Limite asymptotique de schémas d'éléments finis linéaires discontinus lumpés en régime de diffusion

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Limite asymptotique de schémas d’éléments finis

linéaires discontinus lumpés en régime de diffusion

Gerald Samba

To cite this version:

Gerald Samba. Limite asymptotique de schémas d’éléments finis linéaires discontinus lumpés en régime

de diffusion. 2001. �hal-00341627�

linéaires dis ontinus lumpés en régime de diusion

G.Samba

CEA, DIF, F-91297Arpajon, Fran e

1 Introdu tion 2

2 Etude en géométrie 1D 5

2.1 S héma auxélémentsnis linéairesdis ontinus lumpés . . . . 5

2.2 Limite diusion . . . 8

2.2.1 Isotropie . . . 8

2.2.2 Equationduux . . . 8

2.2.3 Continuité . . . 9

2.2.4 Expressionduux . . . 9

2.2.5 Conditionsauxlimites . . . 10

2.3 Résumé . . . 13

3 Etude en géométrie 2D plane 14 3.1 S héma auxélémentsnis linéairesdis ontinus lumpés . . . . 14

3.2 Limite diusion . . . 18

3.2.1 Isotropie . . . 18

3.2.2 Equationduux . . . 18

3.2.3 Continuité . . . 20

3.2.4 Expressionduux . . . 22

3.2.5 Conditionsauxlimites . . . 25

3.3 Résumé . . . 29

3.4 Variantedeséléments nislinéaires dis ontinus lumpés . . . . 29

3.5 Limite diusion . . . 30

3.5.1 Isotropie . . . 30

3.5.2 Equationduux . . . 30

3.5.3 Continuité . . . 30

3.5.4 Expressionduux . . . 31

3.5.5 Conditionsauxlimites . . . 33

3.6 Résumé . . . 33

3.7 MéthodeSCB . . . 34

3.8 Limite diusion . . . 34

3.8.1 Isotropie . . . 34

3.8.4 Expressionduux . . . 35

3.9 Résumé . . . 36

4 Etude en géométrie 2D ylindrique 37 4.1 S héma auxélémentsnis linéairesdis ontinus lumpés . . . . 37

4.2 Limite diusion . . . 41

4.2.1 Isotropie . . . 41

4.2.2 Equationduux . . . 41

4.2.3 Continuité . . . 43

4.2.4 Expressionduux . . . 43

4.2.5 Conditionsauxlimites . . . 45

Introdu tion

Ilestsouhaitabledetrouveruneméthodepermettantderésoudre l'équa-tion de transport des photons aussi bien dans les zones transparentes que dans elles où les pro essus de diusion ou d'émission-absorption sont do-minants. Or, es dernières zones né essitent généralement des maillages de tailleprohibitive.Ave lesméthodesdeMonte-Carlostandard sans biaisage parti ulier,ellesné essitentdestaillesdemaillesdel'ordredulibre-par ours et des pas de temps de l'ordre du temps de ollision. On est don onduit à oupler letransportMonte-Carlo dansleszonestransparentesà la résolu-tionde l'équationdediusion danslesmilieux opaques[11 ℄.Cette méthode pose de nombreuses questions qui ne sont pas omplètement résolues. Par exemple : omment pla er lafrontière entremilieux transparents etmilieux opaques sa hant que la ara térisation de es milieux peut dépendre de la fréquen edesphotons?Certainss hémasdéterministes permettent delever esdi ultés. L'objetde e rapport estd'étudier leurs propriétés en milieu diusif.

On sait qu'un s héma qui appro he orre tement la solution de l'équa-tiondu transportappro heégalement ellede l'équation dediusion (làoù ette approximation est valable) quand la taille des mailles est de l'ordre dulibre-par ours moyen [7℄.Enrevan he, ette propriétén'est pastoujours vraiesurun maillagebeau oupplus grossier résolvant leslongueurs de gra-dient ara téristiquesduproblème:parexemple,endiusionRosseland, un maillage omportantune entainedelibre-par oursparmaillepeutrésoudre orre tementlavariationdelatempératureetêtreadaptéàuns hémapour l'équation de diusion Rosseland. Par ontre, un s hémaqui résout l'équa-tion du transport sur e maillage peut donner une solution omplètement fausse.Ondiraalors que e s héman'apaslalimitediusion.

On her he à savoir parmi es s hémas quelssont euxqui ont lalimite diusion.L'intérêt de ette démar he estdouble :

 Onpeuttrouverles hémaqui permet d'é onomiserla pla emémoire etle temps al ul puisqu'il se satisfait de maillages grossiers dans les

 Onpeuttrouverles hémadediusionasso iéaus hémadetransport qui permet une a élération e a e de e dernier (diusion synthé-tique).

Ladémar hepourarriverà etten onsisteàutiliserlamêmeméthodedans les hémadis retque ellequi,dansl'équationdetransport ontinue,permet de trouver omme limite l'équation de diusion. On rappelle la méthode pour l'équation de transport ontinue. Onintroduit un paramètre petit

ǫ

: le libre par ours divisé par une longueur ara téristique, on développe la solution de l'équation u par rapport aux puissan es de e paramètre :

u

=

u

0

+ ǫu

1

+ ǫ

2

u

2

+ ...

et on démontre que

u

0

est solution d'une équation de diusion [9℄. Pour le s héma dis ret, on introduit le même paramètre dans l'équation de transport dis rétisée, ainsi que le même développement pour la solution dis rète. On trouve le s héma numérique dont

u

0

est solution puis on détermine si e s héma orrespond à une dis rétisation onsistante del'équation de diusion[8℄.

La première partie de e rapport on erne uns héma auxéléments nis linéairesdis ontinusen1Dplaninni.OnyredémontreunrésultatdeLarsen etdeMorel [6, 10 ℄.La démonstration est onduite en 5étapes.

 Tout d'abord,on démontre que

u

0

estisotrope.

 Ontrouve ensuitel'équation vériée par lemoment angulaire d'ordre 1de

u

1

.C'est l'équivalent dis ret del'équation duux:

∇ · ~

~

F

= 0

.  Ondémontre ensuiteque

u

0

est ontinue.

 Puis on relie le ux à

u

0

par l'équivalent dis ret de la loi de Fi k

~

F

_{= −}

1

3σ

∇u

~

0

.Ondémontre qu'on trouve uns hémad'éléments nis linéaires ontinus.

