 4

(F) 8 3

(G) 1 4

(H) 8 1

(I) 3 9

Le nombre d’or peut se placer en (d), mais alors on ne peut plus placer la constante de Mills en (I), donc c’est l’inverse :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5

(B) 3 7 6

(C) 0 1 2

(D) 6 8 7

(E) 3 2 4

(F) 7 8 3

(G) 7 1 4

(H) 8 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

(B) maintenant. La seule puissance 5^ème qui corresponde aux chiffres déjà présents dans la ligne (B) est :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8

(C) 0 1 2

(D) 6 8 7

(E) 3 2 4

(F) 7 8 3

(G) 7 1 4

(H) 8 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

Deux cubes correspondent aux chiffres présents dans la ligne (C) : 485 114 084 125

725 381 078 125

Cas 1 : on place en (C) 381 078 125

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 3 8 1 0 7 8 1 2 5

(D) 6 8 7

(E) 3 2 4

(F) 7 8 3

(G) 7 1 4

(H) 8 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

Deux carrés correspondent aux chiffres présents dans la colonne (e) : 23610 557 432 100

23620 557 904 400

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 3 8 1 0 7 8 1 2 5

(D) 6

4

8 7

(E) 3

3

2 4

(F) 7

2

8 3

(G) 7

1

1 4

(H) 8

0

8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 3 8 1 0 7 8 1 2 5

(D) 6

9

8 7

(E) 3

0

2 4

(F) 7

4

8 3

(G) 7

4

1 4

(H) 8

0

8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9 En (D), aucun carré ne correspond aux chiffres

présents dans la ligne

Le pdc de (E) = 0 alors qu’il est égal à un cube

Ce cas n’aboutit à aucune solution Cas 2 : on place en (C) 114 084 125

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5

(D) 6 8 7

(E) 3 2 4

(F) 7 8 3

(G) 7 1 4

(H) 8 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

Deux carrés correspondent aux chiffres de la colonne (e)

23630 558 376 900

23640 558 849 600

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5

(D) 6

3

8 7

(E) 3

7

2 4

(F) 7

6

8 3

(G) 7

9

1 4

(H) 8

0

8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5

(D) 6

8

8 7

(E) 3

4

2 4

(F) 7

9

8 3

(G) 7

6

1 4

(H) 8

0

8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9 En (D), aucun carré ne correspond aux chiffres

présents dans la ligne

Un seul carré correspond aux chiffres présents dans la ligne (D) : 467 683 876 =

On continue donc avec

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5 (D)

4 6 7

6 8

3

8 7

6

(E) 3 4 2 4

(F) 7 9 8 3

(G) 7 6 1 4

(H) 8 0 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

On trouve ensuite (a) =

361 418 121 = (19 011)² et (c) = 464 790 481 = (21 559)², carrés uniques correspondant aux chiffres déjà présents dans les colonnes (a) et (c).

Pour le carré tenant dans la colonne (b), on trouve deux possibilités :

12 314 151 634 596

12 316 151 683 856

Dont on retient la première puisque 12 314 se termine par les trois premiers chiffres de .

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5

(B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8

(C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5

(D) 4 6 7 6 8 3 8 7 6

(E)

1 3 9

3 4 2 4

(F)

8 4 0

7 9 8 3

(G)

1 5 4

7 6 1 4

(H)

2 9 8

8 0 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

On passe maintenant à la détermination des chiffres isolés.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5 (D) 4 6 7 6 8 3 8 7 6

(E) 1 3 9 3 4 2 4

(F) 8 4 0 7 9 8 3

(G) 1 5 4 7 6 1 4 (H) 2 9 8 8 0 8 1

(I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

Le produit des 7 chiffres connus de (E) est . Les deux chiffres restants (f5 et i5), pour que le pdc de (E) soit un cube, ne peuvent être que 2 et 9. Le pdc de (E) est alors égal à , qui est le cube de .

Le produit des 5 chiffres connus de (i) est .

