G102-La fourmi baladeuse

G102-La fourmi baladeuse Solution

Soit A le point de départ de la fourmi. On désigne par p la probabilité pour que la fourmi _n soit en A après un périple de n minutes et q_n 1p_n la probabilité pour qu’elle soit sur l’un des trois autres sommets B,C ou D.

Pour se trouver en A à l’instant n, la fourmi est nécessairement à l’instant n-1 en B ou C ou D.

Partant de l’un quelconque de ces trois points, comme ils sont tous trois adjacents à A, la fourmi a une chance sur trois de se trouver en A une minute après. D’où la première relation :

/3 q p_n  _n1 .

Si toujours à l’instant n, la fourmi n’est pas en A mais se trouve en B ou C ou D, cela signifie qu’à l’instant n-1, elle se trouvait soit en A avec une probabilité 1 de passer de A à l’un quelconque de ces trois points soit en deux points parmi les trois avec une probabilité 2/3 de passer de l’un de ces sommets à un autre parmi les trois. D’où la deuxième relation :

/3 2q p

q_n  _n1 _n1 .

En éliminant les termes en q de ces deux relations, on obtient la relation de récurrence /3

p /3 2p

p_n1 _n  _n1 définie pour tout n>1 avec p₀ 1et p₁0 qui permet d’obtenir la formule générale donnant p en fonction de n, à savoir _n

1 n n 1

n

n (3 ( 1) )/4.3

p  ^   ^ .

Dans une semaine il y a exactement 10080 minutes. La probabilité demandée est égale à )/4

1/3 (1

p₁₀₀₈₀  ¹⁰⁰⁷⁹ . Elle est très proche mais n’est pas rigoureusement égale à la probabilité de 1/4 à laquelle on s’attendait de manière intuitive.