Mines Maths 2 PC 2017 — Corrigé

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^&

K Publié dans les Annales des Concours 1/12

Mines Maths 2 PC 2017 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l’université).

Ce problème développe dans différents cadres un cas particulier de la méthode de Laplace, qui permet l’étude asymptotique de fonctions définies par des intégrales.

Elle permet dans cette épreuve d’obtenir des équivalents d’une somme partielle, de l’espérance d’une variable aléatoire, ou encore de redémontrer la formule de Stirling.

Le sujet est découpé en cinq parties qui balayent une grande part du programme de PC puisqu’il est question de séries numériques, d’intégrales, de suites de fonctions et de variables aléatoires discrètes.

La première partie s’intéresse au reste R

n

(x) et à la somme partielle T

n

(x) de la série exponentielle P

k>0

n

^k

x

^k

k ! . On étudie le comportement asymptotique de T

n

(x) quand n tend vers

⁺

∞ pour x > 0 différent de 1. Les questions présentes dans cette partie sont assez classiques ; la question 7 est plutôt technique.

Pour obtenir un équivalent de T

n

(1) à la partie 4, on a besoin du résultat sui- vant, démontré à la partie 2 : si f est une fonction C

²

définie sur [ − 1 ; 1 ], à valeurs dans [ 0 ; 1 ], et qui atteint son maximum 1 uniquement au point 0 avec la condition f

^′′

(0) = − 1, alors on a l’équivalent

Z

1

−1

(f (x))

ⁿ

dx ∼

n→+∞

r 2π

n

C’est un cas particulier de la méthode de Laplace qui étudie le comportement asymp- totique des fonctions de la forme t 7→

Z

b

a

e

⁻^tϕ(x)

f (x) dx, où la fonction ϕ atteint généralement son minimum en un unique point qui ne doit pas être un zéro de f . La technique se généralise pour les fonctions de la forme t 7→

Z

b

a

e

⁻^itϕ(x)

f (x) dx, portant cette fois de nom de méthode de la phase stationnaire. Ces outils s’étendent à des intégrales multiples et à des intégrales de la variable complexe ; elles ont des applications en physique, notamment en mécanique statistique.

On applique ensuite la formule de la partie 2 à une fonction particulière dans les parties 3 et 4 pour démontrer la formule de Stirling puis la formule de Bernstein, T

n

(1) ∼

n→+∞

e

ⁿ

/2. Celle-ci permettra dans la partie 5 d’évaluer le comportement asymptotique de l’espérance de la première répétition dans le cas de tirages avec remise d’une boule dans une urne qui en contient n distinctes.

Ce sujet plutôt varié est intéressant car il permet de découvrir et d’appliquer une méthode classique d’analyse numérique dans un cas particulier, tout en restant dans le cadre du programme. De plus, les résultats clés étaient donnés pour permettre aux candidats de ne pas rester bloqués. La partie 2 est la plus difficile et peut être admise dans un premier temps, afin d’observer comment elle s’applique dans la suite du sujet.

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K Publié dans les Annales des Concours 2/12

Indications

Partie I

1 Reconnaître la somme partielle et le reste d’une série usuelle.

3 Penser à la règle de D’Alembert pour conclure.

5 Utiliser un raisonnement par récurrence.

6 Reprendre les résultats des questions 1, 2 et 5.

7 Suivre l’indication de l’énoncé pour majorer T

n

(x).

Partie II 8 Montrer que f admet un maximum en 0.

9 Distinguer les cas où ϕ est prolongeable ou non par continuité sur [ − 1 ; 1 ].

10 Utiliser le développement limité de f en 0 obtenu à la question 8.

11 Penser au théorème de convergence dominée.

Partie III

12 Effectuer un ou plusieurs changements de variable dans l’intégrale I

n

+ J

n

pour se ramener à la question 5.

