=~ l(x) nxdx a,,= ~/l(x) nxdx, b. ~ a. b. /(x) UBER DIE FOURIERKOEFFIZIENTEN EINER STETIGEN FUNKTION.

(1)

UBER DIE FOURIERKOEFFIZIENTEN EINER STETIGEN FUNKTION.

(Aus einem Brief an Herrn A. W I M A N . )

Voi~

TORSTEN CARLEMAN in UPPSALX.

Vor einiger Zeit haben Sie die Frage aufgeworfen, ob die Ordnung des zu einem stetigen Kern gehSrigen FREDHOLM'schen Nenners die obere Sehranke 2 er- reichen kann. Ieh werde im folgenden ein Beispiel angeben, fiir das diese Grenze tats~chlich erreicht wird. Das Beispiel h~ingt iibrigens mit einer Konvergenz- frage betreffend die Fourierkoeffizienten einer stetigen F u n k t i o n zusammen, welche vielleieht auch an und fiir sich nicht ohne Interesse ist.

Es sei

/(x)

eine im Intervalle (o, 2 z) definierte Funktion, deren Quadrat integrierbar ist. Bekanntlich konvergiert die Reihe

(a~ + b~), wo

a.

und

b.

die Fourierkoeffizienten

2~ 2~

cos

=~ l(x) nxdx

a,,= ~/l(x) nxdx, b. ~

sin

0 0

bedeuten. Naeh dem FmCHER-RIEsz'sehen Satze kann man keinen E x p o n e n t e n 2 - - ~ (6 > o) linden, so dass

(la.I ~-~ + Ib.I 2-~)

Acta mathematiea. 41. Imprim~ le 27 juia 1918. t,~ 48

(2)

378 Torsten Carleman.

fiir alle quadratisch intogrierbaren F u n k t i o n e n konvergiert. B e t r a c h t e t man hin- gegen nur F u n k t i o n e n

[(x)

yon besehriinkter Sehwankung, so wissen wir, dass es eine K o n s t a n t e c gibt, so besebaffen, dass

l a n l < n c, Ibnl< n- c

Folglieh konvergiert in diesem Falle die Reihe (I ^{a n}I ,+~ § I bn I

TM)

fiir jedes positive e. M. a. W. der Konvergenzexponent der Folge an, bn ist hier hSchstens gleich Eins. So wird m a n zu der Frage gefiihrt: Welche ist die obere Grenze der Konvergenzexponenten, wenn

/(x)

die Gesamtheit der stetigen F u n k t i o n e n durchl~uft?

Diese Grenze ist 2.

bei der

Ich werde in der Tat eine stetige F u n k t i o n angeben,

(la.I :-~ + I b.l ~-~) fiir alle positive d divergiert.

Die wesentlichste Sehwierigkeit bei dieser Konstruktion ist dureh den folgenden Satz yon S. BERNSTEIN 1 erledigt. Sei p eine ungerade Primzahl von der F o r m 4 ~ t + I u n d ( k p ) d a s zahlentheoretisehe Symbol von L~.O~NDRE ( ( k ) = + I oder - - I , je naehdem k in bezug auf p quadratischer Rest oder Niehtrest ist).

/

Dann h a t das trigonometrisehe Polynom

2 p~l

folgende Eigenschaften ^: (I)

(2)

p--1

cos kx = 2~ ~i~)cos

kx

k = l

I1~(~)1<~,

p - - 1

p - - I ' ~-'lay) l=

k - - I

Ich behaupte, dass die Reihe

C. R. J u i n I914.

(3)

die erwiinschte Eigenschaft besitzt. Dabei b e d e u t e t Pl, P 2 , . . . P . . . eine wach- sende Folge ungerader Primzahlen yon der Form 4,u + ~, die noch fo]genden Be- dingungen geniigen

(4) p~ > e",

P n _ l - - I

(5) ~ la(~n) l <~-

Dass es immer m5glieh ist (5) zu erfiillen, folgt daraus, dass bei festgehaltenem k lim

la!~)l

= lim

~(P ~--:"-:

= o.

Da wegen ^{( I )} die Reihe (3) offenbar gleichm~issig konvergiert, so ist F(x) eine stetige Funktion, deren Fourierkoeffizienten, die wir mit A , , Bn bezeichnen wol-

len, d u t c h die Relationen

A o = o ,

~ 1

Bn == o

( n - - I , 2, . 9 .)

(;~ : - I , 2 . . . . )

gegeben sind. Die Summe

s p , , _ l = l A , l + l A ~ l - ~ . . .

