Colle PC Semaine 2 2012-2013
Révisions analyse de PCSI + matrices + développements limités
EXERCICE 1 :
Soitp∈N. On considère une matriceAdeMp(R) pour laquelle il existe deux réelsαet β distincts tels que : (A−αI)(A−βI) = 0
1. Montrer que l’on a aussi (A−βI)(A−αI) = 0.
2. ExprimerA2en fonction deAet deI.
3. (a) Montrer que, pour tout entier natureln, il existe des réels un et vn tels que : An =unA+vnI
Exprimerun+1 et vn+1 en fonction deun et de vn. (b) Exprimerun+2 en fonction deun+1 et deun.
(c) En déduire l’expression de un en fonction den, puis celle deAn en fonction den, AetI.
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Corrections
EXERCICE 1 :
1. (A−βI)(A−αI) = 0. Démonstration laissée à la sagacité du lecteur.A etI commutent dansMp(R).
2. (A−αI)(A−βI) = 0⇔A2−αAI−βIA+αβI = 0⇔A2= (α+β)A−αβI 3. (a) on effectue une récurrence sur l’entiern.
• Sin= 0,A0=Iet I= 0A+ 1I doncu0= 0 etv0= 1.
• Soitntel que la propriété soit vraie au rangn, on a : An+1=AnA
= (unA+vnI)
=un((α+β)A−αβI) +vnA
= ((α+β)un+vn)A−αβunI
• D’après le principe du raisonnement par récurrence, la propriété est vraie pour toutnet : un+1= (α+β)un+vn et vn+1 =−αβun
(b) On en déduit :un+2= (α+β)un+1−αβun
(c) L’ensemble des suites (un) vérifiant la relation précédente est un espace vectorielE de dimension 2 dont on cherche une base.
Une suite de la forme (rn) vérifie la relation si et seulement si,rest solution de l’équation : r2−(α+β)r−αβ= (r−α)(r−β) = 0
Les suites (αn) et (βn) sont linéairement indépendantes, elles forment une base deE : Il existe (a;b)∈R2, ∀n∈N un=aαn+bβn
aetb sont déterminés à l’aide deu0 et deu1et l’on obtient :a= 1
α−β etb=− 1 α−β. On en déduitun etvn en fonction den:
un =αn−βn α−β vn= αβn−βαn
α−β etAn en fonction den, Aet I:
An= αn−βn
α−β A+αβn−βαn α−β I
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