Cas favorable

1. Sommes de Riemann

Définition 1.1. Soient aetbdeux réels tels que a< b. On appelle subdivision pointée, s, de[a,b] tout couple((x_i)0≤i≤n),(y_i)1≤i≤n)tel que

a=x0<x1<⋯<x_n=b,

∀i∈{1, . . . ,n} xi−1≤yi≤xi.

On définit le pas de la subdivision pointée, s, comme le pas de la subdivision(x_i)0≤i≤n, i.e. pas(s) = pas((x_i)_0≤i≤n)=max0≤i≤n−1(x_i+1−xi).

Définition 1.2. Sis=((x_i)0≤i≤n),(y_i)1≤i≤n)est une subdivision pointée de l’intervalle[a,b](a<b) et si f ∶ [a,b]↦_R, on appelle somme de Riemann de fpour cette subdivision la valeur

S(f,s)=

∑n i=1

(x_i−x_i−1)f(y_i).

Théorème 1.3. Une fonction f ∶ [a,b] ↦_Rest Riemann intégrable si et seulement si il existel ∈_Rtel que pour toutε>0, il existeα>0tel que sisest une subdivision pointée de[a,b]

pas(s)<αÔ⇒∣S(f,s)−l∣<ε.

(1)

De plusl=∫a^b f(t)dt.

Démonstration. Supposons quefest Riemann intégrable sur[a,b]et montrons la convergence des sommes de Riemann. PosonsM = sup_x∈[a,b]∣f(x)∣. Soitε > 0et soit, d’après la définition du cours,(φ,ψ)deux fonctions en escalier telles que

∀x∈[a,b] ∣f(x)−φ(x)∣≤ψ(x), ∫_a^bψ(t)dt<ε.

Remarquons que

∣∫_a^b f(t)dt−∫_a^bφ(t)dt∣<ε, (2)

∀x∈[a,b] φ(x)−ψ(x)≤ f(x)≤φ(x)+ψ(x).

(3)

Soits^′une subdivision adaptée àφ+ψet notonss^′=(x^′_i)_0≤i≤p.

Soits = ((x_i)0≤i≤n),(y_i)1≤i≤n)une subdivision pointée de[a,b]. Le choix du pas de la subdivision pointée dépendra des^′et donc deε. L’idée est d’associer àS(f,s)une fonction étagée,g_s, dont l’intégrale vautS(f,s)et de comparer g_s,φ−ψetφ+ψsur l’intervalle[a,b]et d’en déduire un encadrement de S(f,s).

Soitg_sla fonction en escalier sur[a,b]definie par gs(x)=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

f(y_i) six∈[x_i−1,x_i[ (i≤n), f(b) sinon.

ClairementS(f,s)=∫^abg_s(t)dt. Il faut maintenant comparer finementg_setφ+ψ. En effet comme on peut le constater sur le graphique ci-dessous la propriétégs≤φ+ψest fausse en général ! Pouri∈{0, . . . ,n−1}

deux cas peuvent se présenter :

1

–cas favorable– il existe j∈ {0, . . . ,p−1}tel que[x_i,xi+1] ∈]x^′_j,x^′_j+1[. La propriété (3) et le fait queφ+ψ soit constante sur]x^′_j,x^′_j+1[entraînent quegs≤φ+ψsur l’intervalle]x_i,xi+1[;

–cas défavorable– il existej∈{0, . . . ,p}tel quex^′_j∈[x_i,x_i+1]et dans ce cas on ne peut pas comparerg_setφ+ψmais clairementg_s(x)≤Msur]x_i,x_i+1[(c’est la majoration dite brutale).

a x

a x

Cas favorable

x

x

y

x

x

x

x

y

γ

≤ φ + ψ sur [x

, x

]

γ

≤ φ + ψ sur [x

, x

] φ + ψ

g

i,xi+1[

Cas défavorable

Comme les points(x_i)0≤i≤net(x^′_j)0≤j≤psont ordonnés il y a au plus pcas défavorables (ce nombre ne dépendant pas deg_smais deφ+ψi.e. deε). On obtient donc les deux inégalités

