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Submitted on 1 Jan 1888
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Déformations permanentes et thermodynamique
Marcel Brillouin
To cite this version:
Marcel Brillouin. Déformations permanentes et thermodynamique. J. Phys. Theor. Appl., 1888, 7
(1), pp.327-347. �10.1051/jphystap:018880070032700�. �jpa-00238847�
327
DÉFORMATIONS PERMANENTES ET THERMODYNAMIQUE (1);
PAR M. MARCEL BRILLOUIN.
On n’a étudié jusqu’à présent, en Thermodynamique, que les corps qui, soumis après une série de transformations à la même
température et aux mêmes forces qu’au début, reprennent com-
plètement leur forme initiale. Dans le cas simple où il n’y a qu’une
seule variable géométrique définissant par exemple la longueur
d’une tige, et une variable mécanique X, tension appliquée à la tige, on suppose qu’il existe une relation finie) f (x, X, T) = o,
entre ces deux éléments et la température T. Cette hypothèse,
que l’expérience justifie quand il s’agit du volume et de la pression
des fluides, n’est pas conforme à l’observation dans le cas que je
viens de rappeler. On sait que les solides soumis à des actions
quelconques, mécaniques ou physiques, ne reprennent presque
jamais rigoureusement leurs propriétés initiales et présentent ce qu’on appelle des altérations permanentes de ces propriétés, dé-
~OY’l~2attOn ~Jel"ï~2C~12G’i2te, aimantation permanente, électrisation permanente, etc. Le classement et l’interprétation des très nom-
breux documents expérimentaux accumulés sur ces sujets ont pré-
senté jusqu’ici des difficultés telles qu’on se borne à énumérer les résultats, sans en tirer aucune relation générale. Je me propose de montrer pourquoi on ne peut tirer aucun parti de la plupart des expériences faites ju~qu’ici; comment il faut faire ces expériences;
comment les principes de la Thermodynamique peuvent être ap-
pliqués à toutes les transformations lentes de la plupart de ces
corps, pourvu que chacun des états intermédiaires soit un étant
d’équilibre possible. Je laisse de côté tous i les corps qui cèdent
indéfiniment à l’action d’une force, et pour les autres je ne m’oc-
cupe pas des déformations rapides dans lesquelles interviennent des frottements internes, fonctions de la vitesse.
1. Pour la plupart des solides élastiques, il n’existe pas de
{ 1 ) Ce travail a paru en quatre Notes prîsentées à l’Académie des Sciences les 6, 13, 20 et 27 février 1888.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018880070032700
relation finie entre la lenlpéralllre 1B la varLCChle rr2éccc~zz~cce
X et ZCG vCLI’CCCÛIe yéon2étnilcce x.
Toutes les valeurs de x comprises entre deux limites peuvent
correspondre au même système de valeurs ’r, X; cela dépend des charges auxquelles on a soumis le corps dans l’intervalle, oo, plus
exactement de tous les états intermédiaires du corps. En consé- quence, tozcte sc.nie (l’expériences dccms laquelle on n’ci notéqae
l’état tmzttccl et l’état final, sans prendre aucune pi-éccititioi-1
~oico les étals inlerlnécliaires) ne fournit que des données in-
cornplétes.
F’x. 1.
-Dans toutes les recherches expérimentales sur les
déformations isothermes et sur l’ailllantation isotherme, on s’est
horné à mettre le corps dans une enceinte à température constante,
ce qui assure seulelnent une température finale égale à la tempé- ratureinitiale, mais nullement une température du corps imvartc~~le
pendant toute la durée de l’expérience. Dans les expériences re-
latives à l’allongemerlt d’une tige, par exemple, l’application d’une charge sans choc, mais en un temps très courte produit d’abord
une déformation adiabatique. La température du corps s’écarte
brusquement de quelques dixièmes de degré de la température de
l’enceinte et n’y revient qu’avec une extrême lenteur ( 1 ). C’est
seulement à la fin de cette période, dont la durée dépend de la
construction de l’appareil, que la déformation est complète. La
série des transformations se compose d’une déformation adiaba-
tique suivie d’Llne dilatation sous charge constante, et n’équivaut
pas à une déformation isotherme. La suppression de la charge se
fait ordinairement de la même manière; dans le retour à la telnpé-
rature T sous la charge initiale, la nouvelle série de transforma- tions diffère de la première. La représentation dans un plan X, T
ne se compose pas de la même ligne parcourue d’abord en un (1) M. Haga (1881), en reprenant avec toutes les précautions nécessaires les ex-
périences d’Edlund sur les petits allongements adiabatiques de fils d’acier et de
maillechort, a trouvé ainsi des élévations de température de o-,,oog .7 et 0°,014
pour chaque kilogramme par millimètre carré de section. Avec des fils de ¡mm,5 de diamètr e environ ce refroidissement ne disparait que lentement : il faut huit minutes pour que l’excès soit réduit au centième de sa valeur initiale, douze mi-
nutes pour qu’il soit réduit au millième.
