Note sur les polarisations de spin et de charge autour d'une impureté dans un supraconducteur

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Submitted on 1 Jan 1965

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Note sur les polarisations de spin et de charge autour d’une impureté dans un supraconducteur

J.P. Hurault

To cite this version:

J.P. Hurault. Note sur les polarisations de spin et de charge autour d’une impureté dans un supra- conducteur. Journal de Physique, 1965, 26 (5), pp.252-258. �10.1051/jphys:01965002605025201�.

�jpa-00205960�

phénoménologique mentionné, par la première équation ^du système (16) ^{relative aux} compo-

santes, ^sous la condition que grad ^T

^{0. Le choix}

mentionné des champs ^{et du} gradient ^{de concen-}

tration impose ^encore les conditions supplémen-

taires ly

^{0 et}

^0.

Effet photothermomagnétique. Apparition ^d’un gradient transversal de température per-

pendiculaire ^au champ magnétique ^{.BZ et flux des} particules qui ^diffusent dans la direction du _gra- dient de concentration sous l’action de l’illumination. On peut ^{décrire ces} effets à l’aide de trois de ^ces quatre équations, ^{relatives aux} compo-

santes, ^du système (16), ^sous les conditions J = 0, et, parce que le _processus est adiabatique, ^W

^0.

De plus, les conditions imposées par le choix ^men- tionné des champs ^{et des} gradients, ^{nous donnent}

encore

0 et oN fox

^0.

On peut décrire aussi de cette manière d’autres

phénomènes ^de magnétodiffusion. Évidemment,

nous n’entrerons pas dans les détails parce que les relations qui caractérisent les effets mentionnés et la discussion des résultats peuvent ^{être faits}

exactement comme dans le travail cité [5].

Manuscrit _reçu le 25 janvier ^1965.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^{AIGRAIN et} ENGLERT, ^Les semiconducteurs, Dunod,

Paris, p. ^66.

[2] ^GODEFROY (L.) ^{et TAVERNIER} (J.), ^J. Physique ^Rad., a) 1960, 21, 249 ; b) 1960, 21, 544 ; c) 1960, 21, ^660.

[3] ^TAVERNIER (J.), ^J. Physique, 1963, 24, 99.

[4] ^SEXER (N.) ^{et TAVERNIER} (J.), Phys. ^stat. sol., 1964, 5, 521.

[5] ^ZAWADZKI (W.), Phys. ^stat. sol., 1963, 3, 990.

[6] ^LICEA (I.), Phys. ^stat. sol., 1965, 8, ^377.

NOTE SUR LES POLARISATIONS DE SPIN ET DE CHARGE AUTOUR D’UNE IMPURETÉ DANS UN SUPRACONDUCTEUR (1)

Par J. P. HURAULT,

Physique ^des Solides, Faculté des Sciences, Orsay.

Résumé. - On améliore les calculs existants ^de polarisations ^de charge ^{et de} spin ^{autour d’une} impureté ^dans

supraconducteur. ^Les expériences susceptibles de tester

calculs seraient, d’une part l’étude des interactions entre impuretés magnétiques, ^d’autre part l’étude du spectre

des phonons dans des matériaux du type Nb3Sn, ^{à faible} longueur de cohérence.

Abstract. 2014 Existing calculations

improved ^for charge ^and spin polarisations ^induced

around

impurity ⁱⁿ

superconductor. ^The calculation could be tested by studies of (a) ^inter-

actions between magnetic impurities ; (b) ^the phonon spectrum, ⁱⁿ materials of the Nb3Sn group, with short coherence lengths.

LE JOURNAL DE

PHYSIQUE

26,

1965,

Introduction.

1. POLARISATION DE SPIN.

Soit un spin ^nucléaire 10 placé ^à l’origine ^des

coordonnées et couplé par ^une interaction hyper-

fine Si 8(r,) ^aux électrons de conduction

4

(de spin ^{Si et} de coordonnées ri) d’un métal. Le

spin Io va ^{induire une} polarisation ^de spin

Un spin ^nucléaire ll ^{situé à une} distance R de

l’origine, interagit ^{avec la} polarisation ^créée par Io.