13 On peut composer l’inégalité par la fonction ln pour la démontrer plus facilement.

15 Montrer à l’aide des questions 13 et 14 que I

n

+ J

n

∼

n→+∞

I

n

. Partie IV

17 Appliquer le résultat de la question 11 à une fonction bien choisie.

Partie V 19 Trouver une issue qui réalise (X = k).

20 Comparer les événements (X > k + 1) et (X > k).

21 Démontrer cette formule par récurrence à l’aide de la question 20.

22 Relier les événements (X = k), (X > k + 1) et (X > k).

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K Publié dans les Annales des Concours 3/12

I. Exponentielle tronquée

1 R

n

(x) est le reste d’indice n de la série P

k>0

(nx)

^k

k ! . On reconnaît la série exponen- tielle de paramètre nx, qui converge pour tout (x, n) ∈ ] 0 ;

⁺

∞ [ × N et dont la somme vaut e

^nx

. De plus, T

n

(x) est la somme partielle d’indice n de cette même série. Ainsi

R

n

(x) existe et T

n

(x) + R

n

(x) = e

^nx

.

2 Soient x > 0 et n ∈ N . En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction f : t 7−→ e

^nt

qui est de classe C

^∞

sur [ 0 ; x ], et dont les dérivées successives sont données par f

^(k)

(t) = n

^k

e

^nt

, pour tout (t, k) ∈ [ 0 ; x ] × N , on obtient

e

^nx

=

n

P

k=0

n

^k

k ! x

^k

+

Z

x

0

n

ⁿ⁺¹

e

^nt

(x − t)

ⁿ

n ! dt Or, d’après la question 1, R

n

(x) = e

^nx

−

n

P

k=0

n

^k

k ! x

^k

, d’où R

n

(x) = n

ⁿ⁺¹

n ! Z

x

0

e

^nt

(x − t)

ⁿ

dt = e

^nx

n

ⁿ⁺¹

n !

Z

x

0

e

^n(t⁻^x)

(x − t)

ⁿ

dt

Pour retrouver la formule donnée dans l’énoncé, il suffit de poser le changement de variable u = x − t dans l’intégrale obtenue. La fonction t 7→ x − t est de classe C

¹

sur [ 0 ; x ] et

Z

x

0

e

^n(t⁻^x)

(x − t)

ⁿ

dt = Z

x

0

e

⁻^nu

u

ⁿ

du. Ainsi

R

n

(x) = e

^nx

n

ⁿ⁺¹

n !

Z

x

0

(ue

⁻^u

)

ⁿ

du

Rappelons la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction f de classe C

ⁿ⁺¹

sur un segment [ a ; b ] :

f (b) =

n

P

k=0

f

^(k)

(a)

k ! (b − a)

^k

+ Z

b

a

f

⁽ⁿ⁺¹⁾

(t) (b − t)

ⁿ

n ! dt 3 Par définition, a

n

> 0 pour tout n ∈ N et

a

n+1

a

n

= (n + 1)

ⁿ⁺²

(n + 1) ! y

ⁿ⁺¹

× n !

n

ⁿ⁺¹

y

ⁿ

= (n + 1)

ⁿ⁺²

(n + 1)n

ⁿ⁺¹

y =

n + 1 n

n+1

y Or

n + 1 n

n+1

= n + 1 n

n + 1 n

n

∼

n→+∞

n + 1 n

n

et n + 1

n

=

1 + 1 n

n

= e

ⁿ^ln

(

¹⁺ⁿ¹

) = e

ⁿ

1/n+ o

n→+∞(1/n)

= e

¹⁺^n→+∞^o ⁽¹⁾

D’où lim

n→+∞

a

n+1

a

n

= e y Ainsi, si y < e

⁻¹

, alors lim

n→+∞

a

n+1

a

n

< 1 et, d’après la règle de D’Alembert, la série numérique P

a

n

converge donc

Si y < e

⁻¹

alors lim

n→+∞

a

n

= 0.