329
sens, puis en sens contraire, mais d’un quadrilatère curviligne
fermé enveloppant une surface finie. En même temps la longueur
finale de la tige diffère de la longueur initiale. Il y a une dé~’ol~-
¡nation résiduelle.
Ex. II.
-Les métaux homogènes et le verre lui-même soumis, sous forme de barres non chargées, à des variations lentes de température extrêmemen t étendues, reviennent rigoureusement
à leur longueur initiale. La série des transformations est la même
pendant l’échauffement et le refroidissement. Dès que cette con-
dition n’est plus remplie, il y a une déformation résiduelle ; c’est
ce qui arrive pour le thermomètre à mercure par suite de la con-
ductibilité insuffisante du verre. Je reviendrai plus tard sur ce déplacement du zéro et sur le mode de correction à apporter aux lectures thermométriques, eu égard à cette déformation.
2. Deux variables indépendantes ne suffisent plus à définir l’état
du corps ; les trois T, X, x, ou les 2 n -~- i, T, ~., , ..., Xn, .x~ , ... , ~", sont nécessaires, et je suppose que pour la plupart des solides elles sont suffisante.
Quelles que soient les dé~oj~~~2ations qu’ait subies le solide
sans cesser d’être hon10g’ène, ses coefficients de dilatation tlzej»-
n1ique et d’élasticité reprennent la mêlne valeur quand le
solide revient ait tnëme état défini par les 2 n 1 variables T, Xt~ ..., X,~ , .z° ~ , ... , x,1..
’Cette hypothèse est, je crois, d’accord avec ce que nous savons
des solides élastiques non pâteux; il n’est pas douteux qu’elle s’ap- plique exactement à un assez grand nombre de corps; elle est accessible à l’expérience ; elle est la plus simple que l’on puisse
faire pour ce genre de corps. Il me paraît donc important, avant
de recourir à d’autres plus compliquées, d’examiner toutes ses
conséquences théoriques et de la soumettre à un contrôle expéri-
mental rigoureux. L’énoncé ci-dessus indique seulement l’existence de n équations aux différentielles totales, non intégrables, entre
les 2 n -E-1 1 variable. Dans cette étude j’examinerai d’abord le cas
le plus simple, celui oû les équations sont toutes l£néaires. L’Ily-
pothèse définitive est donc la suivante :
Pour la plupart des corps solides, il existe une équation
linéaire aux différentielles totales entre la teml-?ét-atut-e T, la
variable n2écanic~zce X et la variable g’éométrique x; plus
exactement, il existe autant d’équations de ce genre qu’il y
a de variables géométriques indépendantes.
Cette hypothèse se traduit immédiatement, dans le cas où il n’y a qu’une variable géométrique x et une variable mécanique X,
par l’équation
cc, b étant deux fonctions des trois variables x, X, T, que l’expé-
rience fera connaître et qui définissent les lois de dilatation et
d’élasticité du corps étudié. Pour les fluides, cette relation est in- tégrable ; elle ne l’est pas pour les solides ordinaires; les deux
fonctions a, b sont alors complètement indépendantes l’une de
l’autre.
3. Plusieurs conséquences de l’équation (1) méritent l’attention : Toute déf’ormation est réversible. La valeur de dx change de signe sans changer de grandeur quand on change seulement le
signe de dX et dT. Ceci résulte de la forme linéaire de l’équa-
tion (i), en dx, dX, dT. Quelle que soit la série de trcc~2sf’orma-
tisons qu’on a fait subir ait corps, en les parcourant en sens inverse, on le ramène entièrement et son état initial.
