Mouvement aléatoire unidimensionnel de sphères dures : influence d'une interaction d' échange

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Mouvement aléatoire unidimensionnel de sphères dures : influence d’une interaction d’ échange

J.P. Travers

To cite this version:

J.P. Travers. Mouvement aléatoire unidimensionnel de sphères dures : influence d’une interaction d’ échange. Journal de Physique, 1981, 42 (8), pp.1103-1109. �10.1051/jphys:019810042080110300�.

�jpa-00209096�

Mouvement aléatoire unidimensionnel de sphères ^{dures :}

influence d’une interaction d’ échange

J. P. Travers

Centre d’Etudes Nucléaires de Grenoble, Département de Recherche Fondamentale, Section de Résonance Magnétique, ⁸⁵ X, 38041 Grenoble Cedex, ^France

(Reçu ^{le 13} janvier 1981, accepté ^{le 8} avril 1981)

Résumé.

On considère des particules ^se déplaçant par ^sauts aléatoires sur une chaîne linéaire, soumises à des interactions de sphères ^dures

^deux particules ^ne peuvent occuper simultanément le même site. Une interaction

d’échange couple ^les spins ^des particules pendant les collisions. L’effet de l’interaction d’échange ^{sur le} spectre ^des fluctuations du spin ^{local est} étudié dans la limite des faibles concentrations de particules. ^{A la} divergence ^en 03C9-3/4 du spectre ^{aux basses} fréquences, ^{dans le cas de} l’échange nul, ^{se substitue une} divergence ^{en 03C9-1/2 caracté-} ristique ^d’une diffusion unidimensionnelle. Le coefficient de diffusion est donné en fonction de la concentration de

particules, ^de l’intégrale d’échange ^{et de la} fréquence ^{de saut.}

Abstract.

The following model is considered. Hard sphere-like particles ^are randomly hopping ^{in a linear} chain ; exchange interaction between their spins is allowed during the collisions. The effect of the exchange ^inter-

action on the local spin fluctuation spectrum is studied in the low particle concentration limit. The 03C9-3/4 divergence

of the spectrum ^{at low} frequency, which holds in the zero exchange case, is replaced by ^{a 03C9-1/2} divergence ^which

is characteristic of a one dimensional diffusion. The diffusion coefficient is given ^{as a} function of particule ^concen- tration, exchange intégral ^and hopping ^rate.

Classification

Physics ^Abstracts

05.40

71.70G

1. Introduction. - Ces dernières années de nom-

breux travaux ont été consacrés à l’étude des proprié-

tés dynamiques ^des systèmes unidimensionnels ( 1 D) [1-9]. ^La synthèse ^de plusieurs familles de composés ^à

caractères quasi-unidimensionnels ^a certainement contribué à relancer l’intérêt _pour ce type ^de problè-

mes. Parmi ces familles de composés figurent ^{les chaî-}

nes magnétiques d’Heisenberg, caractérisées _par une

forte anisotropie de l’interaction d’échange, ^{les conduc-}

teurs organiques 1D, qui manifestent une grande ^ani- sotropie ^de conductivité, ^les semi-conducteurs _orga-

niques ^dans lèsquels ^{existe un mouvement} quasi-ld

de pseudo-particules

^{les excitons} triplets

^et

enfin les conducteurs superioniques où des ions se

déplacent rapidement ^le long de tunnels 1D.

Parmi les méthodes d’étude expérimentale ^des pro-

priétés dynamiques ^d’un système, ^{les mesures de} temps de relaxation nucléaire Tl permettent d’accéder ^au spectre des fluctuations locales du spin ^{dans un solide} paramagnétique. Sous des conditions assez générales,

on peut ^montrer que la dynamique ^des spins ^{à haute} température ^{obéit à une} équation de diffusion. A une

dimension cela conduit à une divergence ^{en y 1/2}

du spectre ^{vers les basses} fréquences. ^Cette divergence

est très atténuée (Log úJ - 1) ^{dans le cas d’une diffusion}

à deux dimensions et n’existe _pas à trois dimensions.

