France métropolitaine/Réunion. Septembre 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé(O,−→
u ,−→
v). À tout pointM d’affixez, on associe le pointM′ d’affixe
z′=−z2+ 2z.
1)Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation :
−z2+ 2z−2 = 0.
En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.
2)SoitM un point d’affixez etM′ son image d’affixez′. On noteN le point d’affixezN =z2. Montrer queM est le milieu du segment [N M′].
3)Dans cette question, on suppose que le pointM ayant pour affixez, appartient au cercleC de centreO et de rayon 1. On noteθun argument de z.
a)Déterminer le module de chacun des nombres complexeszet zN, ainsi qu’un argument dezN en fonction deθ.
b)Sur la figure donnée en annexe page 7, on a représenté un pointM sur le cercleC.
Construire sur cette figure les pointsN etM′ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
c)SoitAle point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangleAM M′? La page 7 contenant l’annexe est à rendre avec la copie
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Annexe à remettre avec la copie Exercice 2
−1 1
1
−1 O A
C
M
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France métropolitaine/Réunion. Septembre 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
1) Le discriminant de l’équation proposée est ∆ = 22 −4(−1)(−2) = −4 < 0. L’équation proposée admet deux solutions non réelles conjuguées :
z1=−2 + 2i
2(−1) = 1−ietz2=z1= 1 +i.
Soitz∈C.z′ = 2⇔ −z2+ 2z = 2⇔ −z2+ 2z−2 = 0⇔z∈{1 +i,1−i}. Les points du plan dont l’image est le point d’affixe2sont les points d’affixes respectives1 +iet1−i.
2)
zN+zM′
2 = z2+ (−z2+ 2z)
2 =z=zM. Donc, le pointM est le milieu du segment[N M′].
3) a) |z|=OM = 1. Donc,z est le nombre complexe de module1 et d’argumentθ. On en déduit quez=eiθ. Mais alors,zN =z2=e2iθ et donc un argument dezN est2θ.
b) Construction. On plante le compas en Aavec une ouverture AM. On reporte ensuite au compas l’arc AM pour obtenir le pointN. On trace la droite(N M). On reporte le distanceN M au compas à partir deM sur la droite(N M) et on obtient le pointM′.
−1 1
1
−1 O A
C
θ 2θ
M N
M′
c)M A=M N =M M′ et donc le triangleAM M′ est isocèle enM.
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