Mines Maths 1 PC 2005 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/14

Mines Maths 1 PC 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Arnaud Durand (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

Le sujet propose d’étudier le cas unidimensionnel du problème de transport de Monge : on souhaite déplacer chaque grain d’un tas de sable dont la densité linéique este⁻û²^/² de façon à obtenir un tas de densité linéiquef(u) e⁻û²^/². Autrement dit, on désire que la masse du tas entre les abscisses u et u+ du passe de e⁻û²^/²du àf(u) e⁻û²^/2du. Lors du transport, les grains situés initialement à l’abscisseusont déplacés vers une abscisse notées(u). Le coût du transport correspondant à l’appli- cationsest défini par

Z ⁺^∞

−∞

|u−s(u)|² e⁻^u²^/²du (∗) Le but du problème est de trouver une fonction s qui minimise ce coût de transport et de majorer ce coût minimal par une quantité ne nécessitant pas le calcul de l’applicationsminimisante.

• La première partie, très courte, propose d’établir quelques résultats prélimi- naires qui seront utilisés dans la suite.

• Dans la deuxième partie, on suppose en particulier que la fonctionfintervenant dans la densité linéique d’arrivée est strictement positive. On prouve l’existence d’une fonctionϕ, dont on peut montrer (mais ce n’est pas proposé dans le sujet) qu’elle minimise le coût de transport défini par l’expression(∗).

• Le but de la troisième partie est de majorer le coût minimal réalisé par la fonctionϕà l’aide d’une quantité ne dépendant pas deϕ, à savoir l’entropie de Boltzmann def, définie ici par

E(f) = Z ⁺^∞

−∞

f(u) ln(f(u)) e⁻^u²^/²du

Les questions sont, pour la plupart, plus techniques que vraiment difficiles. Elles demandent au candidat de faire preuve de rigueur et de précision dans la rédac- tion, car il y a souvent beaucoup d’arguments à citer pour y répondre. La partie du programme principalement abordée est la théorie de l’intégration sur un intervalle quelconque deR. Ce sujet est par conséquent une excellente façon de faire le point sur cette notion.

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Indications

I. Préliminaires 1 Étudier les fonctionst7→t−ln(1 +t)ett7→tlnt.

II. Construction d’une application particulière

3 Montrer queFf est de classeC¹ et que sa dérivée est strictement positive.

4 Trouver une relation fonctionnelle entre Ff,F₁ etϕ.

6 Dériver la relationFf◦ϕ= F₁ et prendre le logarithme.

7 Effectuer le changement de variableu=ϕ(v).

8 Observer queϕ² est croissante au voisinage de⁺∞.

9 Pourx >0assez grand, majorer par1l’intégrale intervenant dans la question 8.

Pourx <0, adapter le résultat de la question 8, puis procéder de même.

10 Dériveru7→(u−ϕ(u)) e⁻^u²^/2.

III. Une inégalité intéressante

12 Concernant l’existence deE(f), majorer, pour u∈ R,f(u)|ln(f(u))|e⁻^u²^/² en distinguant le cas oùf(u)>1du cas contraire. Pour l’existence deΦ(f), utiliser le résultat de la question 9.

13 Utiliser le résultat de la question 7, avech : u7→ln(f(u)).

14 Faire appel aux résultats des questions 13, 11 et 6 afin de transformer l’expression de l’intégrale égale àE(f)−Φ(f).

15 Utiliser le résultat de la question 1.

16 Montrer queE(f) = Φ(f)équivaut àϕ^′(u) = 1, pour tout réelu.

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I. Préliminaires

1 Pour établir la première inégalité, introduisons la fonction α:

(]−1 ;⁺∞[−→R

t 7−→t−ln(1 +t)

Cette fonction est dérivable sur]−1 ;⁺∞[(en tant que somme de fonctions usuelles dérivables sur cet intervalle) et

∀t∈]−1 ;⁺∞[ α^′(t) = 1− 1 1 +t

Pour tout t ∈ ]−1 ; 0 ], on a α^′(t) 6 0 et, pour tout t ∈ [ 0 ;⁺∞[, on a α^′(t) > 0.

Par conséquent, la fonction αest décroissante sur l’intervalle ]−1 ; 0 ] et croissante sur l’intervalle[ 0 ;⁺∞[. Résumons ceci dans un tableau de variations.

−1 0 ⁺∞

α^′ − +

+∞ ⁺∞

α ց ր

0

On constate que la fonctionαadmet pour minimum global le réelα(0) = 0. On en déduit que pour touttde l’intervalle]−1 ;⁺∞[,α(t)>0, d’où

∀t∈]−1 ;∞[ ln(1 +t)6t (1)

Pour établir cette inégalité, on peut également utiliser le fait que la fonction t 7→ ln(1 +t) est concave. Son graphe est situé en dessous de toutes ses tangentes, donc en particulier en dessous de sa tangente au point d’abscisse 0, ce qui fournit le résultat.

Pour mettre en évidence la seconde inégalité, posons β:

(] 0 ;⁺∞[−→R t 7−→tlnt

Cette fonction est définie et dérivable sur] 0 ;⁺∞[(en tant que produit de fonctions usuelles dérivables sur cet intervalle) et

∀t∈] 0 ;⁺∞[ β^′(t) = lnt+ 1

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/14 Pour toutt∈

0 ; e⁻¹

, on aβ^′(t)60 et, pour toutt∈

e⁻¹;⁺∞

, on aβ^′(t)>0.

Ainsi, la fonctionβ est décroissante sur l’intervalle

0 ; e⁻¹

et croissante sur l’intervalle

e⁻¹;⁺∞

. Consignons ceci dans un tableau de variations.

0 e⁻¹ ⁺∞

β^′ − +

0 ⁺∞

β ց ր

−e⁻¹

L’étude des variations deβ montre que cette fonction admet pour minimum global le réelβ(e⁻¹) =−e⁻¹. Il en résulte que

∀t∈] 0 ;⁺∞[ tlnt>−1

e (2)

2 Une bijection ψde classe C1 de l’intervalle ouvertI sur l’intervalle ouvertJest unC1-difféomorphisme deIsurJsi et seulement si, pour tout élémenttdeI,

ψ^′(t)6= 0 Dans ce cas, la dérivée deψ⁻¹ est donnée par

ψ⁻¹^′

= 1

ψ^′◦ψ⁻¹

On dispose en fait de ce résultat plus général : une fonction ψde classeC^k, avec k>1, sur un intervalle ouvert I deRest un C^k-difféomorphisme de I sur son image J =ψ(I) si et seulement si, pour tout élémentt de I, le réel ψ^′(t)est non nul. Si tel est le cas, on a soitψ^′(t)>0, pour tout t∈I, et le difféomorphisme ψest strictement croissant, soit ψ^′(t)<0, pour toutt∈I, et le difféomorphismeψ est strictement décroissant.