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X / ENS Modélisation PSI 2007 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Ce sujet, particulièrement bien conçu, nous entraîne dans les coulisses des phéno- mènes de biréfringence et de génération de faisceau optique par doublement de fré- quence. Il se subdivise en trois grandes parties indépendantes auxquelles s’ajoutent trois questions de synthèse nécessitant les applications numériques effectuées dans chaque partie.
• La première partie résume et illustre ce que pourrait être un cours sur la propa- gation des ondes lumineuses dans les milieux diélectriques linéaires et isotropes.
Elle se prolonge par l’étude de milieux anisotropes (conservant tout de même un caractère uniaxe), aussi appelés milieux biréfringents pour leur capacité à séparer un faisceau incident non polarisé en deux faisceaux émergents polarisés.
• La deuxième partie porte sur la non-linéarité que l’on peut rencontrer dans certains de ces milieux qui, à partir de vibrations de fréquence ω, fabriquent une vibration de fréquence 2ω. Après une étude générale de la non-linéarité, on explore les avantages et inconvénients de la biréfringence dans l’obtention d’une certaine puissance de sortie.
• La troisième partie examine l’aspect corpusculaire qui n’a pas été pris en compte dans la deuxième partie, entièrement ondulatoire. On y introduit le concept de photon, ce qui permet de déterminer les équations d’évolution des intensités des faisceaux et de décrire correctement le phénomène de saturation.
• La dernière partie, constituée de seulement trois questions, rassemble les avan- cées des parties précédentes afin de choisir le modèle caractérisant au mieux le système expérimental utilisé.
Étant donné que l’énoncé traite du problème des milieux diélectriques, thème hors programme en PSI, tous les éléments nécessaires à sa résolution sont fournis.
Particulièrement pédagogique et directif, c’est un supplément de cours à parcourir absolument tant il sait faire apparaître simple les secrets de l’optique non linéaire et non isotrope, sujet pourtant fort complexe au premier abord.
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Indications
Partie I
I.2 Procéder comme pour l’équation de propagation dans le vide en utilisant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday.
I.7 RelierHàE via l’équation de Maxwell-Ampère.
I.8 La moyenne temporelle d’un cosinus carré vaut1/2.
I.10 Penser à introduire la matrice identité de dimension3et refaire la démonstra- tion de la question I.1.
I.11 Faire apparaîtrediv −→
E et donner une condition suffisante sur ∂Ez
∂z . I.13 Commencer par placer les vecteurs−→
d. Le cas ordinaire est facile. Pour le cas extraordinaire, penser que −→
d est dans le plan des vecteurs−→e et −→
k, tout en étant orthogonal à−→
k cardiv−→D = 0.
I.15 Chercher la représentation sous la formez=n(+)cosθet x=n(+)sinθ.
I.16 La pente p s’exprime comme p = dz/dx, que l’on peut simplifier avec les formules précédentes pour faire apparaîtreθ.
I.17 Introduire l’angleϕque fait la tangente avec l’axe horizontalOx. Il est tel que
|p|= tanϕ.
I.19 De retour dans l’air, le comportement est à nouveau « ordinaire ».
Partie II
II.1 L’équation est la même que pour le cas linéaire, excepté le terme supplémen- taire dans l’expression de−→
D.
II.2 Remarquer queE3Z= 0 et appliquer l’expression cartésienne du rotationnel.
II.6 L’équation s’écrit ∂E3
∂Z =−jαej ∆kZ avecαparamètre constant.
II.7 Mettreej ∆kZ/2 en facteur pour faire apparaître l’expression dusin(∆kZ/2).
II.12 Chercher un point d’intersection.
II.16 L’intensité augmente tant qu’il y a recouvrement.
II.17 Chercher une valeur minimale.
Partie III III.6 Passer pour une équation sur les éclairements.
III.12 Remarquer sur la figure quetanh2(0,9)≈1/2.
Partie IV
IV.1 Comparer la longueur effectiveLdu cristal aux deux longueurs caractéristiques précédentesLsepet L1/2.
