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Logique booléenne TD1

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Academic year: 2022

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(1)

TD1

Logique booléenne

(2)

Vérifier les propriétés suivantes de la fonction OU :

● (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C Associativité

● A + B = B + A Commutativité

● A + A = A Idempotence

● A + 0 = A Elément neutre

● A + 1 = 1 Absorption

● on va utiliser la table de vérité de la fonction OU

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

(3)

● associativité

A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C) A+B+C

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

(4)

● associativité

A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C) A+B+C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(5)

● associativité

A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C) A+B+C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(6)

● commutativité

● élément neutre

● élément absorbant

A B A+B B+A

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

A B A+0

0 0 0

1 0 1

A B A+1

0 1 1

1 1 1

(7)

distributivité (1)

● A . (B+C) = A.B + A.C

A B C B+C A.(B+C) A.B A.C A.B+A.C

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

(8)

distributivité (1)

● A . (B+C) = A.B + A.C

A B C B+C A.(B+C) A.B A.C A.B+A.C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(9)

distributivité (2)

● A+(B.C) = (A+B).(A+C)

A B C B.C A+(B.C) A+B A+C (A+B).(A+C)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

(10)

distributivité (2)

● A+(B.C) = (A+B).(A+C)

A B C B.C A+(B.C) A+B A+C (A+B).(A+C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(11)

relations d’absorption

A + A.B = A

A + A.B = A.1 + A.B

= A. (1 + B )

= A.1

= A A. ( A +B) = A

= A + A.B A. ( A +B) = A.A + A.B

= A

(12)

relations diverses

A + ( A .B ) = A + B

= 1. ( A + B)

A + ( A .B) = ( A + A ) . ( A + B)

= A + B

(13)

OU exclusif

A ⊕ B = A .B + A .B

A B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A ⊕ B

(14)

OU exclusif

A ⊕ B

( A + B) . A .B = ( A + B ) . ( A +B )

= A . A + A . B + B . A + B. B

= 0 + A . B+ A .B+0

= A .B + A .B

= A ⊕ B

(15)

OU exclusif (2)

( A.B)+( A .B ) = A.B. A .B

= ( A + B ) . ( A +B )

= A .B+ A .B

(16)

OU exclusif (3)

A ⊕ B = A ⊕ B = A ⊕ B A ⊕ B = A .B + A .B

= A .B. A.B

= ( A + B ) . ( A + B )

= A.B + A .B

= A ⊕ B = A ⊕ B

(17)

calcul algébrique

A.C +B.C + A.B = A.C+ B. C

A + B = A + A .B A + C = A.C + C A.C + B.C + A.B = A.C + B. ( C + A )

= A.C + B. (C + A.C)

= A.C (1 + B )+ B.C

= A.C + B.C

(18)

fonction logique réalisée ?

S

1

S

2

S

3

S 1 = A.B S 2 = A. A.B S 3 = B. A.B

X = S 2 . S 3

= A. A.B.B. A.B

= A. A.B + B. A.B

= ( A + B) . A.B

A B

(19)

xy

zt 00 01 11 10

00 01 11 10

simplification d'une fonction (1)

x y z t f

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

(20)

xy

zt 00 01 11 10

00 0 0 0 0

01 0 1 1 0

11 0 0 0 0

10 1 1 1 1

simplification d'une fonction (1)

f = y. ̄ z .t + z . ̄ t

x y z t

f

x y z t f

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

(21)

simplification d'une fonction (2)

x y z t f

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

xy

zt 00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 0 1 1 0

11 0 1 1 0

10 1 0 0 1

f = y.t +̄ y . ̄ t

x y z t

(22)

simplification d'une fonction (3)

x y z t f

0 0 0 0 1

0 0 0 1 X

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 X

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 X

xy

zt 00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 X 1 1 1

11 0 0 X 1

10 1 X 0 1

f = x. ̄ y +̄ y . ̄ t +̄ z . t

x y z t

(23)

Réponse temporelle d'un circuit

A B

C

Y

Y = A .B + B.C

AB

C 00 01 11 10

(24)

Réponse temporelle d'un circuit

Y n1

n2 A=0

B

C=1

(25)

Réponse temporelle d'un circuit

A=0 B = 1 -> 0

C=1

Y = 1 n1

0 -> 1

n2 1 -> 0

B n2

n1

chemin court chemin critique

Y = 1 -> 0 -> 1

(26)

Réponse temporelle d'un circuit

AB

C 00 01 11 10

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

● mise en évidence du glitch

– passage de ABC=001 à ABC=011

● pour éviter le glitch

AB

C 00 01 11 10

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

Y = A .B+ B.C + A .C

(27)

Réponse temporelle d'un circuit

A B

C

Y

Références

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