+ lAp _ll

l~sst sich nun, bei Beriicksichtigung, dass a(V~)= o fiir k>p~, folgendermassen absch~itzen :

p~-, p.-1

, ~o a(p~,)[

p~l I

Cp") a~')

k ~ P n - - 1 k = P n - - l l V f f i l I k f P n l l v - - n + l

P n - - 1 I

k - - P n -- 1

P n - - I P n - - 1 - - 1 P n -- 1

[ a~n")[ p.-1 ~ I a(kp~) [ ~ I a~'')[

_ . - , ^_ ^_ ^_

n~ ~2

Beriicksiehtigen wir, dass gemiiss (z) und (5)

(4)

P n - - 1 P~t - - 1 - - 1

~la~'")l < r,

k = t

so e r g i b t sich

SPn-- I >

P r t - - 1

~ la~'")l < ~,

k = P n _ 1

( v = n + z , n + z . . . . )

pn - - z z > ~0'~" ..... I

D a a b e r n < log Pn, folgt h i e r a u s sehliesslieh, dass fiir geniigend grosse n

Spn-- I > 2 log 2 p .

ist. W i r k S n n e n s o m i t b e h a u p t e n : Es gibt u n e n d l i c h viele p o s i t i v e g a n z e Z a h l e n m, fiir welche

(6) JAil + IA:I + - - + IA,nl > 2--~og~,~" Vm

E s ist n u n l e i c h t zu sehen, dass die R e i h e

• l ^{A. 12-'~} (~ > o)

r t = l

d i v e r g i e r t . D e n n w~ire sie k o n v e r g e n t , so giibe es eine v o n n unabh/i, ngige Zahl L d e r a r t , dass

n

~IA~I2-O< L

v - - 1

u n d e s w~ire n a e h einer b e k a n n t e n U n g l e i e h u n g

',

IA, I+IA21 + .+ I A . I < _ ( ~ I A ~ I ~-~'

^{- -} I 2 - - 0 < L 2 - - ~

'-~ ,

¹ 2 ( 2 - - (}), ⁵

was o f f e n b a r d e m R e s u l t a t (6) w i d e r s p r i e h t .

W i r k e h r e n n u n zu d e r a m A n f a n g erw~ihnten F r a g e zuriick.

t i g t leicht, dass die I n t e g r a l g l e i c h u n g

Man bestii-

(x) - - Z / K (x, y) ef (y) d y = b

(5)

(~ber die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion.

mit dem stetigen K e r n

z~ ( F ( x - - y ) - - F ( x + y)), K (x, y)

die Eigenfunktionen sin

k x

und die entsprechenden Eigenwerten ) . k - Ak besitzt. I

Da also die Reihe

a o

i 2 - - 0 i = l

fiir aile c~ > o divergiert, kann die Ordnung der zugeh6rigen FREDHOLM'Sehen Nen- her nicht kleiner als 2 sein.

Man kann mit Hilfe der Funktion F (x) noch folgende Frage beantworten.

Es sei K ( x , y ) ein ffir o < x < ;~ definierter reeller symmetrischer Kern so be- schaffen, dass Y

(7)

f ( K (x, y))2

d x d y

0 0

konvergiert. Die Eigenwerte und die zugehSrigen normierten Eigenfunktionen bezeichnen wir mit )~,, bzw. rf,,(x). Ferner mSge u (x) eine beliebige stetige F u n k - tion sein. Dann gelten die Entwicklungss/itze:

(8) (x, y) u (x) u (y) d x d y = ~.,i '

0 0 v - - 1 ~);

(9)

;r~ .-r

(x,y) u ( y ) d y = u(x)rp,,(x)dx.<f,.(x).

0 o

Die I~eihen rechter H a n d sind absolut konvergent. Es ist bei den Beweisen yon HIL~:R~ und SCHMIDT wesentlich vorausgesetzt, dass das Doppelintegral (7)konvergiert. Es erhebt sich die Frage, ob diese S/itze auch fiir allgemeinere Kerne gelten, etwa fiir Kerne yon der Form

(IO) K (x, y) = [ x - ~ ih < a < I ,

(6)

worin

H(x,y)

besehr/inkt bleibt. Der erste Satz (8) ist a u c h in diesem Falle giiltig, ~ der zweite a b e r nicht, was das folgende Beispiel zeigt. Man setze

K ' x

~' 2 ~-~cos uz cos r y I ~ . c o s oo

~ ( x + y ) +

cos r ( x - - y)

~ ' ~ 0 '~,~ [

F e r n e r wird s t a t t u (x) die oben besprochene F u n k t i o n F (x) gesetzt. Es ist leieht zu best~itigon, dass

K(x,y)

in der F o r m ( I O ) d a r g e s t e l l t werden k a n n . Die Reihe (9) ist in diesem Falle

'.a

^{cos ~x.}

D a m i t diese Rcihe fiir alle x a b s o l u t konvergiere (oder fiir x - W e r t e die eine P u n k t - menge bilden, deren Mass grSsser als Null ist), ist n o t w e n d i g und hinreiehend, dass

~.a p l - - a

>~.

k o n v e r g i e r t 2 Diese Reihe d i v e r g i e r t aber ffir a Denn es gilt, fiir u n e n d l i c h

2

viele m

1 1

~:_~, ~ [A,,

[ > ~-nV(-, i - o g ~ = e log ~ m"

Ich will sehliesslieh noeh die BERNST~I~'sche K o n s t r u k t i o n a u f ein P r o b l e m a n w e n d e n , das die im Einheitskreise beschr~inkten P o t e n z r e i h e n betrifft. E s sei

](z) = ~ a ~ z ~

eine fiir [ z [ < i regul~ire F u n k t i o n , welehe der B e d i n g u n g

"g--0

n

geniigt. LANDAU h a t die obere Grenze yon ~ a v bei d e r B e d i n g u n g (i2) g e n a u

v w 0

best.immt, und diese obere Grenze ist y o n der G r 6 s s e n o r d n u n g log n. I c h will nun an einem Beispiel zeigen, dass die G r S s s e n o r d n u n g d e r oberen Grenze (G.) von

la,,I

: Vgl. CA~LSMAS, Ubor das Neumann-l'oincar~scho Problom etc. Diss. Uppsala I916. S. 45.

