Projet scientifique
Théophile Dolmaire
∗28 janvier 2019
1 Contexte et introduction générale
Mon sujet de recherche se situe à l’interface entre l’étude des équations aux dérivées partielles et la physique mathématique, en particulier la physique sta- tistique.
Plus spécifiquement, on s’attache à mieux comprendre les liens qui peuvent être établis entre les solutions des équations hydrodynamiques, qui décrivent ces fluides comme des continua de matière (comme par exemple l’équation d’Eu- ler ou celles de Navier-Stokes), ou bien les solutions d’équations qui décrivent la matière à une échelle mésoscopique (comme c’est le cas pour l’équation de Boltzmann), et une description particulaire, à l’échelle microscopique des gaz.
On commence par considérerNparticules (on peut choisir d’étudier par exemple des sphères dures, pour les modèles les plus simples) de diamètreε, où N doit être vu comme un nombre très grand, tandis queεest considéré comme extrê- mement petit, qui évoluent dans une partieΩde l’espace euclidienRd (détant pris égal à 2 ou 3 dans les cas physiquement pertinents), et qui interagissent entre elles, d’une façon qui sera détaillée dans la suite.
On étudie alors le passage à la limite connu sous le nom de "low-density li- mit", ou aussi limite de Boltzmann-Grad, c’est-à-dire que l’on fait tendre le nombreN de particules vers l’infini, avec la condition additionnelle :
N εd−1= 1,
ce qui signifie, d’un point de vue physique, que le libre parcours moyen d’une particule (c’est-à-dire la distance parcourue avant qu’une interaction avec une autre particule ne se produise) est d’ordre1. On obtient ainsi à la limite un gaz fortement dilué, et il est possible d’obtenir formellement, en suivant les travaux fondateurs de Boltzmann, la célèbre équation qui suit et qui porte son nom :
∂tf+v· ∇xf =Q(f, f), (1)
oùf est la fonction de répartition d’une particule typique du gaz, etQ(f, f)est un opérateur quadratique qui n’agit que sur les variables de vitesse de f. En
∗Laboratoire IMJ-PRG, Université Paris 7 - Paris Diderot - [email protected]
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d’autres termes, l’inconnuef de cette équation de Boltzmann (qui dépend des trois variables suivantes :t (le temps), x(la position), v (la vitesse)) contient des informations de nature statistique sur le gaz, qui peuvent être comprises comme suit. Le nombre :
f(t, x, v) dxdv
représente la quantité de particules contenues dans l’élément de volume élémen- tairex+ dx⊂Ω, avec une vitesse appartenant àv+ dv⊂Rd, au tempst.
2 Apport personnel au cours de la thèse
Lorsque Boltzmann introduisit l’équation (1), qu’il obtint de manière formelle, il s’aperçut qu’un gaz qui évoluait en respectant cette équation suivait une dy- namique irréversible. Cependant, Loschmidt et Zermelo notèrent par la suite des comportements apparemment paradoxaux directement impliqués par ce ca- ractère irréversible de l’évolution de tels gaz.
Dans le but de mieux comprendre ces paradoxes, l’étude rigoureuse de la limite de Boltzmann-Grad a connu un important développement, et permit d’obtenir en 1973 le résultat capital connu sous le nom de théorème de Lanford, cité pour la première fois dans [5]. Sa preuve a été revue et corrigée récemment (on peut consulter à ce propos les références [3], [2] et [4]). Ce théorème énonce que la limite de Boltzmann-Grad permet d’obtenir de façon rigoureuse l’équation de Boltzmann, et ce sur un intervalle de temps non trivial. Plus précisément : Théorème 1. Soitf0:R2d7→R+ une densité de probabilité continue tel que :
f0(x, v) exp β 2|v|2
L∞(
Rd)
<+∞
pour un certainβ >0. Si considère le système deN sphères dures de diamètre ε, initialement distribuées selon la densitéf0, de façon presque indépendante, alors, dans la limite de Boltzmann-Grad :
ß N → +∞, N εd−1 = 1,
la fonction de répartition de ce système converge sur[0, T]×R2dpour un certain T >0 vers la solution de l’équation de Boltzmann (1) obtenue avec f0 en tant que donnée initiale, au sens faible.