 Ons'atta he ensuite à déterminer les onditions aux limites de ette équationdediusion.Lorsquel'intensitéentrante

g(µ)

estanisotrope, noussavonsqu'il sedéveloppe surquelqueslibre-par ours une ou he limitedanslaquellel'intensitédevientisotrope.Ceproblèmede ou he limite se pose également à l'interfa e d'unmilieu transparent et d'un milieu diusif lorsque l'intensité provenant du milieu transparent sur l'interfa e est anisotrope [13 ℄. Lorsqu'on fait l'hypothèse de la diu-sion,labonne onditionauxlimitesn'estpasla onditiondeDiri hlet en prenant ommevaleur de l'intensité au bord :

R

2µg(µ)dµ

mais la onditionditedeChandrasekhar[4℄dontlaversionappro hée onsiste à prendre omme ondition de Diri hlet :

R

(µ +

3

₂

µ

2

)g(µ)dµ

. On dé-montre que la solution dis rète

u

0

possède la propriété remarquable d'êtreégale à

R

(µ +

3

2

µ

2

_)g(µ)dµ

aubord, e quisigniequ'iln'est pas né essaire de mailler au libre-par ours la ou he limite pour avoir la bonne solutionà l'intérieur dudomaine.

Dansladeuxièmepartie,onétudieengéométrie 2Dplane,3s hémas qui sont desextensionsdu s hémapré édemment étudié en 1D.

Etude en géométrie 1D

2.1 S héma aux éléments nis linéaires dis ontinus lumpés

Onpart del'équation detransporten planinni 1D.

Onredémontre idessousunrésultat de Larsen etdeMorel [5 , 10℄:

µ

∂u

∂x

+ σu = σ˜

u,

(2.1) ave

x

dans

[0, 1]

,

˜

u

=

1

2

Z

+1

−1

u(µ)dµ,

etpour onditionsaux limites:

u

_{(0, µ ≥ 0) = g(µ), u(1, µ ≤ 0) = h(µ).}

Parrapportau hapitrepré édent,onasupposéque

σ

a

= 0

maisprendre en ompte une se tion d'absorption non nulle ne posepas dedi ulté par-ti ulière.

Lesdire tionsdis rètessontnotées

µ

m

,lamaille

j

estl'intervalle

[x

j−

1

2

, x

_j+

1

2

]

, onsupposepour plusde simpli itéque lemaillageest uniformedepas

∆x

.

La valeur de

u

sur la demi-maille

[x

j−

1

2

, x

j

]

et pour ladire tion

µ

m

est notée

u

m

j,G

.

La valeur de

u

sur la demi-maille

[x

j

, x

j+

1

2

]

et pour ladire tion

µ

m

est notée

u

m

j,D

.

σ

est supposélinéaire dis ontinue.

σ

j,G

et

σ

j,D

sont les valeursde

σ

dansla maille

j

auxsommets

x

j−

1

2

et

x

_j+

1

2

. Onpose:

u

m

_j

=

u

m

j,G

+ u

m

j,D

2

.

Le lumping ou  ondensation de la matri e de masse onsiste à faire l'approximation:

Z

x

j+ 1

₂

x

j−

1

2

λ

A

λ

B

dx

= δ

A

B

Z

x

j+ 1

₂

x

j−

1

2

λ

A

dx

dans le terme de s attering

σu

− σ˜u

, où

λ

A

est la fon tion ane qui vaut 1 ausommet A et 0 au sommet B(Aet Bpouvant être les points

x

j−

1

2

ou

x

_j+

1

2

).

U j,G

Uj,D

xj-1/2

xj+1/2

xj+3/2

x

Le s hémaauxélémentsnis linéairesdis ontinus lumpéss'é rit en1D:

Trouver

u

m

j,G

,

u

m

j,D

solutions de:















µ

m

(u

m

j

− u

m

_j−

1

2

) +

u

m

j,G

2

σ

j,G

∆x =

˜

u

j,G

2

σ

j,G

∆x,

µ

m

(u

m

_j+

1

2

− u

m

j

) +

u

m

j,D

2

σ

j,D

∆x =

˜

u

j,D

2

σ

j,D

∆x,

(2.2) ave :

˜

u

=

X

m

ω

m

u

m

,

et

u

m

_j−

1

2

= u

m

_j−1,D

si

µ

m

≥ 0,

u

m

_j−

1

2

= u

m

_j,G

si

µ

m

≤ 0,

pour la maille1 =

[x

1

2

, x

3

2

]

, (

x

1

2

= 0

)

u

m

1

2

= g(µ

m

)

si

µ

m

≥ 0,

u

m

1

2

= u

m

1,G

si

µ

m

≤ 0,

demême pour la dernière mailleN =

[x

N−

1

2

, x

N +

1

2

]

,(

x

N +

1

2

= 1

)

u

m

_{N +}

1

2

= h(µ

m

)

si

µ

m

≤ 0,

u

m

_{N +}

1

2

= u

m

_N,D

si

µ

m

≥ 0.

Remarque : pour

µ

m

≥ 0

,

u

m

j−

1

2

est une donnée pour le système (2.2) et

u

m

j+

1

₂

une in onnue etinversement pour

µ

m

≤ 0

.

Les

ω

m

sontlespoidsd'uneformuledequadraturesur

[−1, +1]

normalisés detelle sorte que

X

m

ω

m

= 1

.

Dans la limite diusion, la profondeur optique (nombre de libres par- ours) tendversl'inni dans haque maille,on introduitdon lepetit para-mètre

ǫ

=

1

˜

σ∆x

.Onnote:

σ

˜

,une valeur ara téristique de

σ

,

σ

j,G

=

σ

j,G

˜

σ

,

σ

j,D

=

σ

j,D

˜

σ

.

Le système(2.2) seréé rit :

ǫµ

m

(u

m

j

− u

m

_j−

1

2

) + σ

j,G

u

m

j,G

2

= σ

j,G

˜

u

j,G

2

,

(2.3)

ǫµ

m

(u

m

_j+

1

2

− u

m

j

) + σ

j,D

u

m

_j,D

2

= σ

j,D

˜

u

j,D

2

.

(2.4) Onintroduitledéveloppement :

u

m

_j,G

= u

m

_j,G,0

+ ǫu

m

_j,G,1

+ ǫ

2

u

m

_j,G,2

+ ...,

u

m

_j,D

= u

m

_j,D,0

+ ǫu

m

_j,D,1

+ ǫ

2

u

m

_j,D,2

+ ....

