X/ENS Maths PSI 2004 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/24

X/ENS Maths PSI 2004 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Université de Stanford) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (professeur en CPGE).

Ce sujet commun à l’École Polytechnique et à l’ENS Cachan se compose de deux problèmes indépendants.

Le premier problème a pour but d’étudier la fonction f :x7−→

∞

X

n=0

xⁿ (n!)²

On commence par déterminer son domaine de définition, sa régularité, ses limites aux bornes du domaine de définition, etc.

Le reste du problème consiste à trouver un équivalent de cette fonction en⁺∞.

On considère la fonction gx dont les coefficients de Fourier sont xⁿ/n!

n∈N et que l’on explicite à l’aide de fonctions usuelles. En remarquant que, d’après la relation de Parseval,

f(x²) =

∞

X

n=0

x²ⁿ (n!)² = 1

2π Z 2π

0

gx(θ)

2dθ on se ramène à l’étude asymptotique de cette intégrale.

Ce premier problème est très classique ; par exemple, le premier sujet de mathé- matiques du concours Mines-Ponts 2002 se propose de calculer exactement le même équivalent par une autre méthode.

Le second problème, beaucoup plus original, guide le candidat dans la construction d’une famille d’ensembles de Besicovitch. Ces derniers sont des parties du plan contenant un segment de longueur 1 dans toute direction. On montre ensuite que l’on peut trouver de tels ensembles avec une aire aussi petite que l’on veut.

Ce problème n’est pas difficile en soi : la construction et le calcul de l’aire sont faits petit à petit. Il a dérouté de nombreux élèves cette année. Premièrement, parce qu’il ne fait appel à aucun théorème du cours. Deuxièmement, parce qu’il utilise la notion de partition d’un ensemble modulo une relation d’équivalence.

Pour les élèves provenant de MPSI, aucun problème ; mais ceux provenant de PCSI ne pouvaient pas comprendre les questions II.5 et II.6 et on sait à quel point une telle situation peut être bloquante un jour de concours. Il est dommage que cette injustice se soit produite dans un sujet d’X/ENS et on trouvera, en remarque dans le corrigé, les définitions nécessaires à la résolution de ces questions problématiques.

Il s’agit malgré tout d’un problème intéressant dans la mesure où il introduit ces ensembles de Besicovitch, dont le premier exemple fut construit en 1920 par Abram Besicovitch et qui sont un sujet important de recherche actuelle en analyse harmonique. On trouvera à la fin du corrigé des remarques culturelles concernant ce problème.

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Indications

Problème I

I.2 Démontrer quef(x)>1 +x.

I.5 Utiliser l’expressiongx(θ) =e^x^eⁱ^θ obtenue à la question I.3 et le fait quecosθ est strictement négatif lorsqueθse trouve dans l’intervalle

π 2;3π

2

. I.6 Justifier la validité du changement de variableu= 2√

2xsinθ

2 dans la première intégrale et l’effectuer.

Problème II

II.2.b Raisonner par l’absurde : en notanti le plus petit indice pour lequel ri 6=qi, montrer à l’aide de la question II.2.a que |ri−qi|<1.

II.3.a Un exemple typique de compact du plan est un rectangle. Il suffit donc d’établir que B^δq est inclus, par exemple, dans un rectangle indépendant de q et δ.

Pour cela, majorer simplementxpar 1 et lesqk parN−1.

II.3.b Remarquer queB^δq est un parallélogramme. Évaluer les pentes des côtés et des diagonales ; remarquer alors queB^δqcontient tous les segments reliant les bords gauche et droit de D, de pentes intermédiaires entre celles-ci.

II.4.b Montrer queN^NQ^N, l’ensemble des éléments deQ^Nmultipliés parN^N, est égal à {0, . . . ,N^N−1}. Utiliser ceci pour montrer que sip est un réel de [0 ; 1], il existe un élémentq0 deQ^Ntel que N^Nq0 soit égal à[N^Np], la partie entière deN^Np.

II.8 Il existemdans{1, . . . ,N}tel quex0se trouve dans l’intervalle

m−1 N ; m

N

. Si q1, . . . , qN^m⁻¹ sont des représentants de chacune des classes d’équivalence deQ^NmoduloR^m, vérifier à l’aide de la question II.7 que

Ax0 ⊂

N^m⁻¹

[

i=1

lqi(x0)− C

N^m;lqi(x0) + C N^m

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Problème I

I.1 La série entière P

n>0

xⁿ

(n!)² converge absolument sur l’intervalle]−R ; R[, oùR est son rayon de convergence. D’après la règle de d’Alembert, comme la limite

n→∞lim

(n+ 1)!² (n!)² = lim

n→∞(n+ 1)²

existe et vaut⁺∞, on sait que R = ⁺∞. En notant f la somme de la série entière, on a montré que

f est bien définie surR.