∑

cas favorable

(x_i+1−x_i)f(y_i)≤ ∑

cas favorable∫_x^xi+1

i

φ(t)+ψ(t)dt (4)

∑

cas défavorable

(x_i+1−xi)f(yi)≤ ∑

cas défavorable

M(x_i+1−xi)≤pMpas(s) (5)

SiM_ε=sup_x∈[a,b](∣φ(x)∣+∣ψ(x)∣)alors (6) ∫_a^bφ(t)+ψ(t)dt−pMεpas(s)≤ ∑

cas favorable∫_x^xi+1

i

φ(t)+ψ(t)dt≤∫_a^bφ(t)+ψ(t)dt+pMεpas(s).

Les inégalités (4)–(6) entraînent que

S(f,s)=∫_a^bg_s(t)dt≤∫_a^b(φ(t)+ψ(t)dt+ppas(s)(M_ε+M).

De la même façon on démontre que

∫_a^bφ(t)−ψ(t)dt−ppas(s)(M_ε+M)≤∫_a^bg(t)dt=S(f,s).

Les deux inégalités précédentes impliquent que

∣S(f,s)−∫_a^bφ(t)dt∣≤∫_a^bψ(t)dt+ppas(s)(M_ε+M).

Définissonsα>0tel queαp(M_ε+M)<ε(la constanteαne dépend que dep,M_εetMmais ne dépend pas degs). Si la subdivision pointéesest telle quepas(s)<αalors

∣S(f,s)−∫_a^bφ(t)dt∣<2ε et avec (2)

∣S(f,s)−∫_a^b f(t)dt∣<3ε.

Ainsi si fest Riemann intégrable alors les sommes de Riemann convergent vers∫^abf(t)dtquand le pas de la subdivision tend vers0.

Réciproque. Supposons que les sommes de Riemann convergent et montrons que pour toutε>0il existe φ,ψfonctions en escalier sur[a,b]telles que

(7) ψ≤ f≤φ sur[a,b], et ∫_a^b(φ−ψ)(t)dt<ε, ce qui équivaut d’après un lemme du cours àfRiemann intégrable sur[a,b].

La quantitéM =sup_x∈[a,b]∣f(x)∣est nécessairement fini, car sinon∣S(f,s)∣serait aussi grand que l’on veut pour une subdivision de pas arbitrairement petit ce qui contredirait la convergence des sommes de Riemann vers un réel fini.

Soientε>0etα>0tels que les conditions (1) sur les sommes de Riemann soit vérifiées. Soits=(x_i)0≤i≤n

une subdivision de pas strictement inférieur àα. Soitβ > 0(qui sera précisé ultérieurement). Pour tout i∈{1, . . . ,n}soity_itel que

x_i−1≤y_i≤x_i, sup

x∈[x_i−1,xi]f(x)−β≤ f(y_i)≤ sup

x∈[x_i−1,xi]f(x).

Lesyi existent (par définition de la borne supérieure) et dépendent deβ. Soit la subdivision pointéet= ((x_i)_0≤i≤n,(y_i)_1≤i≤n)qui vérifiepas(t)<αet donc

(8) ∣S(f,t)−l∣<ε.

Définissons la fonctionφen escalier sur[a,b]par φ(x)=⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

sup

y∈[x_i−1,xi]f(y) six_i−1≤x<x_i (1≤i≤n),

f(b) sinon.

Il est clair que f≤φsur[a,b]et que

∫_a^bφ(t)dt−β(b−a)≤S(f,t)≤∫_a^bφ(t)dt, d’où

∣S(f,t)−∫_a^bφ(t)dt∣≤β(b−a).

L’inégalité triangulaire et (8) nous donnent

(9) ∣l−∫_a^bφ(t)dt∣<ε+β(b−a).

Pour la minoration, recommençons ! Pour touti∈{1, . . . ,n}soity^′_itel que xi−1≤y^′_i≤xi, inf

x∈[xi−1,xi]f(x)≤ f(y^′_i)≤ inf

x∈[xi−1,xi]f(x)+β.