Onveutmontrerque

u

˜

0

(

u

˜

0

=

P

m

ω

m

u

m

0

) est ontinue soit :

˜

u

j,D,0

= ˜

u

j+1,G,0

= ˜

u

j+

1

2

,0

,

et que

˜

u

j+

1

2

,0

vérie une équation dis rète onsistante ave l'équation de diusionasso iée àl'équation detransport ontinue :

−

_dx

d

1

3σ

d

dx

u

= 0.

i i,

σ

est la quantité dimensionnée de l'équation de transport ontinue (2.1).

2.2.1 Isotropie

Onfait danslasuite l'hypothèse quelesystème dequadrature vérie la relation:

X

m

µ

m

ω

m

= 0,

(2.5)

equiestvériés'ilestsymétriquepar rapportà0.Onmontreque

u

est isotrope àl'ordre 0.

Pour ela,on ommen e paridentier lestermes d'ordre 0 dans(2.3) et (2.4).

Il vient :

u

m

_j,G,0

= ˜

u

j,G,0

,

u

m

_j,D,0

= ˜

u

j,D,0

,

e qui entraîne que

u

ne dépend pas de

m

et estdon isotrope à l'ordre 0.

2.2.2 Equation du ux Onmontrequeleuxdis ret;

P

m

ω

m

µ

m

u

m

1

,vérieune versiondis rète del'équation duux :

d

dx

(F ) = 0

.

Ené rivantl'équation(2.4)surlamaille

j

etl'équation(2.3)surlamaille

j

+ 1

,enlesmultipliantpar

ω

m

,enlessommantsurles

m

etenlesajoutant, onobtient :

ǫ

X

m

(ω

m

µ

m

u

m

j+1

−ω

m

µ

m

u

m

j

)+

X

m

ω

m

(

σ

j,D

u

m

j,D

+ σ

j+1,G

u

m

j+1,G

2

) =

σ

j,D

u

˜

j,D

+ σ

j+1,G

u

˜

j+1,G

2

.

Onpose:

J

_j

1

=

X

m

ω

m

µ

m

u

m

j,1

.

Enidentiant les termesfa teursde

ǫ

2

,ilvient :

J

_j+1

1

_−J

_j

1

+

X

m

ω

m

(

σ

j,D

u

m

j,D,2

+ σ

j+1,G

u

m

j+1,G,2

2

) =

σ

j,D

u

˜

j,D,2

+ σ

j+1,G

u

˜

j+1,G,2

2

,

don

J

_j+1

1

_{− J}

_j

1

= 0.

(2.6)

On établit maintenant la ontinuité de

u

à l'ordre 0. Pour ela, nous prenonsl'équation(2.3),noussommonssurles

m

enmultipliant parlepoids

ω

m

.Enidentiant les termesd'ordre 1,on obtient :

X

m

ω

m

µ

m

(u

m

j,0

− u

m

_j−

1

2

,0

) + σ

j,G

X

m

ω

m

u

m

_j,G,1

2

= σ

j,G

˜

u

j,G,1

2

,

don :

X

m

ω

m

µ

m

(u

m

j,0

− u

m

_j−

1

2

,0

) = 0.

Or

u

m

j,0

nedépend pasde

m

,don grâ eà (2.5),on a:

X

m

ω

m

µ

m

u

m

_j−

1

2

,0

= 0,

ou

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

m

u

m

j−1,D,0

=

X

µ

m

≤0

ω

m

|µ

m

|u

m

j,G,0

,

soit

˜

u

_j−1,D,0

X

µ

m

≥0

µ

m

ω

m

= ˜

u

j,G,0

X

µ

m

≤0

ω

m

|µ

m

|.

Onobtient grâ e à (2.5):

˜

u

j−1,D,0

= ˜

u

j,G,0

,

(2.7) e quiprouve la ontinuité de

u

˜

0

.

2.2.4 Expression du ux Nousallonsmaintenantexprimer

J

1

enfon tionde

˜

u

0

, equipermettra, enremplaçant dans(2.6) de trouverl'équation de diusionvériée par

u

˜

0

.

Onpose

u

˜

j−1,D,0

= ˜

u

j,G,0

= ˜

u

j−

1

2

,0

.Onmultiplie(2.3)et(2.4)par

µ

m

ω

m

, onsomme surles

m

eton identie lestermes d'ordre 1don :

X

m

ω

m

µ

2

m

(u

j,0

− u

_j−

1

2

,0

) + σ

j,G

X

m

ω

m

µ

m

u

m

_j,G,1

2

= 0,

(2.8)

X

m

ω

m

µ

2

m

(u

j+

1

₂

,0

− u

j,0

) + σ

j,D

X

m

ω

m

µ

m

u

m

_j,D,1

2

= 0.

(2.9) En supposant que:

X

m

ω

m

µ

2

m

=

1

3

,

(2.10)

ensommant lesdeux équationsaprès divisionpar

σ

j,G

et

σ

j,D

,onobtient :

1

3σ

j,G

(u

j,0

− u

_j−

1

2

,0

) +

1

3σ

j,D

(u

_j+

1

2

,0

− u

j,0

) + J

1

j

= 0.

Don puisque

u

j,0

=

u

_j−

1

2

,0

+ u

j+

1

2

,0

2

,

on a:

1

6σ

j,G

(u

_j+

1

2

,0

− u

j−

1

2

,0

) +

1

6σ

j,D

(u

_j+

1

2

,0

− u

j−

1

2

,0

) + J

1

j

= 0,

J

_j

1

_{= −}

1

3σ

j

(u

_j+

1

2

,0

− u

j−

1

2

,0

)

(2.11) ave :

2

σ

j

=

1

σ

j,G

+

1

σ

j,D

.

En remplaçant dans(2.6), ontrouve :

−

1

3σ

j+1

(u

_j+

3

2

,0

− u

j+

1

2

,0

) +

1

3σ

j

(u

_j+

1

2

,0

− u

j−

1

2

,0

) = 0,

equiestunedis rétisationauxnoeuds onsistantedel'équationdediusion.

2.2.5 Conditions aux limites

Nous allons maintenant her her quelles sont les onditions aux limites de ette équation, par exemple à gau he, e que l'on doit prendre omme valeurde

u

1

2

,0

.

Oné ritpour lapremière maille (2.3)et (2.4):

ǫµ

m

(u

m

1

− u

m

1

2

) + σ

1,G

u

m

1,G

2

= σ

1,G

˜

u

1,G

2

,

ǫµ

m

(u

m

3

2

− u

m

1

) + σ

1,D

u

m

1,D

2

= σ

1,D

˜

u

1,D

2

.