Cette énergie d’interaction W(R) ^{n’est autre} que (1) Travail financé par le Centre National d’Études Spatiales, 129,

^de l’Université, ^Paris (7e).

l’énergie ^du couplage indirect de 11 ^à I, par l’inter- médiaire du gaz d’électrons. x(r) ^et W(R) ^{ont été}

calculées par Ruderman ^et Kittel [1] pour ^un métal pur dans l’approximation des électrons libres et ils ont trouvé (kF désignant ^{le vecteur d’onde}

du niveau de Fermi)

Lorsque l’on considère plusieurs spins ^nucléaires

Il ^{situés aux} positions ^R; l’énergie ^de couplage ^de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01965002605025201

ces spins par l’intermédiaire _{du gaz} d’électrons s’écrit :

A

avec

x(q) ^{a été calculé pour un métal pur par Yosida} [2] qui ^trouve

x(q) ^{a une tangente} verticale pour q

2kF

(anomalie ^de Kohn).

2. POLARISATION DE CHARGE.

Soit un poten-

tiel perturbateur ^V’ imposé ^{à un} gaz d’élec- trons. Ce potentiel ^{induit une densité} électronique perturbée ^V cp(r) ^au premier ^{ordre en V. Si on} analyse ~(r) ^{en série de} Fourier, ^on analyse égale-

ment cp(r) ^en série de Fourier et il vient :

cp(q) ^est la densité électronique perturbée ^{par un} potentiel ^eiqr. Cette densité est reliée à la cons-

tante diélectrique statique s(q) introduite par Nozières et Pines [3] telle que

Pour un gaz d’électrons libres, p(r)

x(r) ^et y(q)

x(q).

3. POLARISATIONS DE SPIN ET DE CHARGE DANS UN SUPRACONDUCTEUR. - Notre propos ^est d’étendre les notions précédentes ^{à un supra-}

conducteur pur à température ^{nulle. Ces} questions

ont été étudiées, pour ^ce qui ^{est de la} polarisation

de spin, par Anderson ^et Suhl [4], ^et pour ^ce qui

est de la polarisation ^de charge, ^par Prange [5].

De ces deux articles, ^{il ressort} d’abord que X(q)

diffère fortement de p(q) ^{dans un} supraconducteur

pour les faibles valeurs de q. Ceci est dû au fait que, pour des paires ^de Cooper ^{dans un état s, la} susceptibilité paramagnétique x(q

^{0) est nulle à}

basse température.

Pour le calcul de x(r), ^nous allons utiliser une

approximation ^{à notre sens} plus ^{fine que celle}

d’Anderson ^et Suhl. Nous vérifions ^en effet que notre approximation ^{nous donne la forme asympto-} tique ^exacte pour le métal normal, ^ce qui ^{ne semble}

pas ^être le cas si on utilise l’approximation

d’Anderson ^et Suhl. Nous trouvons que x(r) pré-

sente une forme asymptotique décroissant expo-

nentiellement avec une portée comparable ^{à la} longueur ^de cohérence, ^{sans être modulée} par ^une fonction sinusoïdale, ^{résultat différent de celui}

d’Anderson et Suhl. Cette propriété peut ^{avoir un}

certain intérêt physique pour l’étude des inter- actions magnétiques ^{dans des} supraconducteurs ^à

faible longueur de cohérence (Nb3Sn, V3Ga). ^Par contre, ^nous n’étudions pas la transformée de Fourier x(q) ^dont l’aspect qualitatif est correcte- ment indiqué ^dans la référence [4].