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I. Optique linéaire cristalline
I.1 L’énoncé fournit les définitions des vecteurs polarisation −→
P et déplacement électrique−→
D comme étant
−
→P = ε0χ−→ E
−
→D =ε0−→ E +−→
P
On a donc −→
D =ε0−→
E +ε0χ−→ E =ε0
εr
z }| { (1 +χ)−→
E
d’où εr= 1 +χ
L’équation de Maxwell-Gauss s’écrit dans les milieux 0 = div (−→
D ) = div (ε0εr−→
E ) =ε0εr div−→ E
La dernière égalité découle du fait que la susceptibilité électriqueχ (et doncεr) est supposée ne pas dépendre des variables spatiales. Le produit ε0εr étant non nul, il vient
div−→ E = 0
I.2 Calculons le premier terme de l’équation proposée
−→rot (−→rot −→
E ) =−−→rot ∂−→
B
∂t
car−→rot−→
E =−∂−→ B
∂t
=−∂
∂t(−→rot−→
B ) (théorème de Schwarz)
=−µ0
∂
∂t(−→rot−→
H ) carµ0= Cte
=−µ0
∂
∂t ∂−→
D
∂t
car−→rot−→ H = ∂−→
D
∂t
−→rot (−→rot −→
E ) =−µ0ε0εr
∂2−→ E
∂t2 car−→
D =ε0εr
−
→E
On obtient bien −→rot (−→rot−→
E ) +µ0ε0εr
∂2−→ E
∂t2 =−→0
I.3 Le rotationnel du champ électrique a la dimension d’un champ électrique divisé par une longueur. Sa dérivée temporelle a la dimension d’un champ divisé par un temps. Il en résulte
[E]
L2 + [µ0ε0εr][E]
T2 = 0 ou encore [µ0ε0εr] =T2
L2 = [v]−2
Le termeµ0ε0εrest bien homogène à l’inverse du carré d’une vitesse v.
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I.4 En utilisant la relationµ0ε0c2= 1, on en déduit immédiatement v= c
√εr
et n=√εr
I.5 À l’aide de l’équation démontrée à la question I.2 et de la formule du double produit vectoriel rappelée dans les annexes de l’énoncé, on a
−j−→
k ∧(−j−→ k ∧−→
E ) +n2(jω)2 c2
−
→E =−[(−→ k ·−→
E )−→ k −(−→
k ·−→ k)−→
E ]−n2ω2 c2
−
→E La conservation du flux du champ électrique via la relationdiv −→
E =−j−→ k ·−→
E = 0 indique que le champ est transverse, perpendiculaire au vecteur d’onde−→
k ; l’équation se simplifie alors en
k2−→
E −n2ω2 c2
−
→E =−→ 0
Il vient k2c2=n2ω2
I.6 L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit en notation complexe
−j−→ k ∧−→
H = jω−→
D = jω ε0εr
−
→E Les vecteurs−→e et −→
h qui portent respectivement −→ E et −→
H sont donc nécessairement orthogonaux par définition du produit vectoriel. De plus, comme le vecteur de Poyn- ting−→
Π est porté par définition par−→e ∧−→ h, Les vecteurs(−→
E,−→ H,−→
Π )forment un trièdre direct.
L’équation de conservation du flux du champ magnétiquediv−→
B = 0assure que le vecteur−→
B est orthogonal au vecteur d’onde−→
k. En outre, on peut réécrire l’équation de Maxwell-Ampère
−µ0j−→ k ∧−→
B = jω−→ D assurant que le trièdre(−→
k ,−→ B,−−→
D )est direct. Par permutation non circulaire, on en déduit
Les vecteurs(−→ D,−→
B,−→
k)forment un trièdre direct.
I.7 (−→ D,−→
B,−→
k)formant un trièdre direct,(−→ E,−→
H,−→
k)en est aussi un. Par conséquent,
−
→k ∧−→
H =−kH−→e
Projetée selon−→e, l’équation de Maxwell-Ampère exprimée en fonction de−→ E et −→
H exploitée à la question précédente s’écrit
kH =ω ε0εrE
Comme k=n ω
c =n ω√µ0ε0 et εr=n2 la norme du vecteur de Poynting s’écrit
Π = ε0n2 n√µ0ε0
Re E ej (ωt−kZ)2
=n rε0
µ0
Re E ej (ωt−kZ)2
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