La première équationà l'ordre0 donne :

u

m

_1,G,0

= ˜

u

1,G,0

,

don

u

m

1,G,0

ne dépendpasde

m

. Demême,

u

m

1,D,0

nedépend pasde

m

,don

u

m

1,0

nedépend pasde

m

. Al'ordre 1,en sommantsurles

m

eten multipliantpar

ω

m

,onobtient:

X

m

ω

m

µ

m

(u

m

1,0

− u

m

1

2

,0

I i,

u

m

1

2

estune donnéepour

µ

m

≥ 0

,notons

u

m

1

2

,0

= g

m

0

pour

µ

m

≥ 0

. Puisque

u

m

1,0

ne dépendpasde

m

, onobtient :

X

m

ω

m

µ

m

u

m

1

2

,0

= 0,

soit en ore:

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

m

g

m

0

=

X

µ

m

≤0

ω

m

|µ

m

|u

m

1,G,0

.

Don :

u

m

_1,G,0

= ˜

u

1,G,0

= 4

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

m

g

m

0

,

(2.12)

à ondition quelesystèmede quadrature vérie :

X

µ

m

≤0

ω

m

|µ

m

| =

1

4

.

(2.13)

A l'ordre 0, la valeur à gau he dans la première maille est don entiè-rement déterminée par la ondition aux limites, mais nous allons voir que

u

1

2

,0

= ˜

u

1

2

,0

n'est paségale à

u

˜

1,G,0

. Pour ela,nousallonsdéterminer

u

1

2

,0

enutilisant (2.11) :

J

₁

1

_{= −}

1

3σ

1

(u

3

2

,0

− u

1

2

,0

).

(2.14) Ona (2.8,2.9)pour

j

= 1

:

X

m

ω

m

µ

2

m

(u

1,0

− u

m

1

2

,0

) + σ

1,G

X

m

ω

m

µ

m

u

m

_1,G,1

2

= 0,

X

m

ω

m

µ

2

m

(u

3

2

,0

− u

1,0

) + σ

1,D

X

m

ω

m

µ

m

u

m

_1,D,1

2

= 0.

Don :

1

σ

1,G

X

m

ω

m

µ

2

m

(u

1,0

− u

m

1

2

,0

) +

1

σ

1,D

1

3

(u

3

2

,0

− u

1,0

) + J

1

1

= 0,

J

1

1

= −

1

σ

1,D

(u

3

2

,0

− u

1,0

)

1

3

−

1

σ

1,G

u

1,0

1

3

+

1

σ

1,G

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

2

m

g

0

m

+

1

σ

1,G

u

1,G,0

1

6

.

Ensubstituant

u

1,0

par

u

1,G,0

+ u

3

2

,0

2

dansl'équationpré édente,onobtient, ensupposantque

σ

1,G

= σ

1,D

= σ

1

pour simplier l'é riture :

J

1

1

= −

1

2σ

1

(u

3

2

,0

− u

1,G,0

)

1

3

−

1

σ

1

u

1,G,0

+ u

3

2

,0

2

1

3

+

1

σ

1

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

2

m

g

0

m

+

1

σ

1

u

1,G,0

1

6

,

J

1

1

= −

1

3σ

1

u

3

2

,0

+

1

σ

1

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

2

m

g

m

0

+

1

6σ

1

u

1,G,0

,

J

₁

1

_{= −}

1

3σ

1

(u

3

2

,0

−

1

2

u

1,G,0

− 3

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

2

m

g

m

0

).

(2.15) Ona don enutilisant (2.14,2.12, 2.15) :

u

1

2

,0

= 2

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

m

g

0

m

+ 3

X

µ

m

≥0

ω

m

µ

2

m

g

m

0

.

Ce iestla onditionauxlimitesdel'équationdediusionasso iéeau trans-port. Ilfautnoter quela onditionauxlimitesexa te [4℄asso iéeà l'équa-tionde diusion en ontinu est:

u(0) =

Z

1

0

√

3

2

µH(µ)g(µ)dµ,

où

√

3

2

µH

(µ) ≃ µ +

3

2

µ

2

_.

Remarque:pourobtenirla onditionauxlimitesasso iéeàuneintensité entrante anisotrope, il faut ajouter une orre tion d'ordre

ǫ

à la ondition auxlimitespré édente [12 ℄.

Onretrouvebien laversiondis rète de:

u(0) =

Z

1

0

(µ +

3

2

µ

2

)g(µ)dµ.

Il faut noter que si l'intensité entrante est isotrope (

g

m

0

indépendant de

m

),on trouve lerésultatexa t quelle quesoit lavaleur de

σ

1

σ

1,G

.Eneet :

u

1

2

,0

=

1

2

(2 −

σ

1

σ

1,G

)g

0

+

1

2

σ

1

σ

1,G

g

0

= g

0

.

Onaalors :

u

1

2

,0

= ˜

u

1,G,0

= g

0

.

Sousdeshypothèsesnaturelles surlaquadrature utilisée(2.5,2.10,2.13), les hémaauxélémentsnislinéairesdis ontinuslumpésabienlalimite dif-fusion.Les onditionsauxlimitesàl'ordre0sontdes onditionsdeDiri hlet ave une pondération en

µ

+

3

2

µ

2

de l'intensité entrante. Ce i onstitue un résultat remarquable et surprenant ar si l'intensité entrante n'est pas iso-trope,ilyaune ou helimitequ'ilestnormalementindispensabledemailler très nement (ave des mailles de l'ordre du libre-par ours) pour avoir un résultat pré is. Ce s héma permet d'avoir un résultat pré is sans avoir à maillernement le bord du domaine.

Etude en géométrie 2D plane

3.1 S héma aux éléments nis linéaires dis ontinus lumpés

Onétendles éléments nislinéairesdis ontinus lumpésauxtriangles en géométrie planepour l'équation:

α

∂u

∂x

+ β

∂u

∂y

+ σu = σ˜

u,

ave pour onditions aux limites :

u(x, y, ~

Ω) = g(x, y, ~

Ω)

sur les points dela frontière où

~

Ω · ~n ≤ 0

,

~

n

étant lanormaleextérieure àlafrontière,

˜

u

=

1

4π

Z

4π

ud~

Ω.

Le s héma s'é rit :

Trouversur letriangle T pour la dire tion

~

Ω

m

= (α

m

, β

m

)

,

u

m

T

solution de:

X

b

(~

Ω

m

·~n

b

)

Z

b

u

m

_b

λ

i

ds

−

Z

T

(~

Ω

m

·~

∇λ

i

)u

m

T

dxdy+σ

T,i

u

m

T,i

Z

T

λ

i

dxdy

= σ

T,i

u

˜

T,i

Z

T

λ

i

dxdy,

(3.1) où i vautA,B ouC, sommets du triangleT.

