D1852 Trio de tangentes
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit la conique (Γ) et les tangentes T1, T2 et T3 respectivement aux points D, E et F. Les tangentes forment le triangle ABC (B et C sur T1, C et A sur T2, A et B sur T3).
Quelles conditions doivent être satisfaites pour qu'on ait l'égalité: AB . AC = BF . CE ?
Repère d'origine A, F et B sur l'axe des abscisses, C et E sur l'axe des ordonnées.
Équation d'une conique qui ne passe pas par l'origine A : ax²+2bxy+cy² – 2dx – 2ey + 1 = 0, Si elle est tangente aux axes en E et F : d²x²+2bxy+e²y² – 2dx – 2ey + 1 = 0, ou encore (dx – 1)² + (ey – 1)² +2bxy – 1=0
F et E ont pour coordonnées (1/d,0) et (0,1/e).
Si les coordonnées de D sont (u,v), l'équation de la tangente en D est : d²ux+b(vx+uy)+e²vy – d(x+u) – e(y+v) + 1 = 0,
l'abscisse de B vérifie : d²ux + bvx – d(x+u) – ev + 1 = 0 x(bv+d²u – d) = du+ev – 1 l'ordonnée de C vérifie : buy+e²vy – du – e(y+v) + 1 = 0, y(bu+e²v – e) = du +ev – 1 AB.AC = (du+ev−1)2
((bu+ve2−e)(bv+u d2−d)) BF.CE = [1/d – (du+ev−1)
(bv+ud2−d) ].[1/e – (du+ev−1) (bu+ve2−e) ]
BF.CE = (uv(b−de)2)
(de(bu+ve2−e)(bv+ud2−d))
La condition AB.AC = BF.CE équivaut à de(du+ev – 1)² – uv(b – de)² = 0 ou de[(du-1)²+(ev-1)² +2buv – 1] + uv(d²e² – b²) = 0
Comme le point D est sur la conique (Γ) , ses coordonnées (u,v) annulent le crochet, et la condition AB.AC = BF.CE , sachant que uv ≠0, se résume à d²e² – b² = 0 .
(Γ) possède alors une direction asymptotique double .
Pour qu'on ait l'égalité: AB . AC = BF . CE il faut et suffit que (Γ) soit une parabole.