Nous passons ensuite au calcul de la polarisation

de charge, ^{en nous servant} de la même approxi-

mation que pour la polarisation ^de spin. Prange

trouve que pour q

0 l’on peut pratiquement

identifier la constante diélectrique ^{de l’état} supra- conducteur à celle de l’état normal. Nous montrons ici que ^ce résultat reste vrai pour presque ^toutes les valeurs de q ; ^en particulier, ^{aucune anomalie}

ne se produit ^{pour q où} Ço ^{est la} longueur

de cohérence du supraconducteur. ^{La seule nou-}

veauté introduite par la phase supraconductrice

est la disparition ^de l’anomalie de Kohn pour q

2Ap. ^Ce changement pourrait être détecté sur

des matériaux à très faible go ^comme Nb3Sn ^ou VGa.

Nous étudions d’abord la dépendance spatiale

de cp(r). ^{Pour r «} go, ^nous vérifions que y(r) ^n’est pratiquement pas différent de sa valeur dans l’état normal. Pour r » ço. cp(r) ^décroît exponentiel-

lement en étant modulée par ^un facteur sinusoïdal.

Nous analysons ensuite les conséquences ^{de ces} propriétés ^sur la transformée de Fourier cp(q), ^et

nous étudions en particulier ^la disparition ^de

l’anomalie de Kohn dans la phase supraconductrice.

Ici _encore, on ne peut guère attendre des effets observables que dans des matériaux _{de groupe}

Nb3Sn.

Calcul de X(r).

^Nous développons ^l’hamil-

tonien perturbateur ^{H dû à la} présence ^du spin

nucléaire Io ^à l’origine des coordonnées suivant les méthodes de la seconde quantification et, ^{en utili-}

sant les notations habituelles, ^{il vient}

Dans cette formule, la > dénote un état propre de l’opérateur S, qui peut être fi > ou 1 t >.

D’où

La fonction de l’état perturbé cp > est au

premier ^ordre

où In > et 10 > représentent respectivement ^les

états excités et l’état fondamental du supracon-

ducteur, En ^étant l’énergie ^de l’état 1 n >. x(r) ^étant proportionnel ^à

avec

soit à M 1 _{+ cc,} nous

soit à X 1/En > > + cc, ^nous

n=l= 0 n

voyons que les seuls ^états 1 n > qui ^{ne donneront}

pas ^une contribution nulle à x(r) ^{seront de} spin

nul : ceci nous permet, pour ^ce calcul, ^{de ne}

retenir de H que le ^{terme en} Inz.

Finalement

Écrivons ^{les et en} utilisant les transfor- mations de Bogoliubov [6], ^les opérateurs rt. ^et Y i

satisfaisant les relations d’anticommutation des fermions et étant définis _par

Ho étant l’hamiltonien du système ^isolé.

De plus, Ek, ^uk et vk sont réels tels que

Pour le calcul de x, ^on s’aperçoit alors que les

états n > peuvent ^{être de deux sortes}

ces deux états excités ayant ^{la même} énergie

Ek + ^Ek’.

Le calcul donne

Lorsque

et on retrouve le résultat relatif au métal normal.

On peut remarquer ^en passant que, lorsque ^Il

est différent de 0, X(g) ^{se calcule} directement à

partir ^de (15) ^et

On voit directement sur cette formule que

x(q

0)

^0.

Si nous retournons à x(r), pour 0 ~ 0, ^{il vient}

En passant ^en coordonnées sphériques ^{et en inté-}

grant ^{sur les} angles, ^{il vient}

Nous allons calculer seulement la forme asymp-

totique ^de x(r) ^{dans la limite kF r » 1. Dans ce}

cas, les contributions majeures ^à l’intégrale (18)

viennent de k - k’

kF. Dans (18), ^{k dk et k’ dk’}

peuvent ^être remplacés respectivement par

m d03BEk/h2etmd03BEk /h2

Pour ce qui ^{est du} facteur oscillant sin kr sin k’r,

nous ferons

VF étant la vitesse au niveau de Fermi.