La divergence ^{en (j) - 1/2 a été observée} pour la _pre- mière ^fois _par ^{des mesures de} T1 dans les chaînes

d’Heisenberg [10], ^{et a été mise en évidence} plus

récemment dans les conducteurs organiques [11]. ^La

loi de diffusion dont les conséquences ^{sont les} plus spectaculaires ^{à une} dimension, ^{traduit une incohé-}

rence du mouvement des particules. Que ^se passe-t-il si, ^en plus ^de l’incohérence intrinsèque ^{de leurs mou-}

vements, ^les particules qui portent ^le spin ^sont gênées

dans leurs déplacements par des interactions de

sphères dures ? On peut ^montrer [2-5] que le spectre des fluctuations locales possède ^une propriété singu- lière _propre aux systèmes ^{1D. Il} présente ^{une diver-}

gence plus forte que dans le cas d’une simple ^{loi de}

diffusion : ^en w-3/4. Que ^{deviendra cette} singularité ^si

en plus des interactions de sphères dures, ^{une inter-}

action d’échange couple ^les spins pendant les colli- sions ?

Concrètement, ^{on rencontre ce} type ^de problèmes

par exemple ^{dans les} semi-conducteurs organiques

dans lesquels la relaxation nucléaire est due essentiel- lement au mouvement aléatoire d’états triplets ^excités thermiquement (les ^excitons triplets). ^{Les excitons sont}

soumis à la fois à des interactions de sphères ^dures

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019810042080110300

1104

un seul exciton possible par site

et à des interactions

d’échange pendant ^les collisions

ils occupent ^alors des sites premiers ^voisins. Expérimentalement, ^c’est

une divergence ^{en w-1/2} qui ^est observée dans ce

type ^de composé [12-14].

Définissons la fonction de corrélation du spin ^local

où S03B1i désigne ^{l’une des} composantes (a ^{= z,} ± ) ^de l’opérateur ^de spin ^{associé au site i} de la chaîne. De telles fonctions entrent dans l’expression ^du temps ^de relaxation nucléaire Tl dans les solides paramagné- tiques [15]. ^{Nous ne} considérons dans ce travail _que le cas simple ^{où les} particules ^{sautent d’un site sur un}

site premier ^{voisin. Dans le cas de} particules ^sans interaction, ^{l’état de} spin ^de chaque particule ^{est une}

constante du mouvement. On peut ^montrer que [1] :

où S est la valeur du spin, ^{c la} concentration de parti-

cules sur la chaîne et où Pij(t), la fonction de corrélation de position ^d’une particule donnée n, ^est définie de la

façon ^{suivante :}

pi(t) ^{est la} probabilité ^{de trouver la} particule n ^{au site i}

au temps ^{t. La fonction} Pij(t) ^{est diffusive aux temps}

longs ^{devant le} temps moyen séparant ^{deux sauts r ;}

elle décroît en t-1/2 et le spectre correspondant qui ^lui

est associé diverge ^{en w-1/2 vers les basses} fréquences.

Aux temps ^{courts devant i} la fonction Piit) ^{n’a de sens}

que si elle représente la moyenne statistique ^{des fonc-}

tions de corrélation d’un grand ^{nombre de} particules.

Dans ces conditions, elle décroît exponentiellement :

en e-t/t. Nous ne considérerons dans ce travail _que le comportement de la fonction de corrélation aux temps

longs

longs ^{devant i.} Considérons maintenant le

cas des sphères dures : deux particules ^ne peuvent occuper simultanément le même site. La relation (1)

est encore vérifiée dans ce cas. Ce problème ^{a été traité}

à la fois théoriquement [4, 9] ^et par simulation sur

ordinateur [3]. ^La fonction de corrélation ^de position

d’une particule ^donnée Pij(t) ^{ne diffuse plus aux temps}

longs, ^{elle décroît} plus ^lentement que t-1/2 : en t- 1/4.

Cette évolution temporelle correspond ^{à une diver-}

gence ^en w-3l4 du spectre ^{vers les basses} fréquences.

Ce résultat traduit l’idée intuitive _que l’on a de l’évo- lution d’un tel système 1D ; ^une particule, ^coincée

entre ses deux voisines, ^ne s’écartera _{que très} lentement de sa position d’origine. Supposons maintenant qu’il

existe une interaction d’échange ^{entre les} spins pendant

les collisions. L’état de spin ^de chaque particule ^n’étant plus ^{une constante} du mouvement, la relation (1) ^ne

tient plus. Que devient la dynamique ^des spins ^dans

ces conditions ?

Nous ne traiterons ici que le ^cas des faibles concen-

trations de particules ^sur la chaîne. Mais bien _{que les} collisions soient _rares, nous verrons que l’échange

modifie fondamentalement le comportement ^aux temps longs de la fonction de corrélation du spin ^local.

