Diusion de particules
Les points du cours à connaître
I- Modèle microscopique du phénomène de diusion
1. Marche au hasard
Vitesse quadratique moyenne, temps de vol et libre parcours moyen
En moyenne, une particule de massemse déplace de façon rectiligne uniforme sur une longueur
` (le libre parcours moyen) entre deux chocs éloignés dans le temps de ∆t (le temps de vol).
Sa vitesse quadratique moyennevq = ∆t` est telle que l'énergie cinétique moyenne de la particule estEc = 12m vq2.
2. Diusion d'une particule
Passage d'un probabilité discrète à une densité de probabilité
La probabilité de trouver la particule dans le modèle de la marche au hasard est
∂p
∂t =D∂2p
∂x2 avec
D≈ ∆x2
∆t =vq∆x où` est le libre parcours moyen,
∆t le temps de vol.
et vq, la vitesse quadratique moyenne.
3. Densité volumique de particules Densité de particules
Le nombreN0 de particules du système (ouvert) déni par le volumeV, délimité par la surface fermée Σ est :
N0 = y
n0 d3τ oùn0 est la densité volumique de ces particules (en m−3).
II- Flux de particules
1. Cas de la convection 2. Généralisation
Flux de particules à travers une surface orientée
Le nombre dN0 de particules qui traversent une surface orientée S pendant dt est : dN0 =φN dt avec : φN =x
S
~jN·−−→ d2S
Le ux de particules φN s'exprime en s−1.
et la densité volumique de courant de particules~jN s'exprime en m2·s−1.
3. Cas de la diusion Loi de Fick
On admet la loi phénoménologique suivante (loi de Fick) :
~jN =−D−−→
grad(n0) oùD est le coecient de diusion (en m2·s−1).
III- Equation de diusion des particules
1. Etablissement de l'équation de diusion des particules Flux de particules à travers une surface fermée
Un bilan pour le système délimité par la surface fermée Σ donne (s'il n'y a ni création, ni annihilation de ces particules par une réaction) :
dN0 dt =−
ZZ
Σ
~jN−−→
d2Σ
Equation de continuité à une dimension
à une dimension (x), sans création ni annihilation, la densité de particulen0(x, t)) suit :
∂n0
∂t +∂jx
∂x = 0
Equation de diusion sans création ni annihilation à une dimension
L'équation de diusion à une dimension (x) dans un milieu homogène de coecient de diusion D, sans création ni annihilation, est (si la densité de particule est n0(x, t)) :
∂n0
∂t =D∂2n0
∂x2
2. Solution de l'équation de diusion en régime permanent Solution de l'équation de diusion en régime permanent En régime permanent, dans un milieu homogène :
• la grandeur qui diuse (n0(x)) suit une loi ane,
• le ux (φN) est constant.
Résistance pour la diusion des particules
La diérence de densité particulaire aux bornes d'un cylindre de coecient de diusion D, de section S et de longueur LAB est (en convention récepteur) :
nA−nB =RNφN avec RN = LAB D S RN s'exprime en s·m−3.
3. Solution de l'équation de diusion en régime quelconque Obtention d'ordres de grandeurs de diusion
L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L:
1 τ ∼ D
L2
Exercice traité en n de cours
Solution gaussienne de l'équation de diusion
1) Montrer que n0(x, t) = √N
4π D te−4xD t2 vérie l'équation de diusion à une dimension ∂n∂t0 =D∂∂x2n20. 2) Etude de la fonction.
2.a) Montrer quen0(x, t)àtxée est paire.
2.b) Calculer∆x(t)la largeur à mi-hauteur, telle que n0
±∆x(t)2 , t
=n0(0,t)2 . 2.c) Tracer l'allure den0(x, t)en fonction dexà plusieurs datest.
3) Interprétation :
3.a) comment varie la largeur à mi-hauteur∆x(t)avect?
3.b) Retrouver un équivalent de∆x(t)en utilisant l'équation de diusion.
Techniques à maîtriser
I- Bilans de particules
Exprimer le nombre de particules traversant une surface en utilisant le vecteur~jN. Utiliser la notion de ux pour traduire un bilan global de particules.