La somme d’une série entière est de classeC^∞sur son intervalle ouvert de convergence. A fortiori,

f est de classeC¹surR. I.2 Soitxun réel positif. On a :

f(x) =

∞

X

n=0

xⁿ

(n!)² = 1 +x+

∞

X

n=2

xⁿ

(n!)² >1 +x

Ainsi ∀x∈R₊ f(x)>1 +x

Par suite, lim

x→+∞f(x) =⁺∞ I.3 Soientxet θdeux réels fixés. On sait que

∀x∈R ∀θ∈R ∀n∈N xⁿe^inθ= xe^iθⁿ

Dans la série définissant gx(θ), on reconnaît le développement en série entière de la fonction exponentielle, évalué en la valeur particulière xeⁱ^θ. On sait que la série entière définissant l’exponentielle a un rayon de convergence infini. Par suite,

gx(θ)est bien définie pour tous réels xetθ et

∀x∈R ∀θ∈R gx(θ) =e^xeⁱ^θ

On dispose là d’une expression particulièrement simple de la fonctiongx

et l’on serait tenté de dire que gx est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables.

Cette conclusion est prématurée à ce stade car il y a un piège : on ne sait dériver que des fonctions d’une variable réelle. Siθn’est pas un multiple entier de π cela n’a donc aucun sens de dire que l’exponentielle est dérivable au pointxe^iθpour conclure quegxest dérivable enθ. En effet,xe^iθa une partie imaginaire non nulle et on ne sait donc pas, dans le cadre du programme de classe préparatoires, ce que signifie dériverexpen ce point.

On peut tout de même se ramener au théorème de composition des fonctions C¹. C’est la solution proposée dans le corps du corrigé. Une autre preuve, utilisant le théorème de dérivation sous le signe somme, est proposée ensuite en remarque.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/24 Fixons un réelx. On a :

∀θ∈R gx(θ) = e^xeⁱ^θ =e^x(cosθ+ⁱ^sin^θ)=e^x^cos^θ×e^ixsin^θ

=e^x^cos^θ cos(xsinθ) +isin(xsinθ)

On peut maintenant appliquer les théorèmes généraux de dérivabilité. La fonction θ 7−→ xsinθ est de classe C¹ sur R, à valeurs réelles donc θ 7−→ cos(xsinθ) et θ7−→ sin(xsinθ)sont de classe C¹ surR. De même,θ 7−→e^x^cos^θ est de classe C¹ surR. Par suite,

gxest de classeC¹surR.

Finalement, les fonctions sinus et cosinus sont2π-périodiques donc gxest2π-périodique.

Voici comme promis une autre démonstration du fait que gx est de classeC¹. À nouveau,xest un réel fixé ; on pose :

∀n∈N ∀θ∈R hn(θ) = xⁿ n! e^inθ

Les fonctions (hn)n∈N sont toutes de classe C¹ sur Ret l’on a déjà établi plus haut que la série P

n>0

hn converge simplement versgx.

Pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il suffit de vérifier que la série de fonctions P

n>0

hn′

converge uniformément surR. On a :

∀n∈N^∗ ∀θ∈R hn

′(θ) = ixⁿ

(n−1)!e^inθ et h0′

(θ) = 0

donc ∀n∈N^∗ ∀θ∈R

hn′

(θ)

= |x|ⁿ (n−1)!

La série P

n>0

hn

′converge donc normalement surR. Le théorème de dérivation sous le signe somme permet alors de conclure que gxest de classeC¹.

I.4 Notons(cp)p∈Z la suite des coefficients de Fourier complexes degx:

∀p∈Z cp= 1 2π

Z 2π

0

gx(θ)e⁻ⁱ^pθdθ= 1 2π

Z 2π

0

+∞

X

n=0

xⁿ

n! eⁱ^(n−p)θdθ (1) Fixons un entier relatifp. La série de fonctions P

n>0

xⁿ

n! eⁱ^(n−p)θconverge normalement enθsur[0 ; 2π]puisque

∀n∈N ∀θ∈[0 ; 2π]

xⁿ

n! eⁱ^(n−p)θ = xⁿ

n!

et le membre de droite est le terme général d’une série positive convergente. On peut donc, dans l’expression(1), intervertir la somme et l’intégrale :

cp=

+∞

X

n=0

xⁿ n!

1 2π

Z 2π

0

eⁱ^(n−p)θdθ