Dans l’énoncé du théorème, on demande à ce que les particules soient distri- buées de façon "presque indépendante". Le sens précis de ces termes est que, mis à part la condition de séparation des particules (c’est-à-dire que l’on impose que, à l’instant initial, la distance entre les centres des particules est plus grande que ε, afin que les particules ne se chevauchent pas et que l’on puisse définir correctement leurs trajectoires), il n’y a pas d’autre obstacle à l’indépendance
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de la distribution initiale.
Ici, le terme de collision de l’équation de Boltzmann (1), c’est-à-dire le terme de droite de l’équation, n’est pas donné en détail, mais il convient de noter qu’il dépend de manière cruciale de l’interaction entre les particules choisie pour le modèle étudié.
Le précédent théorème est cité précisément dans [4], dans un cadre où les par- ticules évoluent dans l’espace euclidienRd tout entier. J’ai étudié le problème similaire, dans lequel cette fois les particules évoluent à l’extérieur d’un obstacle Ωsuffisamment régulier, et sont soumises à une réflexion lorsqu’elles atteignent le bord du domaineΩc.
Ce modèle est pertinent en pratique puisque l’équation de Boltzmann est utili- sée pour simuler les mouvements de fluide raréfié autour d’un objet qui pénètre dans l’atmosphère, si bien que l’on peut raisonnablement considérer, en vue des applications, le cas où le domaine dans lequel évolue les particules est le complémentaire d’une partie convexe deRd.
3 Développements possibles, et perspectives de recherche
Le premier théorème cité dans [4] considère le cas des sphères dures, c’est-à-dire que l’on étudie des particules qui avancent en ligne droite à vitesse constante jusqu’à une collision avec une autre particule (ce qui se produit, par définition, quand la distance entre les centres des deux particules concernées atteint la valeur de ε). Au cours de la collision, le modèle stipule que les vitesses sont modifiées selon les lois de la dynamique, de telle façon que l’énergie cinétique ainsi que la quantité de mouvement du couple de particules impliquées dans la collision sont conservées. Autrement dit, on considère des collisions élastiques.
Un problème particulièrement intéressant consiste à modifier le modèle et à considérer de nouvelles lois pour définir le comportement des particules, de telle sorte que l’on puisse autoriser une éventuelle perte d’énergie cinétique au cours des collisions (qui sont donc, de fait, inélastiques). Le problème de Cauchy pour le système de particules, même lorsque l’on est amené à en considérer un nombre fixé, et qui constitue la toute première étape du programme défini précédem- ment, représente un défi à lui seul.
Un autre prolongement naturel du résultat cité précédemment pourrait consis- ter à modifier le modèle et à considérer des interactions plus complexes entre les particules et l’obstacle. Au cours de la thèse, l’hypothèse de la réfléxion spé- culaire lorsqu’une particule heurte l’obstacle a été systématiquement adoptée.
Une question difficile, et qui impliquerait sans doute une réécriture profonde de la preuve, est de considérer en lieu et place de cette réflexion spéculaire une condition de bord diffusive, ou même une condition de bord mixte, qui marie ré- flexion spéculaire et réflexion diffusive après absorption par le bord du domaine,
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comme dans l’article [1], et qui correspond davantage à une situation physique.
Références
[1] Marc Briant and Yan Guo. Asymptotic stability of the Boltzmann equa- tion with Maxwell boundary conditions. Journal of Differential Equations, 261(12) :7000–7079, 2016.
[2] Carlo Cercignani, UI Gerasimenko, and D Ya Petrina. Many-particle dyna- mics and kinetic equations, volume 420. Springer Science & Business Media, 2012.
[3] Carlo Cercignani, Reinhard Illner, and Mario Pulvirenti. The mathematical theory of dilute gases, volume 106. Springer Science & Business Media, 2013.
[4] Isabelle Gallagher, Laure Saint-Raymond, and Benjamin Texier.From New- ton to Boltzmann : hard spheres and short-range potentials. European ma- thematical society, 2013.
[5] Oscar E Lanford. Time evolution of large classical systems. InDynamical systems, theory and applications, pages 1–111. Springer, 1975.
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