Utiliser la loi de Fick. Citer l'ordre de grandeur d'un coecient de diusion dans un gaz dans les conditions usuelles.
ce qu'il faut savoir faire capacités
1.1) Diusion dans un tube
Soit n(x, t) =n0e−xa, la densité de particules diusantes dans un tube d'axeOx (xest compris entre 0 et h). On noteS la section du tube,hsa longueur etD le coecient de diusion.
1) Exprimer le nombre total de particules contenues dans le tube.
2) Exprimer le vecteur densité de courant~j.
3) Exprimer le ux par unité de temps des particules qui traversent une surface S placée enx= h2. 1) N =a S n0h
e−ha−1i . 2) ~j= +D na0e−xa~ex. 3) ΦN =SD na0e−2ha.
1.2) Séparation isotopique
L'uranium naturel contient une faible proportion (0,72%) de l'isotope 235, qui seul intéresse l'industrie nucléaire, le reste étant de l'isotope238. Il convient donc d'enrichir le minerai naturel en 235U. On commence pour cela à préparer l'hexauorureU F6, gazeux.
La diusion est d'autant plus rapide que les molécules sont plus légères (loi de Graham) : le coecient de diusion dépend de la masse molaireM en √1M.
On arrive à une séparation acceptable moyennant de très nombreux passages successifs du mélange gazeux à travers des cloisons poreuses.
1) Calculer le rapport r des vitesses de diusion de 235U F6 et 238U F6, connaissant la masse molaire du uor :M(F) = 19g.mol−1.
1) r= 1,00429.
II- Etablissement d'une équation de diusion des particules
Établir une équation traduisant un bilan local dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géo- métrie cartésienne, éventuellement en présence de sources internes.
Admettre et utiliser une généralisation en géométrie quelconque utilisant l'opérateur divergence et son expression fournie.
Utiliser la conservation du ux sous forme locale ou globale en l'absence de source interne.
Établir une équation de la diusion dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie carté- sienne.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Utiliser une généralisation en géométrie quelconque en utilisant l'opérateur laplacien et son expression fournie.
Il s'agit de faire un bilan particulaire : le nombre de particulesN =RRR
nd3τdu système déni (qui vérie les symétries du problème) varie pendantdtdedN = +C.dt−A.dt+dNe, oùAest le terme d'absorption, C le terme de création, et le nombre de particules échangées dNe est tel que dNdte est égal au ux de
~jN à travers les parois du système orientées vers l'intérieur. On utilise la loi de Fick~jN =−D.−−→
gradn.
En cartésien, il faut prendre comme système un élément de volume compris entre x et x+dxet bien penser à orienter les vecteurs surface vers l'intérieur du système.
x x + dx
d S 1 d S 2
2 2
1 2
d S 3 2
Etablissement de l'équation de diusion des particules méthode
2.1) Diusion de particules à trois dimensions sans absorption ni création
Quelle est l'équation que suit n0, la densité volumique de particules dans un milieu homogène à trois dimensions, de coecient de diusionD, sans création ni annihilation ?
∂n0
∂t =D.∆n0.
2.2) Diusion de particules à une dimension sans absorption ni création
Quelle est l'équation que suitn0, la densité volumique de particules dans un milieu homogène à une dimension x, de coecient de diusionD, sans création ni annihilation ?
∂n0(x,t)
∂t =D.∂2n∂x0(x,t)2 .
2.3) Diusion de particules à une dimension avec absorption et création
Quelle est l'équation que suitn0, la densité volumique de particules dans un milieu homogène à une dimension x, de coecient de diusionD, avec création et annihilation ?
∂n0(x,t)
∂t =D.∂2n∂x0(x,t)2 +C−A.
2.4) Création par réaction en chaîne dans un réacteur nucléaire
On s'intéresse aux neutrons créés par la réaction nucléaire qui a lieu dans le c÷ur du réacteur. Chaque neutron va casser plusieurs noyaux et ainsi donner naissance à de nouveaux neutrons.
Ecrire l'équation de diusion pour la densitén0 des neutrons.
∂n0(x,t)
∂t =D.∆.n0(x, t) +c.n0(x, t).
2.5) Diusion dans un tuyau poreux
Soit un tube cylindrique, d'axe Oz, de longueur`, de rayon a, contenant des molécules. Les concentrations des molécules sont maintenues constantes aux deux extémités n(0) = 0 et n(`) =n1. SoitD le coecient de diusion, on se place en régime permanent.