Le tableau suivant donne les valeurs possibles des 4 chiffres manquant de (i) : (i5, i6, i7, i8) choisis de telle sorte que le pdc de (i) soit un cube.

i5 i6, i7, i8 dans le désordre Pdc de (i) Racine cubique

2 1 2 5 216000 60

2 2 5 8 1728000 120

2 4 4 5 1728000 120

2 5 6 9 5832000 180

9 3 4 5 5832000 180

9 2 5 6 5832000 180

(F) est un nombre premier de la forme 84079*83*. Les seuls nombres premiers de cette forme sont : 840 790 837 840 792 833 840 794 833 840 794 839 840 795 833 840 796 837

i6 ne peut prendre que les valeurs 3, 7 ou 9, ce qui permet de simplifier et de compléter le tableau précédent qui devient :

f5 i5 i6 f6 i7, i8 dans le désordre

Cas 1 9 2 9 4 5 6

Cas 2 2 9 3 2,4 ou 5 4 5

On va maintenant s’intéresser à (f) dont le pdc est un cube

i5 i6 i7 et i8 f5 f6 f7, f8 dans le désordre

Cas 1 2 9 5 ou 6 9 4 2 9

3 6

Cas 2 9 3 4 ou 5 2 2 2 3

4 1 3

3 8

4 6

5 impossible

Puis on complète le tableau pour que la somme des chiffres de (G) soit un carré (on rappelle que i7 peut prendre les valeurs 5 ou 6 dans le premier cas et 4 ou 5 dans le second) :

i5 i6 i7 et i8 f5 f6 f7 f8 Sdc sauf i1 i7 Sdc (G) donc i8

Cas 1 2 9 5 ou 6 9 4 2 9 30 6 36 5

9 2 37

3 6 31 5 36 6

6 3 34

Cas 2 9 3 4 ou 5 2 2 2 3 30

3 2 31 5 36 4

4 1 3 29

3 1 31 5 36 4

3 8 31 5 36 4

8 8 36

4 6 32 4 36 5

6 4 34

On termine en calculant les valeurs de la sdc de (H). On devrait en trouver une, propre à donner une réponse à une définition sibylline :

i5 i6 i7 et i8 f5 f6 f7 f8 Sdc sauf i1 i7 Sdc (G) donc i8 Sdc (H)

Cas 1 2 9 5 ou 6 9 4 2 9 30 6 36 5 50

9 2 37

3 6 31 5 36 6 48

6 3 34

Cas 2 9 3 4 ou 5 2 2 2 3 30

3 2 31 5 36 4 42

4 1 3 29

3 1 31 5 36 4 41

3 8 31 5 36 4 48

8 8 36

4 6 32 4 36 5 47

6 4 34

50 est la seule réponse qui fait penser à la moitié (50%) d’un tout (100%).

D’où la solution unique :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 1 4 1 5 9 2 6 5 (B) 6 5 6 3 5 6 7 6 8 (C) 1 1 4 0 8 4 1 2 5 (D) 4 6 7 6 8 3 8 7 6 (E) 1 3 9 3 4 9 2 4 2 (F) 8 4 0 7 9 4 8 3 9 (G) 1 5 4 7 6 2 1 4 6 (H) 2 9 8 8 0 9 8 1 5 (I) 1 6 1 8 0 3 3 9 9

(A) Un nombre que j’aime ... 314 159 265 , la constante d’Archimède (B) Une puissance cinquième 656 356 768

(C) Un cube 114 084 125

(D) Un carré 467 683 876

(E) Le pdc est un cube 139 349 242 Carré de 22 373 (F) Un nombre premier 840 794 839 Nombre premier (G) La sdc est un carré 154 762 146 Sdc = 36 = 6² (H) La sdc est pilepoil une moitié 298 809 815 Sdc = 50 % !

(I) Une constante 161 803 399 

= le nombre d’or

(a) Un carré 361 418 121 (19 011)²

(b) Un carré dont la racine finit comme

commence une constante 151 634 596 (12 314)² (c) Encore un carré 464 790 481 (21 559)²

(d) Une constante 130 637 788 = Constante de Mills (e) Et toujours un carré 558 849 600 (23 640)²

(f) Le pdc est un cube 964 394 293 Pdc =

(g) Une constante 271 828 183 e, base des logarithmes népériens (h) Une constante 662 743 419 Constante de Laplace

(i) Le pdc est un cube 585 629 659 Pdc =