Il n’en serait plus ainsi si l’équation aux différentielles totales,
vraisemblablement homogène en dx, dX, dT, était de degré pair,
telle que
par exemple; dans ce cas, il n’y aurait qu’un couple de transfor- mations réversibles, celles qui annulent le radical. Dans tout autre cas, le double parcours d’une série de transformations sans cycle
serait accompagné de déformation permanente ; l’hypothèse que j’examine actuellement me paraît bien plus conforme à nos con-
naissances : c’est seulement pour les corps mauvais conducteurs de la chaleur, comme le verre, que l’on pourrait avoir un doute,
mais on se convainc bien vite que dans de pareils corps la propa-
gation de la chaleur ne peut pas se faire sans que chaque élémen t
de volume décrive un cycle, dont le sens même est déterminé. Au reste, c’est toujours à*des recherches expérimentales étendues qu’il
faudra demander une réponse décisive. Remarquons que l’absence de réversibilité rendrait toute application de l’axiome de Clausius impossible, sauf dans le cas particulier où les deux seules transfor- mations réversibles seraient précisément les transformations iso- therme et adiabatique,
Pour les autres propriétés, un exemple rendra plus clairs les énoncés généraux le plus simple de tous suffit déjà lorsque les
déformations permanentes restent très petites par rapport aux dé- formations temporaires :
Sous ces diverses formes, l’intégrale du second terme est l’aire enveloppée par la ligne représentative de la série de transforma- tions dans le plan XT et deux droites partant des extrémités de cette ligne. Ces deux droites peuvent être choisies d’une infinité de manières difl’érentes (~~. i). Je me suis contenté de mettre
en évidence les rayons vecteurs émanés de l’origine OM, ON, les
ordonnées JnNl, nN et les abscisses m’l~~I, n’N, pour aboutir à la remarque suivante : la partie non intégrable du second membre ne
prend une valeur déterminée que pour une série de transforma- tions fermée, ramenant X, T à leurs valeurs initiales. Dans ce cas
seulement, les lignes auxiliaires disparaissent et l’aire enveloppée
ne dépend plus que du cycle de transformations parcouru. Au point de vue expérimental : Poui- une série de transformations non fernlée) le partage (le la déformation totale observée en
une partie temporaire et une partie permanente n’est pas dé- terminé. Il n’y a pas lieu d’en parler; il n’y a aucun intérêt, an point de vue de la signification des résultats, à soustraire de la déformation totale observée la déformation permanente obtenue
en fermant le cycle d’une certaine manière, pour obtenir ce que
de nombreux auteurs appellent la déformation temporaire, puisque
la déformation permanente dépend de la manière de fermer le cycle. Cette remardue s’applique également aux phénomènes ma- gnétiques.
Quelle que soit la série de tranSfOrl1lations e~’ectz~~e, il y ci
une infinité de n’lanières de fernler le c)/cle sans dés f’orn2atzojz
perlnanenle. Dans l’exeo1ple choisi, il suffit que la représentation
dans le plan XT forme une courbe en 8 dont l’aire totale est
nulle.
ri~.
3 . ,.De tnén2e, quelle que soit la sérle de transfor111ations eilec-
tuée) on peiit toitiotit-s la ferrnel’ de t~iajzzère el avoir une clé-
fornzation pec°nzccj2ente donnée en ~~nccj2dezcr et en sig’ne) dans
les limites de téczacité de la 1Jlatière. Dans l’exemple choisi,
cela revient à se donner l’aire du c~lcle.
Ces résultats sont conformes aux expériences sur la flexion des ressorts, la tOrs10I1 des fils, l’aimantation uniforme des longs C
lindres, e tc.
5. L’exemple choisi nous donne, en outre, des résultats exacts
colnlne première approximation :
Pour de petits cycles senlblables) répétés selllen1enl uj2 petit nonlbre de fois, la défornlalion perlnanente pi-oduite par
chaque c)’cle est proportionnelle au carré de la plus gi-ande
variation de la variable indépendante.