Le tube est légèrement poreux donc des molécules peuvent s'échapper vers l'extérieur à travers la paroi latérale d'épaisseure. Cette diusion est caractérisée par le coecientD0D. On supposera que la densité de particules varie linéairement dans l'épaisseur du tube et qu'elle est nulle hors du tube :next= 0.
1) Exprimer les projections jz(z)etjr(z, r=a)du vecteur densité de courant~j .
2) En déduire que l'équation diérentielle vériée parn(x)est ∂2∂zn(z)2 +n(z)δ2 = 0. On donnera l'expression deδ.
3) Résoudre l'équation diérentielle et étudier le cas oùD0 D. δ2= a e D2D0.
2.6) Source radioactive de particules
On s'intéresse à une source qui génère par une réaction radioactive des particules en un pointO: dNdt
O=S0. On se place en régime permanent. Les particules diusent avec un coecient D dans le milieu environnant.
Comme la diusion est isotrope, la densité n0 des particules ne dépend que du rayon r dans les coordonnées sphériques.
1) Déduire l'équation diérentielle suivie par n0grâce à l'expression du laplacien en sphérique :
∆f = 1 r2
∂
∂r
r2∂f
∂r
sif(r, t).
∆n0(r) = r2.1sinθ
∂
∂r r2.sinθ.∂n∂r0
=r12
h
2.r.∂n∂r0 +r2∂∂r2n20
i.
III- Solutions de l'équation de diusion
Analyser une équation de diusion en ordre de grandeur pour relier des échelles caractéristiques spatiale et temporelle.
ce qu'il faut savoir faire capacités
L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristiqueτ pour un système de taille caractéris- tiqueL :
1 τ ∼
D L2
Ordre de grandeur et diusion de particulesméthode
3.1) Temps de diusion duCO2 dans une pièce
On donne le coecient de diusion du dioxyde de carbone dans l'air : D= 0,14.10−4m2.s−1.
1) Calculer l'ordre de grandeur de la duréet que mettrait du dioxyde de carbone à diuser dans une salle dont le volume vautV = 50m3.
1) t= 11jours.
3.2) Diusion de la vapeur d'eau au dessus de l'eau bouillante
De l'eau est portée juste à ébullition dans un bécher, de sorte qu'à sa surface de cote z = 0, la densité moléculaire prenne la valeur xée
n(z= 0) =n0= P0
kBT
où P0 = 1,0×105 Pa est la pression de vapeur saturante de l'eau à 100◦C. Le bécher est fermé et surmonté d'un tube vertical de section S et de hauteur L. Soit n(z, t) la densité de vapeur d'eau qui diuse dans l'air avec un coecient de diusionD. A l'extrémité supérieure, un courant d'air impose une densité volumique de courant de particules
jN(z=L, t) =k n(z=L, t) oùkest une constante positive.
1) Etablir l'équation locale de diusion.
2) Résoudre cette équation dans le cas stationnaire : déterminer n(z)et jN en fonction dez, k, D,n0 et L.
n(z) = k L+D−k n0z+n0et jN(z) =k L+DD k n0.
3.3) Centrifugeuse
On considère une ultra centrifugeuse en régime permanent dont la partie mobile (le rotor) est percée de cavités cylindriques perpendiculaires à l'axe de rotationOz. Chaque cavité peut recevoir une cellule cylindrique d'axeOx orthogonale àOz, de sectionS, située à une distance de l'axeOzcomprise entrexmin etxmax.
Dans une cellule, on place une solution composée d'un solvant et de particules microscopiques identiques, constituant le soluté, de concentrationc. On suppose que la concentration ne dépend que dex.
Le rotor est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaireωconstante. On admet que les particules de soluté sont animées, par rapport à la cellule, d'un mouvement radial de vitesse~v =s ω2x ~ux, oùs est un coecient dépendant à la fois des particules et du solvant.
1) Exprimer le vecteur densité de courant de convection~jc.
On note D le coecient de diusion du soluté dans la solution, cette diusion vériant la loi de Fick.
2) Donner l'expression du vecteur densité de courant diusif~jd des particules.
