PS40 1 Médian Aut 2011
NOM :
Correction
Examen Médian PS40
Partie Electronique
Note :
Durée : 50mn. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n'est autorisé. Téléphone portable interdit
Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d'être éventuellement calculées de façon numérique.
EXERCICE 1
Déterminer ZAB les impédances complexes des dipôles AB suivants:
1) ZAB?
( )
( )
2 AB
R 1 LC jL
1 jRL
Z
jC R jL jC R jL
− ω + ω
= + ω =
ω + ω ω + ω
2) ZAB?
AB
AB
1 1 1 1 1
Y jC j C
Z R jL R L
= = + ω + = + ω −
ω ω
Ou encore
( )
AB 2
Z jLR
R 1 LC jL
= ω
− ω + ω
3) ZAB?
AB
AB
1 1 1
Y Z R jL 1
jC
= = + =
ω + ω
( )
2
AB 2 2
AB
1 1 jC 1 LC jRC
Y
Z R 1 LC R 1 LC
ω − ω + ω
= = + =
− ω − ω
Ou encore
(
2)
AB 2
R 1 LC Z
1 LC jRC
− ω
= − ω + ω
4) Faire le schéma équivalent du dipôle de la question 3) dans les cas suivants:
• En courant continu ->
En continu, l’impédance du condensateur est infinie tandis que celle de la self est nulle. Le dipôle est donc équivalent à une résistance R.
/20
6
1,5
A L B
C R
A C L B
R 1,5
1,5
1,5
A B
L C
R
A C L B
R
PS40 2 Médian Aut 2011
• Aux fréquences infinies ->
Aux fréquences infinies, l’impédance du condensateur est nulle tandis que celle de la self est infinie. Le dipôle est donc équivalent à une résistance R.
• Lorsque 1
ω = LC ->
Lorsque 1
ω = LC, LCω =2 1. ZAB est alors nulle. En fait, c’est l’impédance du groupe L en série avec C qui s’annule. Le montage est donc équivalent à un fil parfait.
EXERCICE 2
Considérons le montage suivant:
On se place en régime sinusoïdal établi.
1) Déterminez l'expression de la fonction de transfert s
e
V T
= V . On peut utiliser la formule du diviseur de tension ou celle de Millman.
( )
( )
2 s
2 e
V R jL R jL
T V R jL jRL R jL jRL
R jL
+ ω
+ ω
= = + ω + ω = + ω + ω
+ ω
( ) ( )
2 2 2 2
R L 2jRL
T
R L 3jRL
− ω + ω
= − ω + ω
Déterminez le module et l'argument de la fonction de transfert T lorsque R
ω = L. Lorsque R
ω = L, 2 T
= 3. Le module vaut 2
T
= 3 et l’argument Arg T
( )
= 04
2
Ve Vs
L
R R L
2
A C L B
R
A L avec C B
R
PS40 3 Médian Aut 2011
EXERCICE 3
Considérons le montage suivant:
On remarquera la présence d’une source de tension commandée en tension.
1) Déterminer les dipôles AB équivalent de Thévenin et de Norton en fonction de I0, R et A. On respectera les orientations et les notations suivantes :
Le cours nous dit que Th N
Th Th N
R R
E R .I
=
= . Il suffit donc de trouver 2 des 3 inconnues pour connaitre la troisième.
a. ETh est la tension à vide du dipôle c'est-à-dire VAB.
( )
Th
A
A 1
R R
E 2 2
R
ε + ε ε +
= = or
0
I A
2R
1 1
R 2R + ε ε = +
d’où
2RI0 A 3
ε = + ε et donc 2RI0 3 A
ε = − . On en déduit
alors 0
( )
Th
RI A 1 E
3 A
= +
−
b. IN est le courant de court circuit du dipôle AB.
N 3 2
I = I + I or, la maille de sortie nous donne
3
I A
R
= ε. On constate par ailleurs que
0
1 2
I I I
= = 2 d’où l’on déduit RI0 ε = 2 . Enfin N 0
( )
I I 1 A
= 2 +
4
4
RN
IN
A
B
RTh
ETh
A
B R
R R I0
A
B Aε ε
ET
R R
R I
A
B Aε ε
I0
IN
R R
R A
B Aε
ε I1
I2
I3
PS40 4 Médian Aut 2011
c.Pour obtenir RTh, on éteint les sources indépendantes et on « mesure » la résistance entre les bornes A et B.
1 2
I = I + I or 1 U I
= 2R (maille) et 2 U A I
R
= − ε (maille) avec U
ε = 2 (diviseur de tension).
D’où I U 1 U A U U
(
3 A)
2R R 2 2R
= + − = −
et enfin
Th
R 2R
3 A
= −
EXERCICE 5
Considérons le montage suivant :
On se place en régime sinusoïdal établi.
1) Déterminez v en fonction de VA.
A
V V 1
1 jRC
= + ω (diviseur de tension)
2) Déterminez VA en fonction de Ve et Vs (ne pas faire apparaitre v).
e
s A
V V
V jC
R R
V 1 1
jC R R
+ + ω
= + + ω
or V = Vs donc e s
( )
A
V V 1 jRC V
2 jRC
+ + ω
= + ω
3) Déterminez enfin la fonction de transfert s
e
V T
= V (ne plus faire apparaitre VA et v)
A partir des 2 questions précédentes, on déduit
( ) ( ) ( )
s e s
V 1 + jRCω 2 + jRCω = V + V 1 + jRCω d'où l'on obtient
( )
s
2 e
V 1
T
V 1 jRC
= =
+ ω
De quel type de filtre s’agit-il ?
C'est un filtre passe bas du second ordre. En effet, lorsque:
1
ω >> RC, alors T << 1 le filtre coupe les hautes fréquences.
1
ω << RC, alors T ≈ 1 le filtre transmet les basses fréquences.
6
1
C
R
VA v
R
v Ve C
Vs
2
2
1
B I
R U R
R A
Aε ε
I1 I2