Les

λ

i

sontles 3fon tions debase :

u

m

_T

=

X

i

λ

i

u

m

T,i

,

b

estune arêtedu triangle

T

,

X

b

désigne lasomme surles3 arêtesdu triangle

T

,

~

n

b

est leve teur unitaire extérieur(par rapport autriangle

T

) à l'arête

u

m

_b

estégalàlarestri tion de

u

m

T

sur

b

si

Ω

~

m

· ~n

b

≥ 0

ou ellede

u

m

T

b

sur

b

si

~

Ω

m

· ~n

b

≤ 0

(

T

b

estle triangleadja ent au triangle

T

par l'arête

b

). Nousallonstransformer(3.1)souslaformed'uns hémadetypevolumes nis. Soit

AH

lahauteur issuede

A

,

G

le bary entre du triangle

ABC

, M lemilieu de

AB

,

L

le milieude

AC

,on a:

Z

T

λ

A

dxdy

= aire(AM GL) =

S

T

3

,

où

S

T

estl'aire dutriangle

ABC

,et

Z

T

(~

Ω

m

· ~

∇λ

A

)u

m

T

dxdy

= −(~Ω

m

·

~

AH

|AH|

)(

1

|AH|

)aire(ABC)u

m

G

= −~Ω

m

·

~

AH

|AH|

|BC|

2

u

m

G

= −(~Ω

m

· ~n

M L

)|ML|u

m

G

,

ave :

u

m

_G

=

1

3

X

i

u

m

_T,i

,

et

~

n

M L

leve teurunitaireextérieur(parrapportautriangle

AM L

) nor-malau segment

M L

.

A

B

C

G

K

L

M

H

Onpeutinterpréter

u

m

T,A

ommelavaleurde

u

àl'intérieur du quadrila-tère

AM GL

et

u

m

G

omme lavaleur de

u

asso iée au té

M L

.

Onpeutréé rire les hémadelafaçonsuivante.Ils'agitdetrouver

u

m

T,A

,

u

m

T,B

,

u

m































P

b

(~

Ω

m

· ~n

b

)

R

b

u

m

b

λ

A

ds

+ (~

Ω

m

· ~n

M L

)|ML|u

m

G

+ σ

T,A

u

m

T,A

S

T

3

= σ

T,A

u

˜

T,A

S

T

3

,

P

b

(~

Ω

m

· ~n

b

)

R

b

u

m

b

λ

B

ds

+ (~

Ω

m

· ~n

M K

)|MK|u

m

G

+ σ

T,B

u

m

T,B

S

T

3

= σ

T,B

u

˜

T,B

S

T

3

,

P

b

(~

Ω

m

· ~n

b

)

R

b

u

m

b

λ

C

ds

+ (~

Ω

m

· ~n

KL

)|KL|u

m

G

+ σ

T,C

u

m

T,C

S

T

3

= σ

T,C

u

˜

T,C

S

T

3

.

Or, en notant :

~

n

AB

,

~

n

AC

,

~

n

BC

lesve teursunitairesnormauxextérieurs(parrapportau triangle

T

) à

AB

et

AC

et

BC

,

{ABC}

le point

G

,

u

{ABC}

=

1

3

(u

A

+ u

B

+ u

C

)

,

{AB}

lepoint

{AB} =

2

3

(A) +

1

3

(B)

,soit lebary entrede

A

,

B

ave les poids (

2

3

,

1

3

) et

u

_{AB}

=

2

3

u

A

+

1

3

u

B

,

u

_{BA}

=

2

3

u

B

+

1

3

u

A

,etlesformulesidentiquespour

{AC}

,{CA},{BC},{CB}, ona :

~

Ω

m

· ~n

AB

Z

AB

u

m

_b

λ

A

ds

= ~

Ω

m

· ~n

AB

|AM|u

m

_{AB}

,

où la valeur de

u

au point

{AB}

est à prendre dans le triangle

T

ou le triangle

T

b

suivant lesigne de

~

Ω

m

· ~n

b

. Don :

X

b

(~

Ω

m

· ~n

b

)

Z

b

u

m

_b

λ

A

ds

= (~

Ω

m

· ~n

AB

)|AM|u

m

{AB}

+ (~

Ω

m

· ~n

AC

)|AL|u

m

{AC}

.

Le s héma se réé rit : trouver

u

m

T,A

,

u

m

T,B

,

u

m

T,C

solutions du système linéaire :































































~

Ω

m

· ~n

AB

|AM|u

m

_{AB}

+ ~

Ω

m

· ~n

AC

|AL|u

m

_{AC}

+~

Ω

m

· ~n

M L

|ML|u

m

_{ABC}

+ σ

T,A

u

m

T,A

S

T

3

= σ

T,A

u

˜

T,A

S

T

3

,

~

Ω

m

· ~n

AB

|BM|u

m

_{BA}

+ ~

Ω

m

· ~n

BC

|BK|u

m

_{BC}

+~

Ω

m

· ~n

M K

|MK|u

m

_{ABC}

+ σ

T,B

u

m

T,B

S

T

3

= σ

T,B

u

˜

T,B

S

T

3

,

~

Ω

m

· ~n

BC

|CK|u

m

_{CB}

+ ~

Ω

m

· ~n

AC

|CL|u

m

_{CA}

+~

Ω

m

· ~n

KL

|KL|u

m

_{ABC}

+ σ

T,C

u

m

T,C

S

3

T

= σ

T,C

u

˜

T,C

S

T

3

,

ra tère onservatifdel'équation,silesve teurs

~

n

M G

,

~

n

LG

,

~

n

KG

sontorientés omme surlaguresuivante :

A

B

C

M

G

L

K

n

n

n

MG

KG

LG































































~

Ω

m

· ~n

AB

|AM|u

m

_{AB}

+ ~

Ω

m

· ~n

AC

|AL|u

m

_{AC}

+ ~

Ω

m

· ~n

M G

|MG|u

m

_{ABC}

−~Ω

m

· ~n

LG

|LG|u

m

_{ABC}

+ σ

T,A

u

m

T,A

S

3

T

= σ

T,A

u

˜

T,A

S

T

3

,

~

Ω

m

· ~n

AB

|BM|u

m

_{BA}

+ ~

Ω

m

· ~n

BC

|BK|u

m

_{BC}

+ ~

Ω

m

· ~n

KG

|KG|u

m

_{ABC}

−~Ω

m

· ~n

M G

|MG|u

m

_{ABC}

+ σ

T,B

u

m

T,B

S

T

3

= σ

T,B

u

˜

T,B

S

T

3

,

~

Ω

m

· ~n

BC

|CK|u

m

_{CB}

+ ~

Ω

m

· ~n

AC

|CL|u

m

_{CA}

− ~Ω

m

· ~n

KG

|KG|u

m

_{ABC}

+~

Ω

m

· ~n

LG

|LG|u

m

_{ABC}

+ σ

T,C

u

m

T,C

S

T

3

= σ

T,C

u

˜

T,C

S

T

3

.