EXE3IPLES 1 Torsion. - Je prends dans les expériences de Wie-
demlann (1879) les accroissen-ienus de torsion :permanente suivants,
produits par l’application et la suppression de couples statiques
croissants :
Les torsions temporaires étaient plus de cent fois plus grandes.
~~/?z~/~~~3~. 2013 Il en est de même des débuts de l’aimanta- tion permanente sous l’influence d’un champ magnétique faible (Tomlinson.
La défornlation pernlanenle totccle dite el la répétition el’ lin
r~2ê~ne cycle suffisanllnent pelit croît d’abord conzj~2e le non2~re
cles cycles.
6. Prenons pour exemple une tige. Les fonctions a et b peu-
vent ètre facilement déduites de Inexpérience. La première, u, est le.produit de la longueur actuelle parle module d’élasticité à tem-
pérature constante ; la seconde, b, est le produit de la longueur
actuelle par le coefficient de dilatation sous charge constante X.
La série d’expériences nécessaires est la suivantes.
Déternzzmccttotz dcc coefficient a.
-Étude de l’allongell1ent
isotherme de la tige en fonction de la charge X.
Description d’un cycle quelconque capable de produire une petite déformation permanente; nouvelle étude de l’allongement isotherme, etc.
On constituera ainsi un Tableau à double entrée contenant, en
regard de chaque valeur de la charge X, une série de valeurs de x difiérentes et la série des valeurs ~~~, ou ci, correspondantes. Il
faudra recommencer cette double série d’expériences à toutes les températures.
Déternzüzattor2 dit coefficient b.
-Pour les fluides, la condi-
tion d’intégral~ilité de l’équation (1~;
334
permettrait de réduire considérablement la nouvelle série d’expé- riences ; mais, pour les solides qui nous occupent, la fonct90n b
est indépendante de a. Il faudra former séparément sous chaque charge b X le Tableau des valeurs du coefficient b ou FT
ien fonc-
tion de toutes les longueurs qui correspondent à une même tem- pérature.
Je n’ai pas besoin d’ajouter que jamais, jusque ce jour, la série complète des expériences nécessaires n’a été faite pour aucun corps. Il y a cependant assez de résultats généraux connus pour fournir d’utiles indications sur la forme des coefficients a, b.
7. Toutes les fois qu’un corps éprouve une série de transfor-
’
mations, il ne reste qu’une seule variable véri tablement indépen- dante, le temps, en fonction de laquelle toutes les autres peuvent
s’exprimer. 1-,’observateur agit directement sur l’une des variables,
X par exemple, en fonction du temps, et dans chaque cas parti-
culier toutes les autres variations sont déterminées. Si l’on n’a pas
pris de précautions particulières, la loi de ces variations dépend
de la loi des valeurs de X en fonction du temps; mais il peut arriver qu’il n’en soit pas ainsi, et que la variable X sur laquelle
l’observateur agit directement joue le rôle d’une véritable variable
indépendante : on dit alors que les transformations sont effectuées
au moyen d’un appareil déterminé, dont les liaisons sont indé- pendantes du temps. C’est une circonstance qu’il est bon de réa-
liser dans toutes les expériences. Quoi qu’il en soit, pour chaque
série de transformations, .z~, X, T sont entièrement déterminés en
fonction du temps 0, quand l’état initial est connu,
Les fonctions ,f, , 12, /3 sont supposées continues, mais leurs
dérivées de tout ordre peuvent présenter des discontinuités quel-
conques.
8. Principe de l’équivalence.
--Choisissons les variables
géométrique et mécanique x, X, de telle sorte que le travail des
forces extérieures appliquées au corps ait pour valeur - X dx, et
appelons J clQ la quantité de chaleur, exprimée en unités de tra-
vail, que les sources extérieures cèdent au corps pendant une
transformation dx, dX, dT. Le principe de l’équivalence exige
que l’intégrale de J dQ -r- X d.x soit nulle quand on l’étend à un cycle quelconque, complètement fermé
parcouru suivant une loi quelconque en fonction du temps. Pour
qu’il en soit ainsi, malgré les discontinuités des dérivées de t f ‘, , f,, f,, il faut que la valeur de l’intégrale étendue depuis un point
fixe xo, Xo, To, jusqu’à un point arbitraire ~, X, T, ne dépende
pas des valeurs intermédiaires de f,, f,, f~, mais seulement de leurs valeurs finales, c’est-à-dire de x, X, T; on a donc
Comme, d’ailleurs, une valeur quelconque de .~ peut corres-
pondre au même système de valeurs de X, T, les trois variables
restent en évidence dans la fonction U qui n’est autre que l’énergies
du corps.