3) Etablir l'équation diérentielle à laquelle obéit la concentrationc(x).
4) En utilisant le fait que le courant total de particules (convectif + diusif) est nul aux bords de la cellule, donner la forme dec(x).
5) Quelle équation faut-il utiliser pour déterminer parfaitementc(x)? c(x) =A es ω
2 2Dx2.
3.4) Absorption de neutrons par le bore
On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v. On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons par unité de volume.
1) Rappeler la loi de Fick qui donne le vecteur densité de courant de neutrons~jn, dont le ux à travers une surface quelconque est égal au nombre de neutrons traversant cette surface par unité de temps.
Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λa jusqu'à son absorption. Le nombreAde réactions d'absorption par seconde et par unité de volume estA= n.vλ
a. 2) Vérier que cette relation est homogène.
3) Etablir l'équation aux dérivées partielles vériées parn.
On se place dans un milieu semi-inni situé dans le demi-espace correspondant aux valeurs positives dex(un mur). Il est limité enx= 0par une source plane délivrantN0neutrons par unité de surface et par seconde.
4) Calculer la densité de neutronsn(x)en régime permanent.
5) Déterminer l'épaisseur Ldu mur pour diminuer la densité de neutrons d'un facteur 1000.
L.= 3.ln(10)q
λa.D v .
3.5) Stabilité d'un réacteur nucléaire
1) On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v. On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons par unité de volume.
Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λa jusqu'à son absorption.
Le nombreAde réactions d'absorption par seconde et par unité de volume estA= n.vλ
a. 1.a) Vérier que cette relation est homogène.
On supposera en outre que le milieu contient des sources de neutrons représentées par la création deS(x, y, z) neutrons par seconde et par unité de volume.
1.b) En admettant le modèle simple suivant lequel, lors d'une absorption, il y a capture d'un neutron qui donne lieu à une ssion délivrantK neutrons, exprimer S(x, y, z).
2) On considère le cas d'un réacteur nucléaire en régime permanent, compris entre deux faces planes perpendiculaires à Ox aux points d'abscisse x = ±a2. sur lesquelles la densité de neutrons est nulle : n(x=
±a2) = 0. (régime stable d'un réacteur nucléaire).
2.a) Établir l'équation diérentielle suivie parndans un tel milieu.
2.b) Que doit vérierK−1?
2.c) Donner la forme de la répartition correspondante de densitén(x)des neutrons.
2.d) Exprimer alorsv pour que le réacteur atteigne eectivement un régime stable (régime critique).
d2n
dx2 + (K−1)D.λn.v
a = 0. Pour s'annuler en x=±a2, la densité de neutrons doit être :n=n0.cosπ.xa . Il faut quev= πa22
λa.D K−1
IV- Modèle de la marche au hasard
Mettre en place un modèle probabiliste discret à une dimension de la diusion (marche au hasard) et évaluer le coecient de diusion associé en fonction du libre parcours moyen et de la vitesse quadratique moyenne.
ce qu'il faut savoir faire capacités
On peut relier le libre parcours moyen `, le coecient de diusion D et le temps de vol ∆t grâce à l'équation de diusion :
1
∆t ≈D
`2 soit
D≈ `2
∆t =vq` avecvq, la vitesse quadratique moyenne.
Les calculs dans le détail sont plus compliqués et partent du modèle discret de la marche au hasard à une dimension avant de passer à une densité de probabilité continue.
Evaluer le coecient de diusion à partir du modèle de la marche au hasard
méthode
4.1) De la marche au hasard à la densité de probabilité gaussienne
1) On s'intéresse à une particule qui se déplace selon l'axexsur une longueur` vers la gauche ou vers la droite tous les ∆t. On prendra n et k entiers et on appelle p(k, n) la probabilité d'être en x= k` à la date t=n∆t.
1.a) Que doit vérierk pour quepsoit non nul ?
1.b) Exprimerp(k, n)en utilisant la fonctionCnp= p! (n−p)!n! . 2) On suppose que n1. On admet que dans ce cas :
Cnp 2n ∼
r 2 πnexp
−2 n
n
2 −p2 2.a) Que devientp(k, n)?