On reprend l'étude asymptotique faite pré édemment en 1D sur le sys-tème d'équationsé ritsouslaforme 3.2.

On suppose que le milieu est optiquement épais, 'est à dire que si

h

désigne une longueur ara téristique dumaillage et

σ

lase tion e a e a-ra téristiquedu système, alors

ǫ

=

1

σh

est petit.

Onadimensionneles équations 3.2pourfaire apparaître

ε

.Oné rit

σ

T,i

pour

σ

T,i

σ

,

S

T

pour

S

T

h

2

ettoutesleslongueursparexemple

|AM|

pour

|AM|

h

. Le s héma s'é rit alors:































































ǫ~

Ω

m

· ~n

AB

|AM|u

m

_{AB}

+ ǫ~

Ω

m

· ~n

AC

|AL|u

m

_{AC}

+ǫ~

Ω

m

· ~n

M L

|ML|u

m

_{ABC}

+ σ

T,A

u

m

T,A

S

T

3

= σ

T,A

u

˜

T,A

S

T

3

,

ǫ~

Ω

m

· ~n

AB

|BM|u

{BA}

+ ǫ~

Ω

m

· ~n

BC

|BK|u

{BC}

+ǫ~

Ω

m

· ~n

M K

|MK|u

m

_{ABC}

+ σ

T,B

u

m

T,B

S

3

T

= σ

T,B

u

˜

T,B

S

T

3

,

ǫ~

Ω

m

· ~n

BC

|CK|u

m

_{CB}

+ ǫ~

Ω

m

· ~n

AC

|CL|u

m

_{CA}

+ǫ~

Ω

m

· ~n

KL

|KL|u

m

_{ABC}

+ σ

T,C

u

m

T,C

S

3

T

= σ

T,C

u

˜

T,C

S

T

3

.

(3.3)

Onintroduitledéveloppement :

u

m

_T,A

= u

m

_T,A,0

+ ǫu

m

_T,A,1

+ ǫ

2

u

m

_T,A,2

+ ...,

u

m

_T,B

= u

m

_T,A,0

+ ǫu

m

_T,B,1

+ ǫ

2

u

m

_T,B,2

+ ...,

u

m

_T,C

= u

m

_T,C,0

+ ǫu

m

_T,C,1

+ ǫ

2

u

m

_T,C,2

+ ....

3.2 Limite diusion 3.2.1 Isotropie A l'ordre0,on obtient :

u

m

_T,A

= ˜

u

T,A,0

,

u

m

_T,B

= ˜

u

T,B,0

,

u

m

_T,C

= ˜

u

T,C,0

,

don

u

estisotrope à l'ordre0. 3.2.2 Equation du ux

Pour un noeud global donné, on somme, sur tous les triangles ayant e noeud en ommun,leséquations relatives à e sommet (Fig3.1).

Onintroduitune formule de quadraturedis rète sur lasphère angulaire unité

1

4π

Z

S2

f

(~

Ω)d~

_{Ω ≃}

X

m

ω

m

f

(~

Ω

m

).

Onsuppose que ette formulede quadrature vérie :

X

m

M

G

L

n MG |MG|+nGL |GL|

A

Fig. 3.1 volumede ontrle autour deA

etquel'onaune hypothèse desymétrie, 'estàdirequepourtout

~

n

,on a:

X

~

Ω

m

·~

n≤0

ω

m

|~Ω

m

· ~n| =

X

~

Ω

m

·~

n≥0

ω

m

|~Ω

m

· ~n|.

(3.4)

Cette dernière hypothèse n'est réalisée que de façon appro hée sur un maillagequel onque. En eet, le nombredes axes de symétrie des formules dequadrature surlasphère angulaire unitéest for ément limité.

Onsommesurlesdire tions

m

etsurtouslestriangles

T

ayant e noeud en ommun, les équations de 3.3 relatives à e sommet. On suppose que dans tous les triangles

T

ayant e noeud en ommun, le point

A

dans la numérotation lo ale du triangle

T

orrespond à e noeud si bien que ela revient à faire ette sommesurlapremière équation de 3.3:

ǫ

X

m

X

T

ω

m

~

Ω

m

· (~n

AB

|AM|u

m

_{AB}

+ ~n

AC

|AL|u

m

_{AC}

+ ~n

M L

|ML|u

m

_T,{ABC}

)

+

X

m

X

T

ω

m

σ

T,A

u

m

T,A

S

T

3

=

X

m

X

T

ω

m

σ

T,A

u

˜

T,A

S

T

3

.

Si

AB

est un bras interne, lavaleur de

u

m

{AB}

est elle du triangle

T

si

~

Ω

m

· ~n

AB

est positif ou du triangle adja ent à

T

par

AB

si

~

Ω

m

· ~n

AB

est négatif.

Si

AB

estun brasfrontière, lavaleurde

u

m

{AB}

est elledu triangle

T

si

~

Ω

m

· ~n

AB

est positifou lavaleur dela onditionauxlimites aupoint

{AB}

si

Ω

~

m

· ~n

AB

est négatif.

noeud global s'annulent, ar la même arête apparaît 2 fois dans la somme i-dessusmaisave desve teursunitaires normauxopposés,don :

ǫ

X

m

X

T

ω

m

Ω

~

m

· ~n

M L

|ML|u

m

T,{ABC}

+

X

m

X

T

ω

m

σ

T,A

u

m

T,A

S

T

3

=

X

m

X

T

ω

m

σ

T,A

u

˜

T,A

S

T

3

.

Onpose

~

J

_T

1

=

X

m

ω

m

Ω

~

m

u

m

_T,{ABC},1

quiest leve teur uxdis ret.

En identiant les termes fa teursde

ǫ

2

,il vient :

X

T

~

J

_T

1

_{· ~n}

M L

|ML| +

X

m

X

T

ω

m

σ

T,A

u

m

T,A,2

S

T

3

=

X

m

X

T

ω

m

σ

T,A

u

˜

T,A,2

S

T

3

.

Soit:

X

T

~

J

_T

1

_{· ~n}

M L

|ML| = 0,

(3.5)

ou sousforme onservative :

X

T

~

J

_T

1

_{· {~n}

M G

|MG| + ~n

GL

|GL|} = 0.

