Ds du 11-12-08

Jeudi 11 décembre 2008.

DS de Terminale S (4h), Calculatrice interdite.

Exercice 1, Inde avril 2008

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A – Un modèle discret.

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n.

On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n ≥ 0 : un+1 = 1

10 un(20 – un).

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par f(x) = 1

10 x(20 – x).

a. Etudier les variations de f sur [0 ; 20].

b. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 10], f(x) ∈ [0 ; 10].

c. On donne (voir annexe) la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; i^→ , j^→ ) du plan. Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (un) 2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ IN, 0 ≤ un≤ un+1 ≤ 10.

3. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Partie B− Un modèle continu.

Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x. On pose x = 0 en 2005, g(0) = 1 et g est une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[, de l’équation différentielle : (E) : y’ = 1

20 y(10 – y).

1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ et on pose z = 1 y . a. Montrer que :

y est solution de (E) si, et seulement si, z est solution de l’équation différentielle : (E1) : z’ = −1 2 z + 1

20 . b. Résoudre l’équation (E1) et en déduire les solutions de l’équation (E).

2. Montrer que g est définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = 10 9e^(-1/2)x + 1 3. Etudier les variations de g sur [0 ; +∞[.

4. Calculer la limite de g en +∞ et interpréter le résultat.

5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera−t−il 5 millions ?

Exercice 2, France Septembre 2007 1. La suite u est définie par : u0 = 2 et ₁ ^{1 23}

3 27

n n

u₊ = u + pour tout entier naturel n.

a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan (voir annexe), la droite d’équation ^{1 23} 3 27 y= x+ et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.

b. Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est ²³ l=18. c. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : ²³

n 18 u > . d. Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

2. a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Démontrer que :

1

2

1 1 1

90 1

10 10

n

k n

k +

=

 

=  − 

 

∑

10 10 10ⁿ⁺ 90 10ⁿ

 

+ + + =  − 

 .

b. La suite v est définie par vn = 1,277 7. . .7 avec n décimales consécutives égales à 7.

Ainsi v0 = 1,2, v1 = 1,27 et v2 = 1,277.

En utilisant le 2. a. démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

Exercice 3.

Soit f la fonction définie et dérivable sur IR\{−b/a} par f(x) = 1 ax + b .

Pour tout entier naturel n, on note f^{( )n} la dérivée nième de la fonction, avec comme convention f⁽⁰⁾= f . Par exemple, ^{f(1)= f ', f(2) =}

( )

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a f⁽ⁿ⁾(x) = (−a)ⁿ×1×2×3×…×n (ax + b)ⁿ⁺¹ .

Annexe à rendre avec votre copie. NOM : EXERCICE 1.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 -2

0 1 1

x y

EXERCICE 2.

1 1,5 2 2,5

1 1,5 2

0 0,5

0,5

x y

A

Corrigé DS 03

Exercice 1, Inde avril 2008

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année.

Partie A – Un modèle discret.

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n.

Données : en 2005, u0 = 1 et, pour tout n ≥ 0 : un+1 = 1

10 un(20 – un).

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par f(x) = 1

10 x(20 – x). f(x) = 1

10 (20x – x²) a. Etudier les variations de f sur [0 ; 20].

f est définie et dérivable sur [0 ; 20] et f’(x) = 1

10 (20 – 2x) f’(x) a le signe de 20 – 2x donc :

sur [0 ; 10], f’(x) ≥ 0 donc f est de f(0) = 0 à f(10) = 10 sur [10 ; 20], f’(x) ≤ 0 donc est de f(10) = 10 à f(20) = 0 b. En déduire que pour tout x ∈∈∈∈ [0 ; 10], f(x) ∈∈∈ [0 ; 10]. ∈ On vient de voir que, sur [0 ; 10], f est de 0 à 10 donc pour x ∈ [0 ; 10], f(x) ∈ [0 ;10]

c. On donne ci−après la courbe représentative CCCC de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; i^→→→→ , j^→→→→ ) du plan. Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (un).

voir graphique …

2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈∈∈∈ IN, 0 ≤ un≤ un+1 ≤ 10.

initialisation : Vérifions que : 0 ≤ u0≤ u1 ≤ 10.

u0 = 1, u1 = (1/10)(1)(20−1) = 19/10 et 1 < 19/10 donc 0 ≤ u0≤ u1 ≤ 10.

hérédité : Montrons que 0 ≤ un≤ un+1 ≤ 10 ⇒⇒⇒⇒ 0 ≤ un+1≤ un+2 ≤ 10 supposons que : 0 ≤ un≤ un+1 ≤ 10

on sait que f est sur [0 ; 10] et que un+1 = f(un)

donc f(0) ≤ f(u_n) ≤ f(u_n+1)≤ f(10) c'est à dire 0 ≤ u_n+1≤ u_n+2 ≤ 10 conclusion : cette démonstration prouve que ∀ n ∈ IN, 0 ≤ u_n≤ u_n+1 ≤ 10 3. Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

d’après 2. : ∀ n ∈ IN, u_n≤ u_n+1 donc (u_n) est sur IN.

d’après 2. : ∀ n ∈ IN, un≤ 10 donc (u_n) est majorée par 10.