FATou. Bull. de la soc. math. de Franco ]913.

(7)

n i c h t erheblieh kleiner als Vn sein k a n n . Dass sie n i c h t grSsser ist, folgt leicht aus der b e k a n n t e n Gleiehung

2 z

la, l'= ~ II(dq~)l'dcf.

~ ' = 0 0

H e r r FEKETE 1 h a t in einer a n d e r s g e r i c h t e t e n U n t e r s u c h u n g gelegentlieh den folgenden Satz ausgesproehen : Es sei cf (x) eine n a c h 2 z periodisehe, beschr~inkte, im RIEMA~N'sehen Sinne i n t e g r i e r b a r e F u n k t i o n y o n x u n d

~ ( a v cos ~ x + b v sin ~x)

die zu ihr gehSrige Fourierreihe. D a n n ist

I ~ l ( - - b ~ cos ~x + a~,sin

vx)]<CM

l o g n ,

wo M die obere Grenze y o n ]el(x)[ und C eine y o n M u n d n unabhiingige K o n - s t a n t e b e d e u t e t 2

Da ich mieh a u f diesen Satz stfitzen will, fiige ich dessen Beweis hier ein.

(--bvc~ :l;~] (,.~-sinP(x--s)(f(s)dS:l

I

I i y sin n (~x~ sin (-~!--+ I ) (x - s) 9 1 sin x - - s

5 2

~ i / ] sin n (x -- s)

< 2

- sin . . . . .

x--8

2

ds M3;~[ sinns]

o :in 2

,f (s) d s

i

^{l <}

B e k a n n t l i c h ist das I n t e g r a l in d e r letzten Zeile kleiner als C l o g n.

1 Journal ffir Mathematik 146.

Die Funktion

~(x) ~ sin x+Sin 2 x + . . . + sin

nx+ ...

2 n

zeigt fibrigens, dass eine bessere Gr6ssenordnung nicht zu erzielen ist, da ffir x--~ 0 eosx t eos2x+...+eosnxc.~__ logn.

I "~ n

(8)

Ich b e t r a c h t e n u n d a s P o l y n o m

2 C-log p" p~k~t (P--/c} zk

= v=12a"z"'

dessen R e a l t e i l fiir z = e i~ gleich 2 C log 1 _ p[p (O) wird. Der Satz yon I~EKETE ergibt n u n bei Beriicksichtigung d e r Ungl. (i), dass

ist. Da ferner

a,,z" < i (Izl < ~)

I , , = l

la~,l i . p - - I .... , = 2 C i 0 g v v p

I

k S n n e n wir den Schluss ziehen

lira log G . = I . ._| log n 2 Ziirich den 6. Dezember 1917.

=~ l(x) nxdx a,,= ~/l(x) nxdx, b. ~ a. b. /(x) UBER DIE FOURIERKOEFFIZIENTEN EINER STETIGEN FUNKTION.

UBER DIE FOURIERKOEFFIZIENTEN EINER STETIGEN FUNKTION.

/(x)

a.

b.

=~ l(x) nxdx

a,,= ~/l(x) nxdx, b. ~

[(x)

TM)

/(x)

2 p~l

kx

I1~(~)1<~,

(4) p~ > e",

(5) ~ la(~n) l <~-

la!~)l

~(P ~--:"-:

A o = o ,

+ lAp _ll

p~-, p.-1

p~l I

~la~'")l < r,

~ la~'")l < ~,

(6) JAil + IA:I + - - + IA,nl > 2--~og~,~" Vm

• l A. 12-'~ (~ > o)

~IA~I2-O< L

',

IA, I+IA21 + .+ I A . I < _ ( ~ I A ~ I ~-~'

'-~ ,

z~ ( F ( x - - y ) - - F ( x + y)), K (x, y)

k x

(7)

d x d y

(8) (x, y) u (x) u (y) d x d y = ~.,i '

(9)

(x,y) u ( y ) d y = u(x)rp,,(x)dx.<f,.(x).

H(x,y)

K ' x

~ ( x + y ) +

K(x,y)

'.a

~:_~, ~ [A,,

](z) = ~ a ~ z ~

la,,I

la, l'= ~ II(dq~)l'dcf.

vx)]<CM

(--bvc~ :l;~] (,.~-sinP(x--s)(f(s)dS:l

I

~ i / ] sin n (x -- s)

x--8

ds M3;~[ sinns]

o :in 2

,f (s) d s

i

nx+ ...

= v=12a"z"'

I

• l ^{A. 12-'~} (~ > o)