3.2.3 Continuité

Nous voudrions maintenant démontrer que

u

˜

0

est ontinue. Nous repre-nonslamême démar he qu'en 1D.Pour ela,nousprenonsl'équation (3.3), noussommonssurles

m

enmultipliantparlepoids

ω

m

.Ilvientenidentiant lestermes d'ordre 1 :

X

m

ω

m

Ω

~

m

· ~n

AB

|AM|u

m

_{AB},0

+

X

m

ω

m

~

Ω

m

· ~n

AC

|AL|u

m

_{AC},0

(3.6)

+

X

m

ω

m

Ω

~

m

· ~n

M L

|ML|u

m

_{ABC},0

+

X

m

ω

m

σ

T,A

u

m

j,A,1

S

j

3

=

X

m

ω

m

σ

T,A

u

˜

T,A,1

S

T

3

.

Or

u

m

{ABC},0

,

u

m

{AC},0

et

u

m

{AB},0

sont isotropesen supposant que ni

AB

ni

AC

ne sont des arêtes frontières (la ondition aux limites peutêtre ani-sotrope).Il reste :

X

m

ω

m

~

Ω

m

· ~n

AB

|AM|u

{AB},0

+

X

m

ω

m

~

Ω

m

· ~n

AC

|AL|u

{AC},0

= 0,

don :

−4

X

~

Ω

m

·~

n

AB

≤0

ω

m

|~Ω

m

· ~n

AB

||AM|u

{AB},0

+ 4

X

~

Ω

m

·~

n

AB

≥0

ω

m

Ω

~

m

· ~n

AB

|AM|u

{AB},0

=

4

X

~

Ω

m

·~

n

AC

≤0

ω

m

|~Ω

m

· ~n

AC

||AL|u

{AC},0

− 4

X

~

Ω

m

·~

n

AC

≥0

ω

m

~

Ω

m

· ~n

AC

|AL|u

{AC},0

.

Don , d'après(3.4),on a :

−|AM|u

T

ext

,{AB},0

+ |AM|u

T,{AB},0

=

|AL|u

T

ext

,{AC},0

− |AL|u

T,{AC},0

.

(3.7) Si l'arête

AB

est interne,

u

T

ext

,{AB},0

est la valeur de

u

au point

{AB}

surletriangle adja ent à

T

par

AB

.

Sil'arête

AB

estsurle bord, onnote

u

T

ext

,{AB},0

= 4

X

~

Ω

m

·~

n

AB

≤0

ω

m

|~Ω

m

· ~n

AB

|g({AB}, ~Ω

m

,

0).

Cettenotation permetd'avoir, si

g

estisotrope à l'ordre0,

u

_T

_ext

_,{AB},0

_{= g({AB}, 0)}

.

Cetteégalité estassurée sionsupposeenplus de (3.4) que:

X

~

Ω

m

·~

n≤0

|~Ω

m

· ~n|ω

m

=

1

4

.

Pour que

u

àl'ordre 0soit ontinue, nousallonsprouverque:

u

_T

_ext

_,{AB},0

= u

T,{AB},0

,

u

_T

_ext

_,{AC},0

= u

T,{AC},0

.

Le nombre d'in onnues surun maillage triangulaireest 3 foisle nombre de triangles :

3 ∗ nt

. Le nombre d'équations (3.7) par noeud est égal au nombre d'arêtes reliées à e noeudmoins une.

Proposition 1 L'espa e ve toriel des 3nt valeurs de

u

0

aux sommets du maillage vériantles équations (3.7)ave g=0 est dedimension

n

i

où

n

i

est lenombre desommets internes du maillage.

Sion aunseultriangleles 3valeurs de

u

0

sontné essairement xées ar on a 3 équations. La relation est don vériée ar

n

i

est nul.

Si on a un maillage triangulaire auquel on ajoute un triangle, soit e triangle est adja ent par 1 fa e au maillage, auquel as on ajoute 3 in on-nues

u

0

mais aussi 3 équations qui sont indépendantes des autres don la dimension de l'espa e ve toriel reste égale à

n

i

, soit e triangle est adja ent par 2 fa es au maillage, auquel as on ajoute seulement 2 équations qui res-tent indépendantes (2pourles noeudsfrontière, 0 pour lenoeud interne),la dimension de l'espa e ve toriel est don augmentée de 1 mais également le nombre de sommets internes.Don la relationest toujours vériée.

Proposition 2 Si la quantité

P

~

Ω

m

·~

n≤0

ω

m

|~Ω

m

· ~n|g(~Ω

m

,

0)

est ontinue,

u

0

est ontinue.

Preuve 2 Supposonsque

g

= 0

.L'espa e ve torieldes3ntvaleursde

u

0

aux sommets du maillage vériant les équations (3.7) ontient l'espa e ve toriel des 3nt uplet nuls sur les noeuds du bord et ontinus aux noeuds internes quiestégalement dedimension

n

i

.Don , es2 espa esve toriels sontégaux. Don

u

0

est né essairement ontinue etnulle sur lebord.

Si maintenant

g

6= 0

, on onstruit un 3nt uplet

u

g

ontinu aux noeuds dumaillageetégalàlavaleur

4

P

~

Ω

m

·~

n≤0

ω

m

|~Ω

m

·~n|g(x, y, ~Ω

m

,

0)

auxnoeuds frontière( equiestpossibleparhypothèse).

u

′ = u

0

−u

g

satisfaitles ontraintes (3.7) ave

g

= 0

. D'après e qui pré ède,

u

′

est don ontinue, nulle sur le bord. Don

u

0

est ontinue égale à

u

g

sur le bord.

Nousallons maintenant her her quels hémade diusionon obtient.

3.2.4 Expression du ux Onsuppose dorénavant que:

X

m

ω

m

~

Ω

m

~

Ω

m

=

1

3

I.