Dans la section suivante, ^nous définissons les notations

adoptées, ^nous présentons ^le formalisme utilisé et nous

discutons les approximations effectuées ^tout au long

du calcul. Le chapitre ^{3 est consacré au calcul} propre- ment dit de la perturbation ^causée par l’interaction

d’échange. Enfin dans la dernière partie les résultats sont présentés ^{et discutés.}

2. Formalisme utilisé.

Nous utiliserons les trans- formées de Fourier en espace ^{et en} temps de certaines

expressions. ^{Ainsi nous} définirons :

où N est le nombre de sites sur la chaîne et a la distance intersite. Nous supposerons par la suite a

1 ; ^aussi

les nombres d’onde q ^{seront sans} dimension. De même :

sera la densité spectrale ^ou spectre des fluctuations du

spin ^{local. Nous} utiliserons également la transformée de Laplace ainsi définie :

L’hamiltonien total H du mouvement des spins ^sur

la chaîne est composé ^{de deux termes :}

- Hh ^est l’hamiltonien qui ^{décrit la} marche aléa- toire de sphères ^{dures sur la chaîne et leurs} interactions

(deux particules ^ne peuvent occuper le même site). ^La fréquence caractéristique ^{de cet} hamiltonien est égale

à Wh, la fréquence ^{de saut} d’un site à un site voisin donné. L’expression ^de Rh ^est inconnue ; par ^contre la fonction de corrélation associée à ce mouvement est connue. Nous utiliserons les résultats de Richards [3] ^{et Fedders} [4].

-

He l’hamiltonien d’échange ^{décrivant les inter-}

actions entre spins

premiers ^voisins uniquement

lors des collisions :

avec

où s. ^est l’opérateur ^de spin ^{associé à la} particule m ^{et J} l’intégrale d’échange caractérisant l’interaction. L’ha- miltonien H est isotrope par rapport ^aux degrés ^de

liberté de spin, ^d’où

Nous n’étudierons _par la suite _{que la} fonction liée à la composante ^{z du} spin. ^Nous prendrons

1, ^ce qui ^{rend les} fréquences homogènes ^{à des} énergies.

Enfin nous n’aborderons _{que la} limite haute tempé-

rature du modèle considéré (kT » Wh, J).

Pour effectuer le calcul de Fz(co) ^nous utiliserons le formalisme de la fonction mémoire [16-17]. ^De façon générale, l’évolution de la fonction Tq (t) ^{est donnée}

par :

où Kq (t) ^est appelée fonction mémoire du système. ^La transformée de Laplace ^{de cette} équation ^{donne :}

Nous nous restreindrons au cas où He ^est petit

devant Hh ^dans l’opérateur d’évolution; c’est-à-dire que la dynamique dépend essentiellement du mou- vement de marche aléatoire, l’échange ^n’étant qu’une perturbation. ^Cette hypothèse ^est justifiée si la fré- quence caractéristique d’évolution due à l’échange wx.

est petite ^{devant la} fréquence ^{de saut} Wh. ^{Aux faibles}

concentrations (c 1/10) ^{des arguments} statistiques permettent ^d’écrire wx

cJ. Une des conditions de validité de notre calcul sera donc

D’autre part, ^{nous allons} négliger ^dans l’expression (7)

les fonctions mémoires croisées faisant intervenir à la fois les hamiltoniens de marche aléatoire et d’échange.

Cette approximation ^est justifiée ^{dans la} limite haute

température. ^{Les termes croisés} s’expriment ^{avec des}

fonctions de corrélation à trois opérateurs ^de spin ^du type ( s: + q’( t) s±q-- S = q + q" > ^{alors que les termes carrés} s’expriment ^{avec des} fonctions de corrélation à quatre opérateurs ^de spin ^telles que

En utilisant dans les deux cas la ^« technique ^{de décou-} plage » ^en modes q [ 17-20] ^{on montre} que les termes croisés sont proportionnels ^{à la} susceptibilité (en 1/T) ^alors que les termes carrés ne dépendent pas

explicitement ^{de la} température. ^{Sous ces conditions} l’expression (7) ^{devient :}

où

est la fonction mémoire liée au mouvement incohérent

Dans la limite haute température ^{et aux} fréquences grandes ^{devant la} largeur ^{du mode} Êz(w) considéré :

on peut ^montrer [15] :

où Tq (w) ^{est la} transformée de Laplace ^de Tz(t) ^ainsi

définie :

Par commodité, ^nous appellerons également tz(co)

fonction mémoire, ^{néanmoins nous} garderons ^{la dis-}

tinction entre À§(ce) ^et t:(w) ^{dans les} équations. ^Le développement ^de l’expression (6) ^{donne 4 termes :}

des sphères ^{dues sur la chaîne et}

est la fonction mémoire associée à l’échange ^{« modulé}

par la marche aléatoire ». T’,q(t) est connue; ^nous utiliserons les expressions suivantes obtenues à partir

des résultats de Richards et Fedders [3, 4, 13] :

avec les notations suivantes :

Nous nous proposons maintenant de calculer Té,q(t)

la contribution de l’échange ^à la fonction mémoire.