2.b) En passant au continu, exprimer la densité de probabilitép(x, t)telle quep(x, t)×2`=p(k, n). 2.c) On peut montrer quep(x, t) = √ 1
4πDte−4Dtx2 . Exprimer alors le coecient de diusionDen fonction de`et ∆t.
D=2∆t`2 .
4.2) Densité de probabilité gaussienne On admet que
( R+∞
−∞ e−α x2dx=pπ α
R+∞
−∞ x2e−α x2dx= 2α1 pπ α
1) Déterminer le coecient de normalisation Ade la densité de probabilitép(x, t) =Ae−4Dtx2 . 2) Calculer < x >, la valeur moyenne dex.
3) Calculer < x2>, la moyenne quadratique dex. On trouveA=√ 1
4πDt,< x >= 0et < x2>= 2D t.
4.3) De la marche au hasard à la la formule d'Einstein On admet que les trois directions de l'espace étant indépendantes,
< x2+y2+z2>=< x2>+< y2>+< z2>= 3< x2>
1) Le modèle de la marche au hasard à une dimension suivantxdonne à la datet:
< x2>= 2Dt
oùD est le coecient de diusion. En déduire< x2+y2+z2>pour un modèle à trois dimensions.
2) L'observation du mouvement brownien de particules de tailleaà la surface d'un liquide de viscositéηà la températureT aboutit à la relation :
< x2+y2>=2kBT 3πηat
En déduire le coecient de diusion D de ces particules de taillea dans le volume du liquide de viscositéη à la températureT.
D=6πηakBT.
4.4) Modèle de Langevin de la diusion à une dimension (D'après ENS 2005)
Nous allons étudier un modèle simple introduit par Paul Langevin (1908). On considère le mouvement à une dimension d'une particule de massemle long d'un axeOx(on notexetv les valeurs algébriques de la position et de la vitesse de la particule) soumise à une force "aléatoire" F(t)et à une force de frottementf =−αv, où αest une constante positive. Il n'y a pas de pesanteur dans ce modèle simple.
1) Montrer que l'équation du mouvement de la particule peut se mettre sous la forme : md
dt(xv) =mv2−αxv+xF(t)
2) Compte tenu du caractère complexe de la force aléatoire F(t), nous ne cherchons pas à résoudre direc- tement l'équation du mouvement. En fait, sous certaines hypothèses, le mouvement "moyen" de la particule dépend peu de la forme exacte de la force aléatoire. Pour accéder à ce mouvement "moyen", on imagine qu'un grand nombre de particules se trouve initialement à la positionx= 0à l'instantt= 0. Chaque particule vérie, indépendamment des autres, l'équation du mouvement de la question précédente. En revanche, à chaque instant, la valeur de la force aléatoire dière a priori d'une particule à l'autre.
L'opérateur mathématique noté h..i permet de représenter symboliquement, à un instant donné, la valeur moyenne sur toutes les particules des grandeursx,v,xv, etc.
Le caractère aléatoire de la force F(t)se traduit alors par hFi(t) = 0. De plus, la position de la particule n'étant pas corrélée à la force, on a hxFi=hxi hFi. Enn, comme cet opérateur agit à un instant donné, on suppose qu'il commute avec l'opérateur de dérivée temporelle, soit : dh..idt =d..
dt
. 2.a) Déterminer l'équation diérentielle vériée parhxvi.
2.b) Pour un gaz de particules de massemà la températureT, donner la moyenne temporelle du carré d'une composante cartésienne de la vitesse, notéevx2. Dans le reste de la question, on admettra que
v2
=v2x. 2.c) Compte tenu des conditions initiales, résoudre l'équation vériée parhxvi.
2.d) En déduire x2
(t).
2.e) Dénir un temps caractéristique τ séparant deux régimes dans l'évolution temporelle de x2. Préciser l'évolution temporelle aux temps courts et aux temps longs. Commenter le mouvement "moyen" obtenu dans chaque régime. Que peut-on dire de l'eet combiné du frottement et de l'agitation thermique ? On posera dans la suiteD=kBT/α.
3) On s'intéresse dans cette question uniquement au comportement aux temps longs. On généralise, pour un mouvement à trois dimensions relativement à un repère cartésien(Oxyz), le résultat obtenu pour le modèle à une dimension en supposant que :
x2 (t) =
y2 (t) =
z2 (t)
3.a) Quelle propriété du système peut-on invoquer pour justier cette hypothèse ? 3.b) Déterminer
r2
(t), oùrreprésente la distance de chaque particule au pointO, en faisant apparaître le coecientD.
