Mines Maths 1 PC 2001 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/23

Mines Maths 1 PC 2001 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par François Michel (École Polytechnique) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce long sujet d’algèbre est composé de quatre parties et quelques questions préli- minaires classiques. On y aborde des notions fondamentales du programme d’algèbre de classes préparatoires, sans faire intervenir les méthodes de réduction d’endomorphismes.

On travaille sur les espaces vectorielsR[X] etRn[X] sauf dans les questions pré- liminaires. Le but du problème est de rechercher des réels λpour lesquels on peut trouver un endomorphismegde l’un de ces deux espaces tel queg◦g=λId+ D (∗), oùD désigne l’opérateur de dérivation.

Les questions préliminaires permettent d’introduire une propriété classique des endomorphismes nilpotents grâce à la « suite de noyaux itérés ».

• Dans la première partie, on détermine les sous-espaces stables par g et l’on élimine le cas λ <0 avant de construire une base adaptée au traitement ma- triciel du problème. On parvient, grâce à ces résultats, à résoudre le problème suivant : trouver les matrices réellesGcarrées d’ordre 3 vérifiantG²= A1 où

A1=





1 1 0 0 1 1 0 0 1





• L’objet de la deuxième partie est d’étudier le cas où λest nul en partant des propriétés des endomorphismesget D.

• Dans la troisième partie, indépendante des deux précédentes, on construit di- rectement un endomorphisme solution de(∗)à partir d’une somme de matrices.

On retrouve finalement les matricesGobtenues au cours de la première partie.

• Enfin, la quatrième partie, également indépendante des précédentes, débute par l’étude d’un développement en série entière. Les coefficients de celui-ci interviennent ensuite dans la définition d’une solution de(∗). On termine une nouvelle fois en retrouvant les matricesGsolutions de l’équationG²= A1.

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Indications

Préliminaires

b Démontrer par une unique récurrence les propriétés

∀q∈N, q>p

(Kerf^q = Kerf^q+1 Kerf^q = Kerf^p

Montrer que la suite (dim Kerf^k)k∈N est réelle, croissante et majorée ; en déduire qu’elle converge. Utiliser ensuite le fait que cette suite prend ses valeurs dansN.

Première partie

I-1.a Pour montrer queget Dn commutent, comparer ce que l’on obtient en com- posantg²=λidEn+Dn parg, soit à gauche, soit à droite.

I-1.c Pour montrer que DF est nilpotent, chercher q ∈ N tel que F ⊂ Eq et en déduire queDFq+1= 0. L’unique sous-espace vectorielGdeEde dimension infinie et stable parDest Elui-même (raisonner par l’absurde).

I-2.a Commedim E0= 1,g∈L(E0)est de la formeg=γ idE0. . . I-3.a Choisiry tel que fⁿ(y)6= 0. Montrer par récurrence queBest libre.

I-3.b Appliquer le résultat de la question précédente àf = Dn.

I-4.a Se donner les coefficients de MatB2(h) = (hi,j)_16i,j63; exprimer la relation h◦D2= D2◦hsous forme matricielle.

I-4.b Montrer queg∈L(E2)vérifie la relation g²=λidE2+D2

si, et seulement si, il existe trois réelsa, betc solutions du système





 a²=λ 2ab= 1 2ac+b²= 0 et tels queg puisse s’écrire

g=aidE2 +bD2 + c(D2)²

Deuxième partie

II-1.a Pour obtenir l’inégalitédim Kerg²>2, montrer en raisonnant par l’absurde queKerg6={0} puis queKerg6= Kerg².

II-1.b Raisonner par l’absurde et chercher une contradiction surdim Ker Dn. II-2.a Montrer dans cet ordre queD,D^m,g^k et gsont surjectifs.

II-2.d Montrer qu’il existeg∈L(E)vérifiantg^k = D^msi et seulement sikdivisem.

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Troisième partie III-1.a Montrer que(In+1+tDn)⁻¹=

n

P

k=0

(−1)^kt^kDnk.