On peut vérifier que ^cette approximation, quand

elle est faite pour le métal normal, ^{conduit à la}

forme asymptotique ^{correcte de} x(r), c’est-à-dice

Dans le cas du supraconducteur, Z et ~’ ^{étant les}

nouvelles variables d’intégration, variant chacune

de - EF ^à c’est-à-dire pratiquement ^de

On procède ^{ensuite aux deux} changements de variables successifs

D’où

L/intégration sur p ^donne

Comme cette forme n’est valable que pour les

grands ^{r, nous} pouvons laisser de côté dans (22) ^le

terme contenant la fonction 8 et nous voyons qu’il

nous reste deux sortes d’intégrales à calculer : .K1 ^et Ko étant les fonctions de Bessel sphériques

définies comme dans Watson [7].

Donc x(r) ^a pour forme asymptotique (r ^»

Nous pouvons considérer deux régions pour les

grandes valeurs de r :

a) Région ^{« r «} ~0.

~ 2 ^étant majoré par n /2, ^{et comme} 2Llr /hVF ^« 1,

on peut remplacer ,K1 (2LlrllivF) par ^sa valeur

asymptotique ^aux petits arguments, c’est-à-dire est donc négligeable par rapport à 31 et, ^{dans cet} intervalle, ^{on a}

qui ^{n’est autre} que la forme asymptotique ^de x dans le métal pour r ^»

Pour r « k"F1, ^{il est} raisonnable de supposer que la forme de X ^{dans le} supraconducteur doit s’iden- tifier à celle dans le métal normal ; c’est-à-dire que l’on peut ^{écrire à une bonne} approximation

b) Région r ^» ço.

Cette fois, 31

J2 ^et x(r) peut ^s’écrire

ou :

Cette forme a ceci de remarquable qu’elle ^n’a

FIG. 1.

Aspect qualitatif

de la forme asymptotique ^de Xn(r).

FiG. 2.

Aspect qualitatif

de la forme asymptotique ^de

pas ^un comportement ^{oscillant comme dans le}

métal normal mais qu’elle présente uneedécrois-

sance en lr5/2 (voir fig, i ^et 2).

Calcul de cp(r).- L’hamiltonien perturbateur H’

est U 1 ~(ri) : ^{on le} développe suivant les méthodes

1

de la seconde quantification ^{et il vient}

1 cp > étant toujours ^l’état excité par H’ ^et 0 ^>

le fondamental

On voit que l’étude de y(r) ^{va conduire au même} type ^{de calculs} que l’étude de x(r), ^{à des} différences de signe près. On utilise la transformation de

Bogoliubov ^{et il vient}

On voit d’après (31) que la forme de p(r), pour A

0, ^est celle de l’état normal et que si l’on considère sa transformée de Fourier, ^elle

n’est pas nulle pour q

0, ^{et un calcul} approché

nous conduit à la même valeur que pour l’état normal. La suite du calcul ^est conduite de la même

façon que dans la section précédente. ^{Le résultat} est le suivant :

b) ^{Pour r «} kF 1

doit s’identifier à la forme relative au métal normal.

c) ^{Pour tout r.}

On peut adopter ^{une forme} analytique qui ^coïn-

cide avec la forme exacte de _y pour kfl ^{« r «} Zo,

avec la forme de _y relative au métal normal pour kF « ^ce qui ^{nous conduit à} adopter

Aux grandes valeurs de r (r ^» ~), ^nous voyons que cp décroit exponentiellement ^{comme x mais} qu’elle est cette fois modulée par ^un facteur

cos 2kF ^r (fig. 3).

FIG. 3.

Aspect qualitatif

de la forme asymptotique ^de o,(r).

Étude de Y.(q).

^{La méthode} d’étude de

sera la suivante : nous comparerons l’expression

de ps(q) ^{pour le} supraconducteur ^à celle du métal

normal, ^{Nous verrons} que, lorsque q ^n’est

pas situé ^au voisinage de q

2AF, ^est égale

à à AIEF près.

