Si c'est M3 qui est le sommet de l'angle droit, on a : x4 = x1 + x2 – x3 (et de même pour les y)

D252 – Le quatrième sommet [*** à la main]

Problème proposé par Michel Lafond

Dans le plan euclidien, on donne les coordonnées de trois sommets d'un rectangle non aplati : M1 (x1, y1), M2 (x2, y2) et M3 (x3, y3). On ne sait pas lequel de ces trois points est le sommet de l'angle droit du triangle (M1M2M3). Exprimer les coordonnées x4, y4 du quatrième

sommet du rectangle comme fonctions rationnelles [quotient de deux polynômes] de (x1, y1, x2, y2, x3, y3).

On veut une seule formulation x4 = f (x1, y1, x2, y2, x3, y3) et y4 = g (x1, y1, x2, y2, x3, y3).

Solution proposée par Patrick Gordon

Si M1 est le sommet de l'angle droit, les segments M1 M4 et M2 M3 ont même milieu et, par conséquent :

x₄ = x₂ + x₃ – x₁ (et de même pour les y).

Si c'est M₂ qui est le sommet de l'angle droit, on a, de la même manière et par permutation circulaire du deuxième membre :

x4 = x3 + x1 – x2 (et de même pour les y).

Si c'est M₃ qui est le sommet de l'angle droit, on a : x4 = x1 + x2 – x3 (et de même pour les y).

Comme on veut une seule formulation, on ne peut pas garder les "si" comme on le ferait dans un programme informatique.

L'idée est d'affecter chacune des expressions "i" ci-dessus (i = 1, 2, 3) de x4 d'un coefficient qui vaudrait respectivement 1 et 0 selon que le sommet de l'angle droit est ou n'est pas i. Les

"produits scalaires normés" [M_iM_j, M_iM_k] / M_iM_j² le permettent puisqu'ils prennent la valeur 0 ou 1 selon que l'angle en M_i est droit ou non.

On écrira donc :

(1) x4 = (x2 + x3 – x1) × [M2M1, M2M3] / M2M3²× [M3M2, M3M1] / M3M1² + (x3 + x1 – x2) × [M3M2, M3M1] / M3M1²× [M1M3, M1M2] / M1M2² + (x₁ + x₂ – x₃) × [M₁M₃, M₁M₂] / M₁M₂²× [M₂M₁, M₂M₃] / M₂M₃² Et naturellement de même pour y4 :

(2) y₄ = (y₂ + y₃ – y₁) × [M₂M₁, M₂M₃] / M₂M₃²× [M₃M₂, M₃M₁] / M₃M₁² + (y3 + y1 – y2) × [M3M2, M3M1] / M3M1²× [M1M3, M1M2] / M1M2² + (y1 + y2 – y3) × [M1M3, M1M2] / M1M2²× [M2M1, M2M3] / M2M3² Mais les "produits scalaires normés" sont des fonctions rationnelles des xi et yi.

En effet, [MiMj, MiMk] / MiMj² s'écrit :

(3) [MiMj, MiMk] / MiMj² = [(xj – xi) (xk – xi) + (yj – yi) (yk – yi)] / [(xj – xi)² + (yj – yi)²]

Les expressions de x4 et y4 que l'on obtiendrait en reportant (3) dans (1) et (2) sont lourdes mais il est établi que l'on peut exprimer les coordonnées x4, y4 du quatrième sommet du rectangle comme des fonctions rationnelles [quotient de deux polynômes] des coordonnées des trois points donnés M₁ M₂ M₃.