D20093. La loi du milieu On donne 5 points

D20093. La loi du milieu

On donne 5 pointsA, B, C, D, Edans le plan. On demande de construire un pentagone ayant ces points pour milieux des cˆot´es. Si vous avez un compas mais pas de r`egle, combien d’arcs de cercle allez-vous tracer pour construire les sommets du pentagone ?

Solution

Soit LM N P Q le pentagone cherch´e, les points se succ´edant dans l’ordre LAM BN CP DQEL sur son p´erim`etre. A et B ´etant milieux des cˆot´es du triangleLM N, on a (vectoriellement)LN = 2AB; de mˆeme (triangleN P Q) N Q= 2CD, puis LE =EQ= (LN +N Q)/2 =AB+CD.

SoitF tel queAB+CD=AF,BF =CD,BCDF est un parall´elogramme.

Comme LE = EQ = AF, AF EL et EAF Q sont des parall´elogrammes, AM =LA=EF,AEF M est un parall´elogramme.

De mˆeme, on a P C = CN = DE + AB. Soit G tel que BDEG soit un parall´elogramme, P C = CN = AG, AGCP et CAGN sont des pa- rall´elogrammes.

Construction au compas seul.

On trouve le 4e sommetT d’un parall´elogramme XY ZT par l’intersection des arcs de cercle (X,|Y Z|) (de centre X et de rayon |Y Z|) et (Z,|XY|), soitT = (X,|Y Z|)∩(Z,|XY|), en ne gardant que le point s´epar´e deY par la droiteXZ.

D’o`u une construction en 10 arcs de cercle (dont certains donnent plusieurs intersections).

F = (B,|CD|)∩(D,|BC|), L= (A,|EF|)∩(E,|AF|), M = (A,|EF|)∩(F,|AE|), Q= (F,|AE|)∩(E,|AF|), G= (B,|DE|)∩(E,|BD|), N = (C,|AG|)∩(G,|AC|), P = (C,|AG|)∩(A,|CG|).

Si vous avez une solution avec moins de 10 arcs, je serais heureux de la connaˆıtre.

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