3. Calcul de la fonction mémoire relative à l’échange.

-

Les détails ^{du calcul sont} donnés dans la réfé-

rence [13]. ^Dans l’espace réciproque, l’hamiltonien

d’échange ^{s’écrit :}

Ne considérant _que des interactions entre spins pre-

miers voisins, l’expression (13) ^{devient :}

1106

Une fois le calcul des commutateurs de l’expres-

sion (11) effectué, T:,q(t) ^{s’exprime avec} des combinai-

sons linéaires de fonctions de corrélation à quatre opérateurs ^de spin. ^{La «} technique ^de découplage » ^en

modes q ^{souvent utilisée} [17-20] ^{consiste à} approxi-

mer la fonction à quatre opérateurs ^de spin par ^une

somme de produits de fonctions à deux opérateurs ^de spin. ^{Ainsi :}

où l’on a défini :

la fonction de corrélation de spin ^non perturbée par l’interaction d’échange. ^{Il a} été montré [21] que ^cette approxi-

mation était satisfaisante aux temps ^{courts. Elle se} justifie ^ici puisque ^{le calcul est effectué} pour des fréquences grandes ^{devant la} largeur ^{du mode} r;(w) [cf. ^condition (4)]. ^{En utilisant en outre les} propriétés ^de symétrie ^des

fonctions à deux opérateurs ^de spin, ^{on arrive à} l’expression ^{suivante :}

La transformée de Laplace ^de l’équation (14) ^{donne :}

Nous utiliserons dans cette double intégrale, ^les expressions (12) de la fonction de corrélation non

perturbée. L’intégrale ^{dans le} plan complexe ^s’effectue

par la méthode des résidus. L’intégration ^sur les q

est un peu fastidieuse ; l’existence de deux expressions

différentes ^de Th,q(w) selon la valeur de q donne nais-

sance à de nombreux cas. Pour poursuivre ^le calcul,

et notamment développer ^{les fonctions} trigonomé- triques jusqu’au ^{2e ordre en q, nous nous} plaçons

désormais dans la limite hydrodynamique (q 0,2 ;

w « Wh). Cette restriction n’est guère gênante ^dans le cas de processus unidimensionnels puisque ^les modes q N ^{0 sont} prépondérants.

Nous obtenons ainsi des expressions de Î’=,q(w)

différentes selon les régions ^du plan (co, q) (cf. Fig. 1).

Le formalisme utilisé implique que les expressions

obtenues de Té,q(w) ^{ne sont} effectivement celles de la fonction mémoire K:,q(w) ^{que pour des fréquences}

situées ^en dehors de la largeur ^{du mode} [cf. ^{(4) et} (5)].

Lorsque l’expression ^de Té,q(w) ^{obtenue en dehors du}

mode est indépendante de la fréquence, l’approxima-

tion Markovienne consiste à extrapoler ^cette expres- sion vers les fréquences nulles. Cette approximation

n’est _pas applicable ^{à notre} problème ^car pour q q 2

la fonction t:,q(w) ^{diverge aux} fréquences inférieures à Ws

c6(1 - c)-2 Wh (cf. Fig. 1). Or, pour q de l’ordre

de q c 2 la condition de validité (4) impose ^co > cos. Par

conséquent, le formalisme utilisé n’apportera pas de

réponse ^{à notre} problème ^aux fréquences inférieures à _cos. De fait cette restriction n’enlève rien à l’intérêt des résultats. En effet, puisque ^c 1/10 (cf. § 2) ^leur

validité s’étend ^{sur un} minimum de 6 ordres de _gran- deur en fréquence.

Fig. ^1.

Expression ^de T’é,9(w) ^{(voir texte § 2) en} fonction de la

fréquence ^{co et} du nombre d’onde _q. Notations utilisées :

où c est la concentration de particules ^sur la chaîne et Wh ^leur fréquence ^{de saut. J est} l’intégrale d’échange.