9. Chaleurs spécifiques et chaleurs latentes. Différentions les deux membres de l’équation précéden te, il vient
Si la fonction U ne peut être exprimée que d’une seule manière
en x, X, T, il n’en est pas de même de la quantité de chaleur
élémentaire dC~. Nous pouvons, y en effets, ajouter au second
membre la quantité
identiquement nulle, quelle que soit la fonction Ã(x, X, T), par suite de la nature du corps. L’expression générale est donc
Nous obtiendrons les diverses chaleurs spécifiques et chaleurs
latentes en choisissant convenablement À. La signification des
lettres est indiquée par les formules suivantes :
Ces six relations permettent de déterminer les quatre chaleurs latentes en fonction des deux chaleurs spécifiques, ce qui donne
Ces formes sont les mêmes que pour les corps fluides ; en par-
ticulier, le rapport de ôx à ~X pour une transformation adiabatique
est encore égal à celui de a~x à Cx.
~IO..I~elatioj2s dz~’ére~2tLeZZes e~2tne Zes clzaZeu~ .s spécifiques.-
Il ne reste que deux relations linéairement indépendantes contenant
les trois dérivées partielles de U :
Mais leur différentiation en fournit une troisième; on reconnaît,
en effet, qu’il est possible d’éliminer les six dérivées secondes de U entre les six équations ainsi obtenues, et qu’il reste une équation du premier ordre
Éliminant U entre ces trois équations par différentiation, on
obtiendra enfin, entre les deux chaleurs spécifiques et les dieux
,coefficients de dilatation et d’élasticité, trois équations aux déri-
337 vées partielles du second ordre par rapport aux trois variables x, X, T; deux de ces équations seulement sont distinctes.
~.’1. La recherche des conséquences de l’axiome de Clausius est
la partie la plus délicate de cette étude. Il faut d’ahord trouver un
cycle de Carnot, c’est-à-dire un cycle formé uniquement de trans-
formations isothermes et adiabatiques, qui ramène le corps à son état initial sans que les compensations résul tant de l’axion>e de Clausius soient effectuées d’elles-mêmes. Les seuls cycles utiles
sont ceux dans lesquels les échanges de chaleur restent infiniment
petits à chaque température, les températures extrêmes pouvant d’ailleurs présenter des écarts quelconques. S’il n’y a que deux transformations isothermes et deux ou quatre transformations
adiabatiques, les quantités de chaleur fournies à chaque tempéra-
ture sont nécessairement nulles quand le cycle est complètement
fermé. Le cycle utilisable le plus simple est formé de trois trans-
formations isothermes quelconques et de trois transformations
adiabatiques infiniment voisines.
12. Etz tenant coniple de la relation caractéristique dit
corps) on peut touj.ours lnettre la quantité de chaleur élénlen- tcrire dQ sozcs lfi ,foj~n2e Il dS de dezcx j~2anièoes essentiellelnent distincte.
Entre les équations
on peut éliminer les trois différentielles dx, d K, dT, pourvu que la fonction S satisfasse à l’équation aux dérivées partielles
et il reste
Appelons S, , S2 deux solutions particulières distinctes de l’équa-
tion (4); toutes les autres solutions sont des fonctions arbitraires de S,, S2. Il n’y a donc que deux formes réellement distinctes Hl dS,, 1 H2 clS2 pour c~~; mais il importe de remarquer que la rel ati on
n’est autre chose que l’équation caractéristique du corps 1’);
comme celle-ci n’est pas intégrable, il en résulte que le rapport
de H, à H,, exprinlé en prenant pour variables indépen-
dantes S1, S2, T, ne peut pas être ij2dépendant de T.
13. Dans l’application de l’axiome de Clausius, prenons donc pour variables indépendantes S1, S2, T; le cycle est complètement
fermé quand ces trois variables reprennent leurs valeurs initiales.