Il s'agit d'exprimer leve teur uxà l'intérieur d'untriangle enfon tion des valeurs de

u

à l'ordre 0 aux sommets de e triangle. On multiplie par

~

Ω

m

eton sommesurles dire tionsles équations 3.3. Onidentie les termes d'ordre 1. Il vient :

1

σ

T,A

X

m

ω

m

Ω

~

m

Ω

~

m

· (~n

AB

|AM|u

T,{AB},0

+ ~n

AC

|AL|u

T,{AC},0

+

1

σ

T,B

X

m

ω

m

Ω

~

m

~

Ω

m

· (~n

AB

|BM|u

T,{BA},0

+ ~n

BC

|BK|u

T,{BC},0

+~n

M K

|MK|u

{ABC},0

)

+

1

σ

T,C

X

m

ω

m

~

Ω

m

~

Ω

m

· (~n

BC

|CK|u

T,{CB},0

+ ~n

AC

|CL|u

T,{CA},0

+~n

KL

|KL|u

{ABC},0

)

+

X

m

ω

m

~

Ω

m

S

T

3

(u

m

T,A,1

+ u

m

T,B,1

+ u

m

T,C,1

) = ~0,

1

3σ

T,A

(~n

AB

|AM|u

T,{AB},0

+ ~n

AC

|AL|u

T,{AC},0

+ ~n

M L

|ML|u

{ABC},0

)

+

1

3σ

T,B

(~n

AB

|BM|u

T,{BA},0

+ ~n

BC

|BK|u

T,{BC},0

+ ~n

M K

|MK|u

{ABC},0

)

+

1

3σ

T,C

(~n

BC

|CK|u

T,{CB},0

+ ~n

AC

|CL|u

T,{CA},0

+ ~n

KL

|KL|u

{ABC},0

)

+S

T

J

~

T

1

= ~0,

1

3σ

T,A

(~n

AB

|AB|

2

u

T,{AB},0

+ ~n

AC

|AC|

2

u

T,{AC},0

+ ~n

BC

|BC|

2

u

{ABC},0

)

+

1

3σ

T,B

(~n

AB

|AB|

2

u

T,{BA},0

+ ~n

BC

|BC|

2

u

T,{BC},0

+ ~n

AC

|AC|

2

u

{ABC},0

)

+

1

3σ

T,C

(~n

BC

|BC|

2

u

T,{CB},0

+ ~n

AC

|AC|

2

u

T,{CA},0

+ ~n

AB

|AB|

2

u

{ABC},0

)

+S

T

J

~

T

1

= ~0,

−

1

3σ

T,A

1

3

(~n

BC

|BC|

2

u

T,A,0

+ ~n

AC

|AC|

2

u

T,B,0

+ ~n

AB

|AB|

2

u

T,C,0

)

−

_3σ

1

T,B

1

3

(~n

BC

|BC|

2

u

T,A,0

+ ~n

AC

|AC|

2

u

T,B,0

+ ~n

AB

|AB|

2

u

T,C,0

)

−

_3σ

1

T,C

1

3

(~n

BC

|BC|

2

u

T,A,0

+ ~n

AC

|AC|

2

u

T,B,0

+ ~n

AB

|AB|

2

u

T,C,0

)

+S

T

J

~

T

1

= ~0.

Oron a:

~

∇λ

A

= −

~

AH

|AH|

2

= −

~

n

BC

|AH|

= −

|BC|~n

BC

2S

T

,

~

∇λ

B

= −

|AC|~n

AC

2S

T

,

~

∇λ

C

= −

|AB|~n

AB

2S

T

.

Don , onobtient en divisantpar

S

T

:

1

3

(

1

3σ

T,A

+

1

3σ

T,B

+

1

3σ

T,C

)(u

T,A,0

∇λ

~

A

+ u

T,B,0

∇λ

~

B

+ u

T,C,0

∇λ

~

C

)

+ ~

J

_T

1

= 0,

ou:

~

J

_T

1

_{= −}

1

3σ

T

(~

_∇u

T,0

),

ave :

3

σ

T

=

1

σ

T,A

+

1

σ

T,B

+

1

σ

T,C

,

(3.8)

e qui estune dis rétisation onsistantede l'équationdu ux.

L'expression du ux inje tée dans l'équation (3.5) donne alors une dis- rétisation onsistantede l'équationde diusion en2D.

~

∇ · (−

_3σ

1

T

~

∇u) = 0

C'est elle obtenue en éléments nis P1 ave lumping de la matri e de masseen prenant (3.8) ommemoyenne de

σ

T

àl'intérieur delamaille.

A partir de (3.1), on peut trouverplus fa ilement l'expression duuxà partirde

u

0

.

Onmultiplie(3.1) par

~

Ω

m

,onsommeles 3équations orrespondant aux 3 sommets du triangle T et on somme sur les dire tions. On identie les termesd'ordre 1 :

X

i

1

σ

T,i

(

X

m

ω

m

Ω

~

m

{

X

b

(~

Ω

m

· ~n

b

)

Z

b

u

b,0

λ

i

ds

−

Z

T

(~

Ω

m

· ~

∇λ

i

)u

T,0

dxdy

}

+

X

i

X

m

ω

m

~

Ω

m

Z

T

λ

i

u

m

T,i,1

dxdy

= ~0,

X

i

1

σ

T,i

(

X

m

ω

m

~

Ω

m

Ω

~

m

· {

X

b

~

n

b

Z

b

u

b,0

λ

i

ds

−

Z

T

(~

_∇λ

i

)u

T,0

dxdy

})

+

X

i

X

m

ω

m

Ω

~

m

Z

T

λ

i

u

m

T,i,1

dxdy

= ~0.

Oron a:

~

J

_T

1

=

X

m

ω

m

~

Ω

m

(u)

m

_T,{ABC},1

=

1

S

T

X

m

ω

m

Ω

~

m

X

i

Z

T

λ

i

u

m

T,i,1

dxdy.

Onen déduit:

X

i

1

3σ

T,i

{

X

b

~

n

b

Z

b

u

b,0

λ

i

ds

−

Z

T

(~

_∇λ

i

)u

T,0

dxdy

}

+S

T

J

~

T

1

= ~0.

En faisant une intégration par parties, onobtient :

X

i

1

3σ

T,i

Z

T

(~

_∇u

0

)λ

i

dxdy

+ S

T

J

~

T

1

= ~0.

Onobtient nalement l'expressiondu uxdis ret:

S

T

J

~

T

1

= −

X

i

1

3σ

T,i

Z

T

(~

_∇u

0

)λ

i

dxdy

= −

1

₃

X

i

1

3σ

T,i

(~

_∇u

0

)S

T

,

soit :

~

J

_T

1

_{= −}

1

3

X

i

(

1

3σ

T,i

)~

_∇u

0

.

(3.9)

3.2.5 Conditions aux limites

On supposeque le té

AB

du triangle

T

est sur la frontièreet que les 2 autres tés

AC

et

BC

sont internes. Nous allons modier

u

0

en

A

et

B

de tellefaçon que leuxdis ret

~

J

_T

1

puissetoujours s'exprimer ommedans (3.9).Faisons l'hypothèse

σ

T,A

= σ

T,B

= σ

T,C

= σ

T

.