Lesy^′_iexistent et dépendent deβ. De la même façon on définit la subdivision pointéet^′=((x_i)0≤i≤n,(y^′_i)1≤i≤n) qui vérifiepas(t)<αet donc

∣S(f,t^′)−l∣<ε.

Définissons la fonctionψen escalier sur[a,b]par ψ(x)=⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

y∈[xinf_i−1,xi]f(y) six_i−1≤x<x_i (1≤i≤n),

f(b) sinon.

Il est clair queψ≤ fsur[a,b]et que

∫_a^bψ(t)dt≤S(f,t)≤∫_a^bψ(t)dt+β(b−a), ce qui donne en utilisant (8)

(10) ∣l−∫_a^bψ(t)dt∣<ε+β(b−a).

Pour conclure utilisons les inégalités (9) et (10) et l’inégalité triangulaire : on obtient

∣∫_a^bφ(t)−ψ(t)dt∣<2ε+2β(b−a).

Il suffit donc de choisirβ>0tel queβ(b−a)<εpour conclure que nous avons construit deux fonctions en escalier sur[a,b],φetψ, telles que

ψ≤ f≤φ sur[a,b]et ∣∫_a^bφ(t)−ψ(t)dt∣<4ε.

À une bonne rédaction près, la fonctionfest Riemann intégrable sur[a,b].

1.1. Applications.

1.1.1. Calcul d’une intégrale. Pourα∈_R∖{±1}, calculons l’intégrale Jα=∫₀^πln(1−2αcos(t)+α²)dt.

L’étude de la fonctiont↦(1−2αcos(t)+α²)et la conditionα≠±1permet de conclure que la fonction t↦ln(1−2αcos(t)+α²)est continue sur[0,π], donc Riemann intégrable.

D’après le théorème 1.3, sis_ndésigne la subdivision pointée x_i= iπ

n (0≤i≤n), y_i= iπ

n (1≤i≤n),

alorsS(f,sn) tend vers Jα quand n tend vers l’infini (pas(s_n) = π/n → 0 quand n → +∞). Si ω = exp(iπ/n),ωdésigne une racine2n-ème de l’unité, alors les propriétés du logarithme et un peu de cal- cul donnent

∑n k=0

π

nln(1−2αcos(kπ/n)+α²)= π nln(∏ⁿ

k=1

(1−2αcos(kπ/n)+α²))= π nln(∏ⁿ

k=1

(α−ω^k)(α−ω^−k))

= π

nln((α²ⁿ−1)α+1 α−1),

sachant que pour obtenir la dernière ligne, les égalitésx²ⁿ−1=∏²ⁿi=0⁻¹(x−ω^k)etω^−k=ω^2n−kdonnent x²ⁿ−1=

n−1∏

i=0

(x−ω^k)×

∏n i=1

(x−ω^−k).

Ainsi par simple passage à la limite quandntend vers l’infini on obtient queJα=0si∣α∣<1etJα=2πln∣α∣

si∣α∣>1.

1.1.2. Étude de suite. Soit p∈_N∖0et définissons le terme général de la suite(u_n)_n≥1par un=

np

∑

k=1

1 n+k.

Les sommes de Riemann permettent de donner la limite de la suite(u_n) très facilement. L’idée est de transformer la somme en une somme de Riemann, i.e. trouver la fonction fet la subsidivision pointéesn

telles queu_n=S(f,s_n). Il faut donc un peu de pratique, de l’intuition et les idées claires ! Très souvent la subdivisionsnest une subdivision équidistante etyi=xiouyi=xi−1. Dans notre cas, sinest fixé,

np

∑

k=1

1 n+k =

np

∑

k=1

1 np

p 1+^kp

np

=

np

∑

k=1

(x_k−x_k−1)f(x_k)=S(f,sn), où

f(x)= p

1+px, x_k= k

np(1≤k≤np), y_k=x_k(1≤k≤n).

Comme la fonctionfest continue sur[0,1], donc intégrable au sens de Riemann, on obtient queuntend vers∫⁰¹ f(t)dt=ln((p+1)/p).

Exercice 1.

(a) Trouver la limite de

∑n k=1

√ k

n³ quandn→+∞.