3.c) Déterminer le tempsτD mis par une particule pour se déplacer en moyenne d'une distance égale à son diamètre2a.
3.d) On considère une particule sphérique de rayonadans un liquide de viscositéη. Donner l'expression deτD en fonction dekB,T,η eta.
3.e) Calculer la valeur deτD dans l'eau pour des particules sphériques de rayons 0,1µm,10µm et 1 mm à la température de20◦C. Que peut-on en conclure sur la dynamique de telles particules en suspension ?
< x2>(t) = 2.kαBT t+mαexp −αtm
−mα
.,τD=2a3D2 = 4πηak 3
BT
Les techniques mathématiques à connaître
Dénition du gradient : On posera df =−−→
grad(f)·−→
d` donc RB A
−−→gradf·→−
d`=f(B)−f(A). Dans le repère cartésien :
Rappelons que df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy+
∂f
∂z
dz et, comme en coordonnées cartésiennes −→ d` = dx ~ux+ dy ~uy+ dz ~uz , on peut écrire
−−→grad(f) = ∂f
∂x
~ ux+
∂f
∂y
~ uy+
∂f
∂z
~ uz
Expression avec l'opérateur nabla : −−→
grad(f) =−→ Of en posant l'opérateur nabla :
~O=~ux
∂
∂x+~uy
∂
∂y +~uz
∂
∂z en coordonnées cartésiennes seulement ! ! !
Dans le repère cylindrique : df =
∂f
∂r
dr+ ∂f
∂θ
dθ+ ∂f
∂z
dz
mais cette fois −→
d`= dr ~ur+r dθ ~uθ+ dz ~uz donc
grad~ (f) = ∂f
∂r
~ ur+1
r ∂f
∂θ
~ uθ+
∂f
∂z
~ uz
Dans le repère sphérique : df =
∂f
∂r
dr+ ∂f
∂θ
dθ+ ∂f
∂ϕ
dϕ
mais cette fois −→
d`= dr ~ur+rdθ ~uθ+rsinθdϕ ~uϕ donc
grad~ (f) = ∂f
∂r
~ ur+1
r ∂f
∂θ
~
uθ+ 1 rsinθ
∂f
∂ϕ
~ uϕ
Expression dans un repère quelconque : dans n'importe quel repère, on peut écrire −−→
grad(f) =
1 µ1
∂f
∂s1
1 µ2
∂f
∂s2 1 µ3
∂f
∂s3
avec
Calcul de l'opérateur gradientméthode
5.1) Calcul d'un gradient en coordonnées cartésiennes 1) Donner l'expression de −−→
gradf pour f(x, y, z) = xy2 +z.
−−→gradf= 2yx~ux−xy22~uy+~uz.
5.2) Calcul d'un gradient en coordonnées cylindriques 1) Donner l'expression de −−→
gradf pour f(r, θ, z) = cosr2θ.
−−→gradf=−2 cosr3 θ~ur−sinr3θ~uθ.
5.3) Calcul d'un gradient en coordonnées sphériques 1) Donner l'expression de −−→
gradf pour f(r, θ, ϕ) =cosθr2sinϕ.
−−→gradf=−2 cosrθ3sinϕ~ur−sinθr3sinϕ~uθ+tancosθ rϕ3~uϕ.
5.4) Calcul d'un autre gradient en coordonnées sphériques 1) Donner l'expression de −−→
gradf pour f(r, θ, ϕ) =−cosr2 θ.
−−→gradf= 2 cosr3 θ~ur+sinr3θ~uθ.
5.5) Calcul d'une variation nie à partir d'un gradient 1) On donne −−→
gradf=x ~ux+y ~uy. Calculer∆f si on part de l'origine (x=y= 0) pour aller enA(1,1).
∆f = 1.
Résolution de problème
La carburation de l'acier
D'après ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2011 - PARTIE D Disponible sur le site scei-concours
Faire diuser du carbone pour durcir l'acier.