(un) est et majorée donc convergente c'est à dire il existe un réel m tel que lim_n→+∞ un = m Recherche de m : lim_n→+∞ un = m = lim_n→+∞ un+1

f est une fonction polynôme continue sur IR donc continue en m c'est-à-dire : quand x → m, f(x) → f(m) On a alors : quand n → +∞ : un → m donc f(un) → f(m) c'est à dire un+1 → f(m)

or lim_n→+∞ u_n+1 = m donc m est solution de l’équation f(m) = m

f(m) = m ⇔ (1/10)m(20 – m) = m ⇔ 20m – m² = 10m ⇔ 10m – m² = 0 ⇔ m = 0 ou m = 10 m = 0 est impossible puisque u0 = 1 et (un) donc lim_n→+∞ un = 10

Le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat va augmenter pour se stabiliser à environ 10 millions.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 -2

0 1 1

x y

u0u1 u2 u3 u4

Partie B− Un modèle continu.

Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x.

Données : g(0) = 1

g est une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[, de l’équation différentielle : (E) : y’ = 1

20 y(10 – y).

1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞∞∞∞[ et on pose z = 1 y . z = 1

y (z ≠ 0) donc y = 1

z et y’ = -z' z²

a. Montrer que : y est solution de (E) ⇔⇔⇔⇔ z est solution de l’équation différentielle : (E1) : z’ = −1 2 z + 1

20 . y est solution de (E) ⇔ y’ = 1

20 y(10 – y) ⇔-z' z² = 1

20×1

z (10 – 1 z )

⇔-z' z² = 1

20×1

z× 10z - 1 z

⇔ −z’ = 1

20 (10z – 1) (en multipliant les 2 membres par z²)

⇔ z’ = −1 2 z + 1

20 ⇔ z est solution de (E1) donc l’équivalence est démontrée.

b. Résoudre l’équation (E1)

(E1) est de la forme z’ = az + b, ses solutions sont donc de la forme z(x) = C e^ax – b/a avec C ∈ IR.

(E1) a pour solutions les fonctions définies sur IR par z(x) = C e^(−1/2)x + 1

10 avec C ∈ IR.

en déduire les solutions de l’équation (E).

on vient de voir que, avec y = 1

z , y est solution de (E)

donc les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par y(x) = 1

C e^(-1/2)x + 1/10 = 10

10C e^(-1/2)x + 1 avec C ∈ IR.

2. Montrer que g est définie sur [0 ; +∞∞∞∞[ par g(x) = 10 9e^(-1/2)x + 1 g est solution de (E) donc g(x) = 10

10C e^(-1/2)x + 1 et g(0) = 1.

or g(0) = 1 ⇔ 10

10C + 1 = 1 ⇔ 10 = 10C + 1 ⇔ C = 9/10 donc g(x) = 10 9e^(-1/2)x + 1 3. Etudier les variations de g sur [0 ; +∞∞∞[. ∞

g est dérivable sur [0 ; +∞[ et g’(x) = 10×- (9e^(-1/2)x + 1)'

(9e^(-1/2)x + 1)² = 10×- 9(-1/2)e^(-1/2)x

(9e^(-1/2)x + 1)² = 45× e^(-1/2)x (9e^(-1/2)x + 1)² cette dérivée est évidemment strictement positive donc g est sur [0 ; +∞[

4. Calculer la limite de g en +∞∞∞∞

quand x → +∞, (−1/2)x → −∞ donc e^(−1/2)x → 0 on a alors lim_x→+∞ g(x) = 10 interpréter le résultat.

Le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat va augmenter pour se stabiliser à environ 10 millions.

(on a obtenu le même résultat avec le modèle discret …)

5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera−t−il 5 millions ? On cherche x pour que g(x) > 5.

g(x) > 5 ⇔ 10

9e^(-1/2)x + 1 > 5 ⇔ 9e^(-1/2)x + 1 10 < 1

5

⇔ 9e^(−1/2)x + 1 < 2 ⇔ 9e^(−1/2)x < 1 ⇔ e^(−1/2)x < 1/9 ⇔ (−1/2)x < ln(1/9) ⇔ x > −2ln(1/9) ⇔ x > 4,39 donc le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera 5 millions au cours de la 5^ième année.

Exercice 2.

1. La suite u est définie par : u0 = 2 et un+1 = 1

3 un + 23

27 pour tout entier naturel n.

a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d’équation y = 1 3 x + 23

27 et le point A de coordonnées (2 ; 0).

Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.

b. Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est l = 23 18 . supposons que u soit convergente de limite l. On a alors lim_n→+∞ un = lim_n→+∞ un+1 = l.

un+1 = f(un) avec f : x → 1 3 x + 23

27

f est une fonction affine continue sur IR donc en l c'est à dire quand x → l, f(x) → f(l) On a alors : quand n → +∞ , un → l donc f(un) → f(l) c'est à dire lim_n→+∞ un+1 = f(l)

nlim→+∞ un+1 = l et lim_n→+∞ un+1 = f(l), la limite étant unique f(l) = l.

or f(l) = l ⇔ 1 3 l + 23

27 = l ⇔ 9l + 23 = 27l ⇔ 18l = 23 ⇔ l = 23 18 . donc SI u converge vers l ALORS l = 23/18.

c. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : ²³

n 18 u > . Initialisation : vérifions que u0 > 23

18 . En effet u0 = 2 et 2 > 23 18 Hérédité : montrons que un > 23

18 ⇒⇒⇒⇒ un+1 > 23 18 supposons que un > 23

18 . On a alors 1

3 un > 23 54 ⇔1

3 un + 23 27 > 23

54 + 23

27 ⇔ un+1 > 23

18 cqfd … Conclusion : la suite u est minorée par 23

18

d. Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

D’après 1. a. il semblerait que u soit . Montrons que un+1≤ un un+1 < un⇔ 1

3 un + 23

27 − un < 0 ⇔ -2

3 un + 23

27 < 0 ⇔ −18un + 23 < 0 ⇔ un > 23

18 ce qui est vrai.

donc u est .

u est et minorée donc convergente et d’après 1. b. lim_n→+∞ un = 23 18 2. a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Démontrer que :

1

2

1 1 1

90 1

10 10

n

k n

k +

=

 

=  − 

 

∑

10² + 1

10³ + … + 1 10ⁿ⁺¹ = 1

90 (1 − 1 10ⁿ ).

1 10² + 1

10³ + … + 1

10ⁿ⁺¹ est la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme 1 10² et de raison q = 1

10 donc 1

10² + 1

10³ + … + 1

10ⁿ⁺¹ = 1

10² × 1 - (1/10)ⁿ 1 - 1/10 = 1

10² × 1 - (1/10)ⁿ 9/10 = 1

90 (1 − 1 10ⁿ ) b. La suite v est définie par vn = 1,277 7. . .7 avec n décimales consécutives égales à 7.

Ainsi v0 = 1,2, v1 = 1,27 et v2 = 1,277.

En utilisant le 2. a. démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

vn = 1,2 + 7 10² + 7

10³ + … + 7

10ⁿ⁺¹ = 1,2 + 7[ 1 10² + 1

10³ + … + 1

10ⁿ⁺¹ ] = 1,2 + 7[1

90 (1 − 1

10ⁿ )] d’après a.

quand n → +∞, 10ⁿ → +∞ donc 1 10ⁿ → 0 on a alors lim_n→+∞ vn = 1,2 + 7

90 = 12 10 + 7

90 = 115

90 = 5×23 5×18 = 23

18

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

On a démontré que u est Il est évident que la suite v est

de plus lim_n→+∞ vn − un = lim_n→+∞ vn – lim_n→+∞ un = 23 18 − 23

18 = 0 donc u et v sont deux suites adjacentes. (par définition …)

Exercice 3.

Soit f la fonction définie et dérivable sur IR\{−b/a} par f(x) = 1 ax + b .

Pour tout entier naturel n, on note f^{( )n} la dérivée nième de la fonction, avec comme convention f⁽⁰⁾ = f . Par exemple, ^{f(1) = f', f(2) =}

( )

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a f⁽ⁿ⁾(x) = (−a)ⁿ× 1×2×3×…×n (ax + b)ⁿ⁺¹ . Initialisation : vérifions que f⁽¹⁾(x) = f’(x) = (−a)¹× 1

(ax + b)² en effet : f’(x) = -(ax + b)'

(ax + b)² = -a

(ax + b)² = (−a)× 1 (ax + b)² Hérédité : montrons que f⁽ⁿ⁾(x) = (−a)ⁿ×1×2×3×…×n

(ax + b)ⁿ⁺¹ ⇒ f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = (−a)ⁿ⁺¹×1×2×3×…×(n+1) (ax + b)ⁿ⁺² f⁽ⁿ⁺¹⁾ = f^(n)’(x) = (−a)ⁿ× 1×2×…× n × -[(ax+b)ⁿ⁺¹]'

[(ax + b)ⁿ⁺¹]² = (−a)ⁿ× 1×2×…× n × - (n+1) (ax+b)ⁿ(a) (ax + b)²ⁿ⁺²

= (−a)ⁿ⁺¹× 1×2×3×…×(n+1) (ax + b)ⁿ⁺² Conclusion : ∀ n ∈ IN*, f⁽ⁿ⁾(x) = (−a)ⁿ× 1×2×3×…×n

(ax + b)ⁿ⁺¹

1 1,5 2 1

1,5

0 0,5

0,5

x y

u₀ u₁

u₂

A