D’autre part, l’étude de dps(q)Jdq ^{nous per-}

mettra de constater que dcps(q) fdq ^ne prend jamais

de valeur infinie : l’anomalie de Kohn disparaît.

Passons maintenant aux calculs :

Avec des notations évidentes pour ^et cpn(r),

on a

D’Oll

avec

257

L’intégration ^{sur r donne :}

avec

.

(36) peut ^s’écrire symboliquement

Comme pour

> 4, ^{ch a # sh} a, ^nous n’inté- grerons que de 0 à 4.

Si, ^d’autre part, q ^{est tel} que pour

4,

, .. 1 , ,

la réalisation de II entraînant celles de 1 et lils

on pourra développer ^les fonctions de l’intégrant

, ^. ,

soit en puissances ^de

^{soit de}

en B2A;F ^{+ q)’ soit d e}

-

La condition II est plus ^{ou moins} restrictive suivant les valeurs du rapport EF /A ^{et n’est valable}

que pour les valeurs de q situées à l’extérieur d’un

segment ^centré sur q

2kF. Si ^nous adoptons ^pour

le rapport EFIA ^{une valeur} typiquement égale ^à 103, ^nos conditions sont réalisées en dehors du

segment ^2kF q 2kF , 3kF segment 2013/3kf/100 q ^{2A;p +} 100.

D’où

c’est-à-dire, ^{une fois les} intégrales ^suroc calculées :

avec

Si l’on étudie ; pour (33), les fonctions

on s’aperçoit ^d’une part, que le ^terme de Ay ^en (à/cF)4 ^est toujours très inférieur au terme en

compte ^{tenu des} valeurs choisies pour q et de la valeur de d’autre part, que le terme en donne une déviation par rapport

à y.(q) qui ^{est au} pire de l’ordre du millième.

Pour avoir une information sur les valeurs de

Qs(q)pour

passons à l’étude de /dq.

Étude de dcpa(q) jdq.

soit

avec

On voit déjà ^sur (35) que ^ne devient

jamais infini, contrairement à ce qui ^se passe dans

le cas normal où

258

En effet, (36) diverge logarithmiquement lorsque

q

On peut ^calculer numériquement ^pour

q

2kF avec les valeurs de A/EF déjà ^utilisées

dans la section précédente ^{et il vient}

ce qui correspond ^à dcpn(q) Idq ^pour

Nous avons donc suffisamment d’informations

FIG. 4.

Aspect qualitatif ^de çn(q).

q FIG. 5.

Aspect qualitatif ^de

pour ^nous donner une bonne idée de pour toute valeur _{de q} (fig. ^{4 et} 5).

Remerciements.

Je tiens à exprimer ^{mes re-}

merciements à M. le Professeur P. G. de Gennes

qui ^m’a proposé ^ce problème ^{et m’a} constamment

guidé ^{au cours de ce} travail, ^ainsi qu’à

Mme C. Caroli avec qui j’ai pu avoir de fructueuses discussions.

Manuscrit reçu le ¹⁵ février 1965.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^RUDERMAN (M. A.) ^{et KITTEL} (C.), Phys. Rev., 1954,

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[2] ^YOSIDA (K.), Phys. Rev., 1957, 106, 893.

[3] ^NOZIÈRES (P.) ^{et PINES} (D.), ^Nuovo Cimento, 1958, 9,

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[5] ^PRANGE (R.), Phys. Rev., 1963, 129, ^2495.

[6] BOGOLIUBOV (N. N.), ^TOMACHEV (V. V.) ^{et SHIRKOV} (D. V.), New method in the theory ^of superconduc- tivity, Consultants Bureau, ^New York, 1959.

[7] ^WATSON (G. N.), A treatise

the theory ^{of Bessel}

functions, Cambridge University Press, 1958.