III-1.b Dériver la relation(In+1+tDn) (In+1+tDn)⁻¹= In+1par rapport àt∈R.

III-1.c Remarquer queLn(t) = Dn

_n−1 P

k=0

(−1)^k t^k+1 k+ 1Dnk

.

III-2.a Utiliser la formule du binôme de Newton pour développer(u+v)^k dans l’ex- pression deϕu+v(t).

III-2.c Déduire de la question précédente que

∀t∈R Dnϕ1(t) = (In+1+tDn)ϕ^′1(t) et dériver cette relation par rapport àt.

III-3.a Utiliser successivement les résultats des questions III-2.c et III-2.a pour obtenir les matrices⁺−

√λ ϕ¹₂ 1

λ

∈M_n(R).

Quatrième partie

IV-1.b Appliquer la méthode de l’équation différentielle, sans oublier d’utiliser l’uni- cité de la solution de l’équation différentielle établie à la question IV-1.a avec une condition initiale donnée.

Montrer par récurrence que lesbp sont données par

b0= 1 et ∀p∈N^∗ bp = (−1)^p

p

k=1

Π

(2p−2k−1) 2^pp!

IV-1.c Développer la sérieh(x)² par un produit de Cauchy et reconnaître les coeffi- cientscn.

IV-2.a Utiliser le fait que :

∀P∈E,∀q∈N, q>d^◦(P) =⇒ T(P) =

q

P

p=0

bp

λ^pD^p(P)

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Préliminaires

Noyaux itérés a Commef ∈L(V), pour tout entier naturelk,

• Kerf^k est bien un sous-espace vectoriel deV et

• pour toutx∈Kerf^k,f^k+1(x) =f(f^k(x)) =f(0) = 0

d’où ∀k∈N Kerf^k ⊂Kerf^k+1

b Supposons qu’il existep∈N tel que Kerf^p = Kerf^p+1. On procède alors par récurrence : pour tout entierq>p, on noteP(q)la propriété

Kerf^q+1= Kerf^q = Kerf^p

• P(p)est vraie par hypothèse.

• P(q) =⇒P(q+ 1): commeKerf^q+1= Kerf^pd’aprèsP(q), il reste à montrer queKerf^q+1= Kerf^q+2. On procède par double inclusion.

– D’après la question précédente,Kerf^q+1⊂Kerf^q+2. – Montrons l’inclusion réciproque. Soitx∈Kerf^q+2.

Par définition, f^q+2(x) = 0

soit f^q+1◦f(x) = 0

ou encore f(x)∈Kerf^q+1= Kerf^q (d’aprèsP(q))

Par suite, f^q◦f(x) = 0

ie x∈Kerf^q+1

d’où Kerf^q+2⊂Kerf^q+1

Finalement, on obtient l’égalité Ker f^q+2 = Kerf^q+1 = Kerf^p, c’est-à-dire queP(q+ 1)est vraie.

• Conclusion :P(q)est vraie pour toutq>p.

∃p∈N Kerf^p= Kerf^p+1

=⇒ (∀q∈N, q>p Kerf^q= Kerf^p) Supposons queV soit de dimension finie n∈N. D’après la question précédente, la suite(dim Kerf^k)k∈Nest bien définie, réelle et croissante. De plus, pour toutk∈N, l’inclusionKerf^k ⊂V entraîne l’inégalitédim Kerf^k 6n: cette suite est majorée.

Elle converge donc. En outre, étant à valeurs dansN, elle est même constante à partir d’un certain rangp∈N.

Montrons que ce rangpvérifiep6n. C’est bien le cas sip= 0. Supposons donc pnon nul. D’après ce qui précède, p est le premier rang pour lequel on a l’égalité Kerf^p= Kerf^p+1, ce qui implique

∀k∈N, k6p−1 Kerf^k Kerf^k+1 d’où ∀k∈N, k6p−1 dim Kerf^k+1>dim Kerf^k+ 1