Les procédés de traitements thermochimiques de surface par ré- action hétérogène gaz-solide consistent à exposer, à une température inférieure à la température de fusion de l'acier que constitue la pièce métallique à un environnement gazeux contenant l'espèce chimique à introduire. Ce traitement, largement usité en milieu industriel, est un processus lent et thermiquement activé qui permet d'introduire un élé- ment en surface d'une pièce métallique comme les aciers sans passer par la phase liquide ; opération qui serait très couteuse compte tenu des températures de fusion élevées des aciers. Il permet d'améliorer notablement les propriétés mécaniques des pièces mais nécessite des temps de traitement relativement longs qu'il convient d'optimiser.
À titre d'exemple, si l'on souhaite connaître le temps de traite- ment nécessaire à une diusion du carbone dans l'austénite à 900◦C d'un acier initialement à un pourcentage massique en carbone 0,5% de telle façon que ce pourcentage atteigne après traitement 1% en masse de carbone à 1mm de la surface, un temps de diusion d'environ 74 heures est nécessaire ! Cet exemple montre que les conditions de diu- sion en phase solide conduisent à des temps de traitement très longs, dicilement compatibles avec la production industrielle.
Ces durées peuvent être cependant considérablement réduites si l'on augmente la température de traitement. Ainsi si on élève de 50◦C
la température de traitement par rapport au calcul précédent, le temps de diusion se réduit à 14 heures. En eet, le coecient de diusion dépend exponentiellement de la températureT selon une loi de type Arrhénius :
D=D0exp −Q
RT
avec R = 8,314 J·K−1·mol−1, D0 le facteur pré-exponentiel qui correspond au coecient de diusion pour une température innie et Q l'énergie d'activation. Dans le cas de la diusion du carbone dans l'austénite, D0= 1,5×10−6 cm2·s−1 etQ= 313×103J·mol−1.
Enoncé
1) Si la durée de traitement est d'environ 74 heures à 900◦C, de combien de degrés faut-il augmenter la température pour faire tomber la durée du traitement à 14 heures ? Est-ce cohérent avec l'élévation de température dont parle le texte ?
Programmation en python
Ivrogne sur trottoir
Un ivrogne se déplace le long d'un trottoir. On notes= 0sa position de départ sur le trottoir, face au bar.
A chaque pas d'une longueurl= 30 cmil fait le choix au hasard de continuer dans la même direction ou au contraire de partir dans la direction opposée.
1) Proposer un programme python dénissant une fonction ivrogne(N) donnant la position s(N) de l'ivrogne au bout deN pas.
2) Tester la fonction plusieurs fois pour diérentes valeurs deN 1.
Approche documentaire
Sur la théorie du mouvement brownien
Note de M. P. LANGEVIN, présentée par M. Mascart
Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Lire en ligne sur Gallica.
En 1908, Paul Langevin va développer une approche nouvelle, qui permet de retrouver la relation d'Einstein D= 6πηakBT.
I. Etudes du mouvement brownien par Einstein
Le très grand intérêt théorique présenté par les phénomènes de mouvement brownien a été signalé par M.
Gouy : on doit à ce physicien d'avoir formulé nettement l'hypothèse qui voit dans ce mouvement continuel des particules en suspension dans un uide un écho de l'agitation thermique moléculaire, et de l'avoir justi- ée expérimentalement, au moins de manière qualitative, en montrant la parfaite permanence du mouvement brownien et son indiérence aux actions extérieures lorsque celles-ci ne modient pas la température du milieu.
Une vérication quantitative de la théorie a été rendue possible par M. Einstein, qui a donné récemment une formule permettant de prévoir quel est, au bout d'un temps donné τ, le carré moyen ∆2x du déplacement ∆x
d'une particule sphérique dans une direction donnée xpar suite du mouvement brownien dans un liquide, en fonction du rayonade la particule, de la viscosité µdu liquide et de la température absolueT. Cette formule est
(1) ∆2x= RT N
1 3πµaτ
oùR est la constante des gaz parfaits et N le nombre de molécules dans une molécule-gramme, nombre bien connu aujourd'hui et voisin de8×1023.
M. Smoluchowski a tenté d'aborder le même problème par une méthode plus directe que celles employées par M. Einstein dans les deux démonstrations qu'il a données successivement de sa formule, et a obtenu pour
∆2x une expression de même forme que(1), mais qui en dière par le coecient64/27.