Essayons de décrire un cycle de Carnot ordinaire formé de deux transformations isothermes quelconques alternant avec deux adiabatiques infiniment voisines ; commençons par décrire une
isotherme, et rapportons tout à l’adiabatique suivante (fig. 2 ):
Les équations de condition sont
Pour qu’on pût fermer le cycle, il faudrait que ces deux équa-
tions fussent compatibles en prenant ~S, et ~S, égaux respective-
ment à dS, et dS,; et cela est impossible, puisque les rapports
2013 ? ::1 ont des valeurs différentes lorsque 5 i , S, ont les mêmes va-
"2 ~2
leurs et que les températures seules T, T’ sont différentes (n° 13).
S’il est fermé, le cycle se réduit à une double transformation adia-
~
(1) Il est facile de le vérifier en développant dS1, dS2 et tenant compte de
l’équation (4) et de la forme de H,, H~ donnée par l’équation (5).
339
hatique. Il n’existe pas de c)’cle de Carnot ordinaires compl~-
tement, fermé. Toitt cycle de Carnot ordinaire est accompag~né
de déformation permanente ( 1 ).
Fig. 2.
Projection sur le plan S1 T, Projection sur le plan S2 T,
fermée. non fermée.
La difficulté subsiste tant que l’on ne considère que deux tem-
pératures. Par exemple (fig. 3 ), on peut former un cycle de Carnot
au moyen de deux isothermes et de quatre adiabatiques infini-
Fig. 3.
ment voi sines, sans qu’il se réduise au double parcours d’une même
transformation; mais alors la quantité de chaleur totale prise à la température T est séparément nulle; il en est de même pour la ( 1 ) C’est la propriété générale; il n’est pas impossible que pour certains corps le rapport H1 prenne la même valeur pour plusieurs valeurs distinctes de la tem-
H,
pérature; on pourra alors associer à chaque température T une autre tempéra-
ture T’, convenablement choisie pour former un cycle de Carnot particulier com-
plètement fermé. La température T restant fixe, la déformation permanente, po-
sitive par exemple pour une température T’ > Ti associée à T, serait nulle pour
T’ = T~ et négative pour Tf T’t.
340
chaleur restituée à la température rI’. Le cycle ne nous est (aucun
usage.
i4. Il n’en est plus de même si nous prenons un cycle de Carnot
formé de trois isothermes T’, Tf!, Tf" et de trois adiabatiques in-
finiment voisines,
SI + dS1, S2 ---B- clS2; S1, S2; SI + oS!) S2 + 8S2.
Fig. 4.
Projection sur le plan Si T, Projection sur le plan S,T,
fermée. fermée.
Première transformation isothermes, T~ : -. de l’adiabatique
à l’adiabatique S, 1 52,
Deuxième transformation isotherme, T’I: de l’adiabatique S 1,
T52 à l’adiabatique 51 -1- 8St, S2 + 8S2,
Troisième transformation isotherme T"’, fermeture du cycle :
de l’adiabatique St + Õ5t, 52 + 352 à l’adiabatique S, + dS j , S, --~- dS2,
Éliminons dS2, ’OS2 entre ces trois équations : il reste une rela-
tion entre dS, et ~S,
ou
34I Les coefficients ne sont pas nuls, puisque H1 ff dépend de la tempé-
rature. L’équation détermine donc la valeur de ~S, qu’il faut
choisir pour fermer le cycle quand on se donne les trois tempéra-
tures, ainsi que Si’ S, et dS, ; l’équation correspondante
détermine ÔS, en cZS2. Ainsi, quand on se donne arbitrairement les trois isothermes et deux des adiabatiques, la condition de fer-
ineture du cycle détermine complètement la troisième adiabatique.
Elle détermine donc complètement deux des échanges de chaleur
en fonction du premier.
Les équations déjà écrites donnent en effet
tenant compte de la valeur de ~S, en dS,, on en déduit pour les
échanges de chaleur à chacune des trois températures T’, Tf!, Tf1!