[Expression ^of T é,9(w) (see text § 2) ^{as a} function of frequency ^ce

and wave number _q. With following notations :

where c is the particle concentration in the chain and Wh ^their hopping frequency. ^{J is the} exchange intégral.]

4. Résultats et discussion.

Le calcul a été conduit à son terme sous les conditions sutvantes :

-

haute température : ^kT» Wh, J ;

-

faible concentration de particules : ^c 1/10 ;

-

l’échange ^{est une} perturbation ^{du mouvement}

de marche aléatoire : cJ « Wh ;

-

limite hydrodynamique : q ^{0,2 ; co «} Wh ;

-

validité du formalisme utilisé :

(cf. ^fin du 9 3).

Dans ce cadre, ^la contribution de l’échange ^{à la}

fonction mémoire a pour expression :

où l’on a posé

avec

La dépendance en q2 ^de K:,q(w) ^{indique une contri-}

bution diffusive de l’échange ^{au mouvement des} spins. Dl ^est le coefficient de diffusion associé à cette contribution. L’expression (16) qui ^{donne la} dépen-

dance de Dl ^en fonction de _c, J et Do suggère ^une

analogie ^{avec un} processus de rétrécissement _par ^le mouvement ; ^il s’agirait ^{ici de} l’échange ^{« rétréci} par la marche aléatoire ».

Le mode f;«(w) de la fonction de corrélation de

spin s’exprime ^à partir des fonctions mémoires rela- tives à la marche aléatoire et à l’échange ^{à l’aide des}

relations (3) ^et (9) :

K:,q(w) ^{est donnée par} les relations (12) ^et K:,q(w) ^par

la relation (15). ^En intégrant l’expression (17) ^{sur les}

q ^nous obtenons la transformée de Laplace ^{de la}

fonction d’autocorrélation : tu(w)

tZ(w). ^{On en}

tire le spectre T z(w) à l’aide de la relation suivante :

Au cours de l’intégration, l’importance relative des deux contributions à la fonction mémoire fait _appa- raître deux cas [13] :

4.1 Di Do ^{sorr J} (1 - c) ^c-1/2 Wh.

^Le spectre ^se compose de trois régimes :

4.2 Dl > Do ^{soIT J} > (1 - c) ^{C- 1/2} Wh.

^{Il ne subsiste} que deux régimes :

Afin d’évaluer les conséquences que l’interaction d’échange provoque ^sur le spectre ^{de la} fonction d’autocorré-

lation de spin, rappelons-en l’expression ^{dans le cas du seul mouvement} incohérent de sphères ^dues [3, ^4, 14].

1108

Il existe deux régimes ^en fréquence :

L’ensemble de ces résultats est qualitativement ^résumé

sur les figures 2a, 2b, ^{2c. Nous avons} porté rZ(w) ^en

fonction de l’inverse de la racine carrée de la fréquence w - 1/2. Le spectre ^d’un processus diffusif est une

droite dans un tel système ^de coordonnées.

Le résultat fondamental apparaît ^{dans le} compor- tement du spectre ^vers les basses fréquences. ^{A la} divergence ^{en w-3/4} caractéristique ^{du mouvement}

incohérent 1D de sphères ^{dures se} substitue, ^en présence d’échange, ^une divergence ^{en w-1/2 carac-} téristique ^d’un processus diffusif. Autrement dit, l’échange rend la fonction de corrélation de spin diffusive ^aux temps longs. ^{Une manière} d’analyser plus

en détail ces résultats consiste à fixer la fréquence ^de

saut Wh ^et la concentration des particules ^{c et à}

suivre la déformation du spectre ^en fonction de

l’intégrale d’échange ^{J. En l’absence} d’échange (J = 0)

le spectre ^est caractérisé _par l’existence de deux

régimes : l’un diffusif à haute fréquence (w > ^C2 Wh)

-

de coefficient de diffusion Do - ^l’autre marqué

par ^une divergence ^{en w - 3/4 vers} les basses fréquences (w « ^C2 Wh) (cf. Fig. 2a). ^{Dans le cas de} l’échange

Fig. ^2.

Spectre de la fonction d’autocorrélation de spin ^{en fonc-}

tion de l’inverse de la racine carrée de la fréquence. ^{Notations uti-}

lisées : Do

(1 - c) Wh ; b

0,6(1 - C)’ ^C-’ Wh ; D1

acJ 2/Do

et Ms

c6(1 - c) - 2 Wh ^{où c est la} concentration de particules ^sur

la chaîne, Wh ^leur fréquence ^{de saut. J} l’intégrale d’échange ^{et a}

une constante : a) ^J

0; b) ^J (1 - c) ^c-l/2 Wh(D1 Do) ; c) ^J > (1 - C) c- ’/2 W,(D > Do).