II. Calcul par la méthode de Langevin
J'ai pu constater tout d'abord qu'une application correcte de la méthode de M. Smoluchowski conduit à retrouver la formule de M. Einstein exactement et, de plus, qu'il est facile de donner, par une méthode toute diérente, une démonstration inniment plus simple.
Le point de départ est toujours le même : le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les divers degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige qu'une particule en suspension dans un uide quelconque possède, dans la directionx, une énergie cinétique moyenne RT2N égale à celle d'une molécule gazeuse de nature quelconque dans une direction donnée, à la même température. Si ξ= dxdt est la vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de particules identiques de massem
(2)mξ2= RT N
Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport à la distance moyenne des molécules et se mouvant par rapport à celui-ci avec la vitesseξsubit une résistance visqueuse égaie à−6πµaξ d'après la formule de Stokes. En réalité, cette valeur n'est qu'une moyenne et en raison de l'irrégularité des chocs des molécules environnantes, l'action du uide sur la particule oscille autour de la valeur précédente, de sorte que l'équation du mouvement est, dans la directionx
(3)md2x
dt2 =−6πµadx dt +X
Sur la force complémentaireX, nous savons qu'elle est indiéremment négative et positive, et sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse nirait par arrêter.
L'équation(3)multipliée parxpeut s'écrire (4) m
2 d2x2
dt2 −mξ2=−3πµadx2
dt +X·x
Si nous considérons un grand nombre de particules identiques et prenons la moyenne des équations(4)écrites pour chacune d'elles, la valeur moyenne du termeX·xest évidemment nulle à cause de l'irrégularité des actions complémentairesX, et il vient, en posantz= dxdt2
m 2
dz
dt + 3πµaz= RT N La solution générale
z=RT N
1
3πµa +Ce−6πµam t
prend la valeur constante du premier terme en régime permanent au bout d'un temps de l'ordre de 6πµam ou 10−8 seconde environ pour les particules sur lesquelles le mouvement brownien est observable.
On a donc en régime permanent d'agitation dx2
dt =RT N
1 3πµa d'où pour un intervalle de tempsτ
x2−x20=RT N
1 3πµaτ Le déplacement∆x d'une particule est donné par
x=x0+ ∆x et comme ces déplacements sont indiéremment positifs et négatifs,
∆2x=x2−x20=RT N
1 3πµaτ d'où la formule(1).
III. Vérications expérimentales
Un premier essai de vérication expérimentale vient d'être fait par M. T. Svedberg, dont les résultats ne s'écartent de ceux fournis par la formule(1)que dans le rapport de 1 à 4 environ et s'approchent davantage de ceux, calculés par la formule de M. Smoluchowski.
Les deux démonstrations nouvelles que j'ai obtenues de la formule de M. Einstein, en suivant pour l'une d'elles la marche amorcée par M. Smoluchowski, me paraissent écarter dénitivement la modication proposée par ce dernier.
D'ailleurs, le fait que M. Svedberg ne mesure pas réellement la quantité ∆2x qui gure dans la formule et l'incertitude sur le diamètre réel des granules ultramicroscopiques qu'il a observées appellent de nouvelles mesures faites de préférence sur des granules microscopiques de dimensions plus faciles à connaître exactement, et pour lesquels l'application de la formule de Stokes, qui néglige les eets d'inertie du liquide, est certainement plus légitime.
Enoncé
On considère une particule micrométrique (de rayona) positionnée à l'instant initial au centre d'un repère dans de l'eau de viscosité µ = 10−3 Pa·s, sans vitesse initiale. Cette particule a une masse m et une masse volumique proche de celle de l'eauρ≈103 kg·m−3.
On admet que la projection du principe fondamental de la dynamique suivant la direction xappliqué à la particule considérée s'écrit
(3)md2x
dt2 =−6πµadx dt +X oùX est une force aléatoire : X= 0 etX·f(t) = 0.
Dans la suite, on noteraf(t)la moyenne de f(t). 1) Temps caractéristique
1.a) Donner grâce à(3)l'expression littérale d'un temps caractéristiqueTc. 1.b) Evaluer l'ordre de grandeur deTc.
