A235. Un trou de mémoire
Zig vient de passer son oral de mathématiques au concours d’entrée à l’I.R.M.( Institut des Récréations Mathématiques) et Puce lui demande l’énoncé de l’exercice sur lequel il a planché.
Zig : « Il s’agissait de déterminer la somme S3 des cubes de trois variables x,y et z (x≤y≤z) dont on donnait la somme S1, la somme des carrés S2 et la somme des puissances quatrièmes S4.Je me rappelle la valeur de S1=2 mais j’ai un trou de mémoire sur les valeurs des deux autres sommes. Mon seul souvenir est que les trois sommes prises dans l’ordre S1,S2 et S4 formaient une progression géométrique.
Puce : « Il m’est impossible de résoudre le problème avec cet énoncé tronqué ».
Zig : « Tu as raison. Après le calcul de S3, l’examinateur m’a demandé de calculer de la même manière la somme S5 des puissances cinquièmes.
Faute de temps, je ne n’y suis pas parvenu. Il fallait trouver 2102. » Avec ces précisions, montrer que Puce est capable de calculer S3 et par la même occasion de retrouver S2 et S4?
Solution de Jean Nicot
On note S la somme S1 de x, y et z, égale à 2 ; D la somme des doubles produits et P le produit xyz.
En exprimant S2 et S4 en fonction des grandeurs symétriques S, D et P, la seule contrainte de la progression géométrique de S1, S2 et S4 est
insuffisante pour déterminer D et P. La relation S5 = 2102 fournit la seconde relation.
S1² = S2 + 2D = 4 soit S2 = 4-2D
S2² = S4 +2 x²y² = S4 +2(D²-2PS) soit S4 = S2²-2D²+8P
La progression géométrique de S1, S2 et S4 signifie S2²= S1S4 = 2S4
S4 =(4-2D)²/2 = 2D²-8P d’où P = D-1
S1S2 = S3+x²y = S3+ DS -3P soit S3 = 2S2 + 3P-2D ou S3 = 8-6D+3P = 5-3D S3S2 = S5 + x3y² or (x²y²)x = x3y²+x²y²z soit x3y²=2(D²-2PS)-PD S5 = (4-2D)(5-3D) - 2(D²-4P)+PD ou S5= 20-22D+4D²+8P+DP = 5D²-15D+12 Eliminant P, il vient S5=5D²-15D+12 =2102
D est solution de D²-3D-418=0 dont les racines sont -19 et 22 Comme S2 est positif, seule D=-19 convient et P =-20 avec S=2
x,y,z sont solutions de X3-2X²-19X+20 =0 dont les racines sont -4, 1, 5 On obtient x=-4, y=1, z=5, S1 = 2, S2 = 42, S3 = 62, S4 = 882, S5 =2102
