   n IN : 3  n   4 IN

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Devoir surveillé n°1 1ére Bac SMATHS

Exercice 1: 4, 5pts

Compléter le tableau suivant :

Proposition

  ^P

La négation de

  ^P

La vérité de

  ^P

 ^{  n IN : 3}  ^{n   4 IN}

 ^{  x IR :}  ^x

²

^{ 2 x   1 0}

   ^{0;1 :}  ¹

1 x x

  x 



Exercice 2: 6pts

2pts 1) Résoudre dans

IR

l’équation :

2 x  1  x

2pts 2) En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que:

 ^{  x IR :}  ^x

²

^{   1 x 1}

2pts 3) Soit a un nombre réel positif. En utilisant le raisonnement par contraposé, montrer que :

3  a

⁴

 8 a

³

 18 a

²

 8 a  3  5  2   a 2

Exercice 3: 3, 5 pts

Soient a, b et c trois réels strictement positifs tels que:

ab bc ca    1

1,5pts 1) Montrer que:

a

²

  b

²

2 ab

, puis déduire que :

a

²

   b

²

c

²

1

2pts 2) Montrer par l'absurde que :

2

a b   3

ou

2

b c   3

ou

2 c a   3

Exercice 4: 2pts

Montrer que :

 ^{ y }  ^{2; }    ^{ x  IR :}  ^x

²

^{ 2 xy  4  0}

Exercice 5: 4pt

1,5pt 1) a-Soit a un réel tel que

a  0

. Montrer que:

 ^{  n IN : 1}   ^{ a} 

ⁿ

^{ 1  an}

0.5pt b- Déduire que :

 ^{n IN}  ^{: 1 1}

ⁿ

²

n



 

  

  

2pt 2) Montrer que:

 ^{  n IN} 

^;

⁵

¹

^{2 3 1 IN}

8

n n

   

Exercice 6: 2pts (Bonus)

Montrer par récurrence que pour tout

n  IN

^ et pour tous réels strictement positifs

a a

₁

;

₂

;.... et a

_n on a

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2

1 1

n n

1

i

i i i

a n

 

a

 

    

 

    