(b) A l’aide d’un D.L. deln(1+x),xdans un voisinage de0, calculer la limite de

∏n k=1

⎛

⎝1+

√ k n³

⎞

⎠ quandn→∞. [à défaut d’un D.L. l’encadrementx−x²/2≤ln(1+x)≤xsuffira]

Exercice 2.Soient fetgdeux fonctions continues sur l’intervalle[0,1]. Montrer que

n→+∞lim

n−1∑

i=0

1 nf(i

n)g(i+1

n )=∫₀¹f(t)g(t)dt.

Indication : remarquer tout d’abord que la somme ci-dessus n’est pas une somme de Riemann ! Ensuite utiliser l’uniforme continuité pour se ramener à une somme de Riemann.

2. Sommes de Darboux

Soient fune fonction de[a,b](a<b) dansRetsune subdvision de[a,b]. On notes=(x_i)_0≤

i≤n. Définition 2.1. On appelle sommes de Darboux inférieure et supérieure les quantités

d(s,f)=

n−1∑

i=0

(x_i+1−x_i)inf{f(x), x∈[x_i,x_i+1]}, D(s,f)=

n−1

∑i=0

(x_i+1−x_i)sup{f(x), x∈[x_i,x_i+1]}.

Remarque 2.2. Clairementd(s,f)≤D(s,f).

Théorème 2.3. Pour toutes subdivisionsettde l’intervalle[a,b]on a

(11) d(s,f)≤D(t,f).

En particulier si on définit les quantités

d(f)=sup{d(s,f),ssubdivision de[a,b]}, D(f)=inf{D(s,f),ssubdivision de[a,b]}

Alorsd(f)≤D(f).

Proposition 2.4. Sisettsont deux subdivisions telles ques≺talorsd(s,f)≥d(t,f)etD(s,f)≤D(t,f).

Preuve de la proposition. Posonst = (x_i)0≤i≤nets = (y_i)0≤i≤p. Commes ≺ ton sait que{x0, . . . ,x_n} ⊂ {y₀, . . . ,yp}et comme les suites sont strictement ordonnées soientp0=0< p1 <⋯< pn−1 <pn= ptels quey_pi =x_ipouri∈{0, . . . ,n}. Clairement

(x_i+1−x_i) sup

[x_i,xi+1](f(x))=

pi+1−pi−1

∑j=0

(y_pi+j+1−y_pi+j) sup

[x_i,xi+1](f(x))

≥

pi+1−pi−1

∑

j=0

(y_pi+j+1−y_pi+j) sup

[y_pi+j,y_pi+j+1](f(x)), d’où, par sommation suri,D(t,f)≥D(s,f).

De la même façon, les propriétés de la borne inférieure et le même découpage nous donnentd(t,f)≤

d(s,f).

Preuve du théorème 2.3. Il suffit, en utilisant la proposition précédente, de remarquer qued(s,f)≤d(s∧

t,f)≤D(s∧t,f)≤D(t,f).

On peut aussi caractériser les fonctions Riemann intégrables à l’aide des sommes de Darboux.

Théorème 2.5. Une fonctionf ∶ [a,b]↦_Rest Riemann intégrable si et seulement sid(f)=D(f). Dans ce cas

∫_a^b f(t)dt=d(f)=D(f).

Démonstration. Supposons fRiemann intégrable sur[a,b]. Soitε>0et soientφ,ψen escalier sur[a,b]

telles que

ψ≤ f≤φ sur[a,b]et ∫_a^bφ(t)−ψ(t)dt<ε.

Soitsune subdvision adaptée àφetψ,s = (x_i)0≤i≤n. La difficulté technique est que la propriété f ≤ φ sur[a,b]n’entraîne pas nécessairement(x_i+1−xi)sup{f(x);x ∈ [x_i,xi+1]}≤ (x_i+1−xi)φ_∣]xi,xi+1[ (car sup{f(x);x ∈ [x_i,xi+1]}peut être différent desup{f(x);x ∈]x_i,xi+1[}Ceci nous contraint à faire du découpage !

