France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique Polynésie 2010. Enseignement spécifique

France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique Polynésie 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

Partie A - Restitution organisée de connaissances 1)Soienta,b,a^′ et b^′ quatre nombres réels puisz=a+ibetz^′=a^′+ib^′.

z×z′= (a−ib)(a^′−ib^′) = (aa^′−bb^′) −i(ab^′+ba^′) = ((aa′−bb′) +i(ab′+ba′))

= (a+ib)(a′+ib′) =z×z′.

Pour tous nombres complexes zetz′,z×z′=z×z′.

2)Soitzun nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nuln,zⁿ= (z)ⁿ.

• C’est vrai pourn=1 carz¹=z= (z)¹.

• Soitn>1. Supposons quezⁿ = (z)ⁿ. Alors

zⁿ⁺¹=zⁿ×z=zⁿ×z(d’après 1))

= (z)ⁿ×z(par hypothèse de récurrence)

= (z)ⁿ⁺¹. Le résultat est démontré par récurrence.

Pour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln, zⁿ= (z)ⁿ. Partie B

1)Soitzun nombre complexe. Puisque(−z)⁴=z⁴,

z⁴= −4⇒(−z)⁴= −4.

D’autre part, puisque−4est un nombre réel,

z⁴= −4⇒z⁴= −4⇒(z)⁴= −4.

On a montré que

sizest solution de(E)alors−zetzsont solutions de (E).

2) a)|z₀|=√

1²+1²=√ 2 puis

z₀=√ 2

1

√2+ 1

√2 i

=√ 2

cosπ 4

+isinπ 4

=√ 2e^iπ/4.

z₀=√ 2e^iπ/4.

b)z⁴

0=√

2e^iπ/44

=√ 24

e^iπ/44

=4e^iπ=4(−1+0i) = −4. Doncz₀est solution de l’équation(E).

3)L’équation(E)admetz₀=1+i pour solution. mais alors, d’après la question 1, l’équation(E)admet aussi pour solution−z₀= −1−i,z₀=1−iet donc aussi−z₀= −1+i.

Les quatre nombres1+i,1−i,−1+iet−1−isont solutions de l’équation(E).

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Partie C 1)

z_E=z_C+e^−iπ3(z_B−z_C)

= −1−i+ 1 2−i

√3 2

!

((−1+i) − (−1−i)) = −1−i+2i 1 2 −i

√3 2

!

= −1−i+i+√

3= −1+√ 3.

z_E= −1+√ 3. 2)

z_F=z_C+e^−iπ3(z_D−z_C)

= −1−i+ 1 2−i

√3 2

!

((1−i) − (−1−i)) = −1−i+2 1 2 −i

√3 2

!

= −1−i+1−i√

3= −i 1+√

3 . z_F= −i

1+√ 3

.

3)

z_A−z_E z_A−z_F =

1+i−

−1+√ 3 1+i+i

1+√

3 = 2−√ 3+i 1+i

2+√ 3 =

2−√ 3

1+ i 2−√

3 1+i

2+√ 3

= 2−√

31+i 2+√

3 1+i

2+√

3 (car 2+√

3 2−√ 3

=4−3=1)

=2−√ 3.

En particulier, z_A−z_E

z_A−z_F est un nombre réel.

4)De l’égalité z_A−z_E

z_A−z_F =2−√

3, on déduit l’égalitéz_A−z_E= 2−√

3

(z_A−z_F)puis l’égalité−→ EA=

2−√ 3−→

FA. En particulier, les vecteurs−→

EAet −→

FAsont colinéaires et on en déduit que les pointsA,EetF sont alignés.

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1

−1

−2

−3

−1 1

bb

bb b

b

A B

C D

E

F

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