[Spin autocorrelation function spectrum ^{as a} function of the inverse square ^root of frequency. ^With following notations : Do

(1- c) Wh;

b

0.6(1 - C)2 ^C-2 Wh ; Dl

03B1cJ2/D0 and ws,

c6(1 - C)-2 Wh

where c is the particle concentration, Wh ^their hopping frequency,

J the exchange integral ^{and oc a} constant : a) ^J

0 ;

« faible » ( J (1- c) ^{c - 1/2} Wh) ^{on retrouve le com-}

portement diffusif à haute fréquence (w » ^C2 Wh).

Le coefficient de diffusion Dl ⁺ Do ^est égal ^à Do ^en première approximation. ^{Par contre, aux} basses fré-

quences apparaît ^{un nouveau}

régime ^diffusif caractérisé _par ^un coefficient de l’ordre de 7,6 Dl (cf. Fig. 2b). L’origine ^{de ces deux} régimes

diffusifs est différente. Le mouvement de marche aléatoire est seul responsable ^du régime haute fré- quence, alors _que la diffusion aux basses fréquences

est due à l’échange. ^{Entre ces deux} régimes ^diffusifs,

le spectre évolue ^en w-3/4 ; c’est la seule réminescence de la partie ^basse fréquence ^{du cas de} l’échange ^nul.

Quand ^on accroît la valeur de J le spectre ^{évolue de} la façon ^{suivante :}

-

les coefficients de diffusion des deux régimes

diffusifs varient de façon convergente (cf. ^expres-

sions (18) ^et (20)) ;

-

la plage ^de fréquence ^sur laquelle ^{s’étend le} régime ^{en c-3/4 se rétrécit.}

On _passe ainsi de façon ^{continue au cas de} l’échange

« fort »(J > (1 - c) ^c-1/2 Wh) (cf. Fig. 2c). ^Le spectre

est diffusif sur toute la plage ^de fréquence : ^aucune

trace de divergence ^{en ro - 3/4 ne subsiste. Vers les}

hautes fréquences (co ^{» cl} Wh) le coefficient de diffu- sion Do ⁺ Dl ^est approximativement égal ^à D1, ^alors qu’il ^est rigoureusement égal ^à Dl ^aux basses fré- quences (a) ^{« c2} Wh).

Les résultats présentés ^ne s’appliquent pas ^aux

fréquences inférieures à ws ; ^En particulier, ^{nous ne}

pouvons pas analyser la transformation _que subit le spectre ^{dans le cas de} l’échange « très faible »

car elle se situe aux fréquences inférieures à _ws.

Néanmoins il est raisonnable de penser par simple

raison de continuité _que l’échange ^{rétablit une}

diffusion à basse fréquence. Qualitativement ^on peut le comprendre ^{de la} façon ^{suivante. En cas} d’échange nul, l’état de spin ^de chaque particule ^{est une cons-}

tante : mouvement des spins et mouvement des

particules ^{ne font} qu’un. L’échange ^{brise cette unité,} permettant ^{ainsi aux} spins de diffuser beaucoup plus

librement _que les particules. Ainsi la fonction d’auto- corrélation de spin ^{va décroître} plus rapidement que t-1/4 au-delà d’un certain temps ^{et la} divergence ^en w-3/4 sera nécessairement atténuée vers les basses

fréquences.

En conclusion, nous avons montré que dans un

système ^de spins faiblement concentrés (c 1/10) ^se déplaçant ^{comme des} sphères ^{dures de} façon ^incohé-

rente sur une chaîne, les interactions d’échange, ^même lorsqu’elles ^{sont faibles} (cJ « Wh) jouent ^{un rôle} primordial. ^Elles rétablissent aux temps longs ^un comportement diffusif de la fonction de corrélation du spin ^{local. Le} formalisme utilisé ne nous a pas

permis de traiter le cas des fortes concentrations,

mais on peut déjà prévoir que les effets de l’échange

seront certainement prépondérants ^{sur la} dynamique

des spins.

Remerciements.

Je tiens à ’ remercier les Drs. M. Nechtschein, ^{J. P. Boucher et F. Devreux}

pour leurs encouragements ^et pour de nombreuses et fructueuses discussions.

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