PosonsMε=sup_[a,b]∣φ∣etM=sup_[a,b]∣f∣. PourNassez grand (1/N <pas(s)/2), posons y0=x0=a, y1 = x1−1/N, y2 =x1+1/N, . . . ,y_2n−1 =x_n−1−1/N, y_2n= x_n−1+1/N,y_2n+1 =x_n =b(formule générale y_2i+1 = x_i−1/Net y_2i+2 = x_i+1/Npour1 ≤ i ≤ n−1), ce qui nous donne une nouvelle subdivision t.

QaundNdevient très grand,y2iety2i+1encadrentxiet ainsi

(y_2i+1−y_2i)sup{f(x);x∈[y_2i,y_2i+1]}≤(y_2i+1−y_2i)φ_{∣]y2i,y2i+1[}=(y_2i+1−y_2i)φ_∣]xi,xi+1[, (12)

(y2+2−y_2i+1)sup{f(x);x∈[y_2i+1,y_2i+2]}≤ 2M N , (13)

∫_a^bφ(t)dt=

∑2n i=0

(yi+1−yi)φ_∣]yi,yi+1[=

∑n i=0

(y_2i+1−y2i)φ_{∣]y2i,y2i+1[}+

n−1

∑

i=0

(y2+2−y2i+1)φ_{∣]y2i+1,y2i+2[}, (14)

∣ⁿ⁻¹∑

i=0

(y2+2−y_2i+1)φ_{∣]y2i+1,y2i+2[}∣≤ 2nM_ε N . (15)

Ainsi (12)–(15) nous donnent D(t,f)=

∑2n i=0

(y_i+1−y_i)sup{f(x);x∈[y_i,y_i+1]}

=

∑n i=0

(y_2i+1−y2i)sup{f(x);x∈[y_2i,y2i+1]}+

n−1

∑

i=0

(y2+2−y2i+1)sup{f(x);x∈[y_2i+1,y2i+2]}

≤

∑n i=0

(y_2i+1−y_2i)φ_{∣]y2i,y2i+1[}+

n−1∑

i=0

2M N

≤

∑2n i=0

(y_i+1−yi)φ_∣]yi,yi+1[−

n−1

∑

i=0

(y2+2−y2i+1)φ_{]∣y2i+1,y2i+2[}+2Mn N

≤∫_a^bφ(t)dt+2nM_ε+M N .

Ajoutons que∫a^bφ(t)dt<∫a^b f(t)dt+εet nous obtenons

D(t,f)<∫_a^bf(t)dt+ε+2nMε+M N .

ChoisissonsNsuffisamment grand tel que2n^Mε_N^+M <εet ainsi il existe une subdivisionttelle queD(t,f)<

∫a^bf(t)dt+2ε, ce qui implique (εétant un réel arbitraire strictement positif) queD(f)≤∫a^bf(t)dt.

De la même façon (découpage compris) on démontre qued(f)≥∫a^bf(t)dt. Le théorème 2.3 —propriété d(f)≤D(f)— permet de conclure que

d(f)=D(f)=∫_a^bf(t)dt.

Réciproque.Ce sera plus simple. En effet supposons qued(f)=D(f). Soientε>0,settdeux subdivisions de[a,b]telles que

D(s,f)−ε≤D(f)=d(f)≤d(t,f)+ε.

Sis=(x_i)0≤i≤nalors la fonction en escalierφdéfinie par φ(x)=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

sup_{y∈[xi,xi+1]}f(y) six∈[x_i,x_i+1[ (0≤i≤n−1),

f(b) sinon.

est telle que f≤φsur[a,b]etD(s,f)=∫^abφ(t)dt.

On construitψde la même façon en remplaçantsupparinfet on obtientψen escalier telle queψ≤ fsur [a,b]etd(t,f)=∫^abψ(t)dt. Par hypothèse on aD(s,f)−d(t,f)≤2ε, ce qui donne∫^abφ(t)−ψ(t)dt≤ 2ε. Ainsi fest Riemann intégrable. Le fait qued(f)=D(f)=∫^abf(t)dtdécoule de ce qui précède.