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K Publié dans les Annales des Concours 4/12 4 La fonction g : u 7−→ ue

⁻^u

est de classe C

¹

sur R de dérivée g

^′

: u 7−→ (1 − u)e

⁻^u

. Ainsi, pour tout u ∈ [ 0 ; 1 [, g

^′

(u) > 0 donc la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [ 0 ; 1 ]. Par conséquent, si x ∈ ] 0 ; 1 [, alors g est croissante sur [ 0 ; x ].

Elle admet donc un maximum M atteint en u = x. Ainsi, M = g(x) = xe

⁻^x

< g(1) = e

⁻¹

On a donc montré que

Si x ∈ ] 0 ; 1 [, alors la fonction u 7→ ue

⁻^u

admet un maximum M sur [ 0 ; x ] tel que M < e

⁻¹

.

Soit x ∈ ] 0 ; 1 [. Les inégalités 0 6 ue

⁻^u

< M pour tout u ∈ [ 0 ; x ] impliquent, par croissance de l’intégrale :

0 6 Z

x

0

(ue

⁻^u

)

ⁿ

du 6 Z

x

0

M

ⁿ

du = M

ⁿ

x 6 M

ⁿ

d’où, d’après la question 2,

0 6 R

n

(x) 6 e

^nx

n

ⁿ⁺¹

n ! M

ⁿ

La question 3 permet d’affirmer que, comme M < e

⁻¹

, lim

n→+∞

n

ⁿ⁺¹

n ! M

ⁿ

= 0 d’où R

n

(x) = o

n→+∞

(e

^nx

) si x ∈ ] 0 ; 1 [ Mais d’après la question 1, T

n

(x) = e

^nx

− R

n

(x) = e

^nx

+ o

n→+∞

(e

^nx

), par conséquent T

n

(x) ∼

n→+∞

e

^nx

si x ∈ ] 0 ; 1 [

5 Soit n ∈ N . Commençons par justifier la convergence de l’intégrale Z

⁺^∞

0

t

ⁿ

e

⁻^t

dt :

• la fonction t 7→ t

ⁿ

e

⁻^t

est continue sur [ 0 ;

⁺

∞ [ donc intégrable sur [ 0 ; 1 ] ;

• de plus, t

ⁿ

e

⁻^t

= o

t→+∞

1/t

²

et

Z

⁺^∞

1

dt/t

²

converge donc, par comparaison, Z

⁺^∞

1

t

ⁿ

e

⁻^t

dt converge.

Montrons ensuite la relation P (n) : n ! = Z

⁺^∞

0

t

ⁿ

e

⁻^t

dt par récurrence sur n ∈ N :

• P (0) est vraie car Z

⁺^∞

0

e

⁻^t

dt = lim

x→+∞

Z

x

0

e

⁻^t

dt = lim

x→+∞

(1 − e

⁻^x

) = 1.

• P (n) = ⇒ P (n + 1) : en posant u(t) = t

ⁿ⁺¹

et v(t) = − e

⁻^t

, on définit deux fonctions de classe C

¹

sur R qui vérifient u

^′

(t) = (n + 1)t

ⁿ

et v

^′

(t) = e

⁻^t

. De plus, par croissances comparées lim

t→+∞

u(t)v(t) = u(0)v(0) = 0. On obtient ainsi, par une intégration par parties :

Z

⁺^∞

0

t

ⁿ⁺¹

e

⁻^t

dt = Z

⁺^∞

0

u(t)v

^′

(t) dt = (n + 1) Z

⁺^∞

0

t

ⁿ

e

⁻^t

dt Ainsi, si P (n) est vraie, alors

Z

⁺^∞

0

t

ⁿ⁺¹

e

⁻^t

dt = (n + 1)n ! = (n + 1) ! et P (n + 1) est vraie.

• Conclusion : ∀ n ∈ N n ! = Z

⁺^∞

0

t

ⁿ

e

⁻^t