15. Ce cycle est entièrement réversible, et l’état initial est iden-
tique à l’état final. On le compare à un cycle décrit par un gaz entre les mêmes températures, tel que le gaz absorbe tout le travail du solide et que toute la chaleur perdue par le solide à l’une des
températures T" soit absorbée par le gaz à la même température.
Deux sources seulement aux températures T~, T"’ sont alors néces-
saires pour mettre en mouvement la machine complexe. Soient
s -+- ds, .c, s ; 8s les valeurs de l’entropie du gaz le long des trois lignes adiabatiques correspondantes : on a
La suppression de la source T" exige que l’on ait
342
Ajoutons que le travail extérieur total produit par la machine
complexe est nul : 1
Ces deux conditions déterminent ds et 8s, c’est-à-dire le cycle
parcouru par le gaz; elles donnent,
toute la chaleur empruntée par l’ensemble des deux corps à la
source T~ est transporté sur la source T’. Je dis que ces quantités
sont séparément nulles en vertu de l’axiome de Clausius.
En effet, chaque transformation prise isolément est réversible,
et, comme nous avons choisi un cycle dans lequel l’état final est
identique à l’état initial, le cycle entier peut être parcouru indif- féremment dans un sens ou dans l’autre èc partir dit même état initial. Quel que soit le sens du parcours, il n’y a à la fin du cycle ni travail extérieur produit ni altération des deux corps.
Dans ces conditions, la chaleur n’a pu être transportée d’une source
froide sur une plus chaude ; il en résulte qu’on a séparément
Les quantités dq’, dc~", dq"/ sont séparément égales aux quan- tités 2013~Q~ 2013~Q~ 2013~Q~. Éliminant ds, ôs entre les trois équations, on a
.Éliminons d~’, dQ", dQ"’ entre cette équation (8) et les équa-
tions (7), il vient
Telle est la relation unique fournie par l’axiome de Clausius dans le cas des solides à déformations permanentes.
16. Ajoutons et retranchons il,,
2013 dans la seconde parenthèse, il
vient
343 Uivisant par les facteurs H- 1 --- §§11 ) H»~ 1, - Il’’ ) qui ne son pas
Divisant parles facteurs -
H’,~, 11 " 1 ~ 1 ~ ~lli 1 H 1 1 qui ne son u pas
n uls ( n° 13 ~, Bti9
,
ii~/~fi~
’ ,z
or le premier membre est indépendant de la température T"’, le
second de la température T/; l’égalité n’est possible que si tous deux sont indépendants de T’ et de T"’, et aussi, par suite de la
symé trie, de Tf1. Désignant donc par F (St, 52) une fonction de S, , 52 indépendante de la température, on a
O L1
Ici encore, le premier membre est indépendant de T", le second
de T’; on a donc séparément
Les fonctions F, G sont deux fonctions indépendantes de la température, déterminées par la nature du corps solide et par le choix des variables S,, 52.
~1’~. Multiplions les deux membres de l’équation (i o) par
il vient
Cette équation montre que l’on peut toujours trouver deux fonc-
tions particulières R et S de S, et S, seules, telles que le second membre prenne la forme R dS
En général, les fonctions R et S seront deux fonctions analyti-
quement distinctes de S, et S,, et il sera impossible de choisir la
344
fonction arbitraire co de la seule variables S de manière à réduire à l’unité le facteur 9’ fs) . I? (S)
"~iemczj°c~zce. - Si l’on a pris la fonction S pour l’une des fonc- tions Si ou S 2, S, par exemple, les deux membres de l’équa-
.tion (g) sont identiquement nuls; Inéquation (g) n’a plus pour conséquence l’équation (10); le principe de Carnot ne donne alors
aucune relation entre le facteur H, et le facteur H, réduit à la forme ~I’R. Mais nous savons (n° 13) que si le corps est susceptible
de déformations permanentes, le facteur H2 ne peut jamais être
réduit à une forme analogue TR2, quand la fonction S2 est une
solution de l’ équation aux dérivées partielles (4); différente de ~.~(S).
18. Le coefficient TR dans lequel R, et par suite 1 , satisfait
comme S à l’équation (4), doit toujours avoir la forme (5); la
solution S est donc une solution commune à l’équation (4), et à l’équation du second ordre qu’on obtient en remplaçant S dans
¡B ,.
